Aufgaben: Funktionale Zusammenhänge in Messreihen mit digitalen Hilfsmitteln

Gegeben sind die Messwerte

$x$	1	2	3	4
$y$	5	8	11	14

1. a) Berechne die Differenzen der $y$-Werte.

1. b) Welcher Funktionstyp passt? Gib einen Funktionsterm an.

Gegeben sind die Messwerte

$x$	0	1	2	3
$y$	2	6	18	54

1. a) Berechne die Quotienten aufeinanderfolgender $y$-Werte.

1. b) Gib den passenden Funktionsterm an.

Du trägst Messwerte in eine Tabellenkalkulation ein und erzeugst ein Streudiagramm. Die Punkte liegen annähernd auf einer Geraden durch $P(0|2)$ und $Q(10|12)$.

1. a) Bestimme die Gleichung der Geraden.

1. b) Berechne den vorhergesagten Wert bei $x = 7$.

Eine Schulklasse in Bochum misst die Temperatur eines abkühlenden Tees:

Zeit in min	0	5	10	15
Temperatur in °C	80	64	51	41

1. a) Berechne die Quotienten aufeinanderfolgender Werte. Welcher Funktionstyp passt?

1. b) Die Raumtemperatur wird vernachlässigt. Gib einen Funktionsterm an und berechne die Temperatur nach 30 Minuten.

Ein Ball wird fallen gelassen. Gemessen wird der zurückgelegte Weg:

$t$ in s	0,2	0,4	0,6	0,8
$s$ in m	0,20	0,78	1,77	3,14

1. a) Berechne $s/t^2$ für jede Messung.

1. b) Begründe, dass ein quadratischer Zusammenhang $s = a t^2$ vorliegt, und gib $a$ an.

1. c) Berechne den Weg nach $1,5 \text{ s}$.

Eine Regression mit einer Tabellenkalkulation liefert für die Verkaufszahlen eines Eisladens in Aachen in Abhängigkeit von der Tagestemperatur $T$ (in °C) die Funktion $V(T) = 12T - 90$ (Kugeln pro Tag).

1. a) Berechne die erwartete Verkaufszahl bei $25\ ^\circ\text{C}$.

1. b) Ab welcher Temperatur sagt das Modell positive Verkäufe voraus?

1. c) Beurteile, ob das Modell für $T = 5\ ^\circ\text{C}$ sinnvoll ist.

Gegeben ist die Messreihe der Einwohnerzahl eines Ortes im Sauerland:

Jahr (ab 2000)	0	5	10	15	20
Einwohner	8.000	8.400	8.820	9.260	9.720

1. a) Untersuche, ob lineares oder exponentielles Wachstum besser passt (Differenzen und Quotienten).

1. b) Bestimme die jährliche Wachstumsrate näherungsweise.

1. c) Prognostiziere die Einwohnerzahl im Jahr 2040 und beurteile die Zuverlässigkeit.

Bei einem Versuch wird die Bremsstrecke $s$ eines Fahrrads bei verschiedener Geschwindigkeit $v$ gemessen:

$v$ in km/h	10	20	30	40
$s$ in m	1,6	6,3	14,3	25,4

1. a) Zeige, dass ein Zusammenhang $s = k v^2$ näherungsweise passt, und bestimme $k$.

1. b) Berechne die Bremsstrecke bei $50 \text{ km/h}$.

1. c) Um welchen Faktor wächst die Bremsstrecke, wenn die Geschwindigkeit verdreifacht wird? Begründe mit dem Modell.

Eine Tabellenkalkulation passt an eine Messreihe zwei Modelle an: $f(x) = 2{,}5x + 4$ (linear) und $g(x) = 3 \cdot 1{,}4^x$ (exponentiell). Die Messwerte sind

$x$	0	2	4	6
$y$	3	6	11	23

1. a) Berechne für beide Modelle die Abweichungen $y - f(x)$ und $y - g(x)$ an allen Messstellen.

1. b) Entscheide begründet, welches Modell besser passt.

1. c) Berechne mit dem besseren Modell den Wert bei $x = 8$.