Aufgaben: Abhängigkeit

In einer Urne liegen $5$ rote und $3$ blaue Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel rot und die zweite blau ist.

Aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten werden zufällig nacheinander zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten Könige sind?

Gegeben sind zwei Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments. Es gilt $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ und $P(A \cap B) = 0,2$. Überprüfe rechnerisch, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

Wir werfen zwei normale sechsseitige Würfel. Die Augensumme ist $8$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem der Würfel eine $3$ gefallen ist?

Betrachte das folgende Baumdiagramm, das ein zweistufiges Zufallsexperiment darstellt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, das Endergebnis $C$ über den Pfad $A$ zu erhalten.

In einer Klasse mit $30$ Schülern lernen $18$ Französisch, $12$ lernen Deutsch und $5$ lernen beide Sprachen. Ein Schüler wird zufällig ausgewählt und lernt Französisch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch Deutsch lernt?

Aus einem spanischen Kartenspiel (40 Karten, darunter 4 Asse) wird eine Karte gezogen und anschließend eine Münze geworfen. Sind diese beiden Ereignisse abhängig oder unabhängig? Berechne die Wahrscheinlichkeit, im Kartenspiel ein „Ass“ und bei der Münze „Kopf“ zu erhalten.

Eine Münze ist so manipuliert, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf $0,7$ beträgt. Die Münze wird zweimal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, genau einmal Kopf und einmal Zahl zu erhalten (in beliebiger Reihenfolge).

Marcus hat in einer Schublade $5$ schwarze und $3$ blaue Socken, alle lose und beim Ertasten nicht zu unterscheiden. Er zieht im Dunkeln nacheinander zwei Socken ohne Zurücklegen. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass die erste Socke schwarz und die zweite blau ist, schreibt Marcus in sein Heft:

„$P(\text{Schwarz an 1. Stelle}) = \frac{5}{8}$ und $P(\text{Blau an 2. Stelle}) = \frac{3}{8}$. Da es zwei unabhängige Ereignisse sind, multipliziere ich beide Wahrscheinlichkeiten: $P(\text{Schwarz und Blau}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{64}$.“

1. a) Nenne den Denkfehler, den Marcus gemacht hat, und erkläre mit eigenen Worten, warum zwei aufeinanderfolgende Züge ohne Zurücklegen nicht als unabhängige Ereignisse behandelt werden können.
2. b) Korrigiere die Rechnung mit der Pfadregel für abhängige Ereignisse: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$.
3. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Socken dieselbe Farbe haben.

In einer Gruppe von $30$ Schülern der Klasse 10 wird eine Umfrage zu Hobbys durchgeführt: $18$ spielen regelmäßig Videospiele, $12$ treiben Vereinssport und $6$ machen beides.

1. a) Ein Schüler wird zufällig aus der gesamten Klasse ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er Vereinssport treibt, $P(D)$.
2. b) Schätze, bevor du formal rechnest, begründet ab: Wenn wir zufällig einen Schüler nur unter denen auswählen, die Videospiele spielen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass er Vereinssport treibt, größer, gleich oder kleiner als die aus Teilaufgabe a)? Begründe deine Vermutung, indem du den Anteil in der Gesamtgruppe mit dem in der Teilgruppe vergleichst.
3. c) Überprüfe deine Schätzung rechnerisch, indem du die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(D \mid V)$ mit ihrer Definition $P(D \mid V) = \frac{P(D \cap V)}{P(V)}$ berechnest. Bestätigt das genaue Ergebnis deine vorherige Überlegung?

In einer Fabrik stellt Maschine A $60\%$ der Teile her und Maschine B die restlichen $40\%$. Bekannt ist, dass $2\%$ der von A hergestellten Teile fehlerhaft sind, bei Maschine B beträgt der Anteil fehlerhafter Teile $5\%$. Ein Teil wird zufällig aus dem Lager gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es von Maschine B hergestellt wurde und fehlerhaft ist?

Ein Basketballspieler trifft den ersten Freiwurf mit einer Quote von $80\%$. Trifft er den ersten, steigt sein Selbstvertrauen und die Trefferwahrscheinlichkeit beim zweiten Freiwurf steigt auf $90\%$. Verfehlt er jedoch den ersten, wird er nervös und die Trefferwahrscheinlichkeit beim zweiten sinkt auf $60\%$. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler in einer Serie von zwei Würfen genau einen Freiwurf trifft.

In einem Dorf lesen $45\%$ der Einwohner die Zeitung X, $35\%$ lesen die Zeitung Y und $15\%$ lesen beide Zeitungen. Wir wählen zufällig einen Einwohner aus und wissen, dass er die Zeitung X liest. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch die Zeitung Y liest? Begründe anhand der Ergebnisse, ob die Ereignisse „Zeitung X lesen“ und „Zeitung Y lesen“ stochastisch unabhängig sind.

Wir haben zwei Kisten. KISTE I enthält $4$ grüne und $2$ gelbe Kugeln. KISTE II enthält $3$ grüne und $5$ gelbe Kugeln. Wir ziehen zufällig eine Kugel aus KISTE I und legen sie in KISTE II. Anschließend mischen wir gut und ziehen eine Kugel aus KISTE II. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln grün sind?

In einer Schachtel mit $10$ Glühbirnen sind $3$ davon defekt. Es werden nacheinander $3$ Glühbirnen ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der gezogenen Glühbirnen defekt ist?

In einer Klinik wird ein Allergie-Schnelltest durchgeführt. Bekannt ist, dass $8\%$ der Patienten gegen einen bestimmten Stoff allergisch sind. Der Test ist bei $90\%$ der tatsächlich allergischen Patienten positiv. Er liefert aber auch bei $5\%$ der nicht allergischen Patienten ein falsch positives Ergebnis. Ein Patient wird zufällig ausgewählt und getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis positiv ist?

Zwei Bogenschützen schießen je einen Pfeil auf dasselbe Ziel. Schütze A trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,7$ und Schütze B mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,8$. Ihre Schüsse sind völlig unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel von mindestens einem Pfeil getroffen wird?

In einem Regal stehen $5$ Romane und $3$ Gedichtbände. Es werden zufällig nacheinander zwei Bücher ohne Zurücklegen ausgewählt. Das zweite ausgewählte Buch war ein Gedichtband. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste ausgewählte Buch auch einer war?

Nach realitätsnahen Mobilitätsdaten für eine Ferienreisewelle werden in einem Kreis $70\%$ der Fahrten zwischen Städten auf der Autobahn ($A$) und die restlichen $30\%$ auf Landstraßen ($S$) zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, in einen schweren Stau zu geraten ($R$), beträgt $0,15$, wenn man auf der Autobahn fährt, während sie auf der Landstraße auf $0,05$ sinkt.

1. a) Modelliere die Situation, indem du ein vollständiges Baumdiagramm zeichnest, das die Ereignisse jeder Stufe und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten (a priori und bedingt) darstellt.
2. b) Verwende den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein zufällig ausgewählter Fahrer an diesem Tag in einen schweren Stau gerät.
3. c) Ein Fahrer erreicht sein Ziel, nachdem er in einem schweren Stau stand. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auf der Autobahn gefahren ist? Deute, warum dieser Prozentsatz so hoch ist, obwohl Autobahnen für einen flüssigeren Verkehr ausgelegt sind.

In einer undurchsichtigen Urne liegen $10$ beim Ertasten gleiche Kugeln, von denen $r$ rot und die übrigen weiß sind. Es werden zufällig nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln rot sind, beträgt genau $\frac{1}{15}$. Stelle mit der Pfadregel für abhängige Ereignisse eine algebraische Gleichung in Abhängigkeit von $r$ auf und löse sie, um herauszufinden, wie viele Kugeln jeder Farbe die Urne zu Beginn enthielt.
2. b) Berechne mit der nun bekannten Zusammensetzung der Urne die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Kugel weiß ist, wenn die erste gezogene Kugel rot war, $P(B_2 \mid R_1)$.
3. c) Zeige rechnerisch, ob das Ereignis „weiße Kugel im zweiten Zug“ vom Ergebnis des ersten Zuges abhängig oder unabhängig ist, indem du $P(B_2 \mid R_1)$ mit der a-priori-Wahrscheinlichkeit für eine weiße Kugel im ersten Zug, $P(B_1)$, vergleichst.

Wir haben drei äußerlich gleiche Truhen. TRUHE A enthält $2$ Gold- und $1$ Silbermünzen. TRUHE B enthält $1$ Goldmünze und $3$ Silbermünzen. TRUHE C enthält $4$ Goldmünzen. Wir werfen einen fairen Würfel: Bei $1$ oder $2$ wählen wir Truhe A, bei $3$ Truhe B, bei $4$, $5$ oder $6$ Truhe C. Anschließend ziehen wir zufällig eine Münze aus der gewählten Truhe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Münze aus Gold ist?

An einem Gymnasium sind $55\%$ der Schüler Mädchen. Bekannt ist, dass $20\%$ der Mädchen und $25\%$ der Jungen aktiv in der Theater-AG mitwirken. Ein Schüler, der in der Theater-AG mitwirkt, wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Mädchen ist?

In einer Urne liegen $x$ rote und $5$ schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind, beträgt genau $\frac{1}{6}$. Stelle eine Gleichung auf und bestimme die Anzahl $x$ der roten Kugeln in der Urne.

Ein IT-Sicherheitssystem hat zwei unabhängige Firewalls. Die Wahrscheinlichkeit, dass Firewall A bei einem Angriff versagt, beträgt $0,15$, und die Wahrscheinlichkeit, dass Firewall B versagt, beträgt $0,10$. Das System ist nur kompromittiert, wenn beide Firewalls versagen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System einem Angriff standhält? Wird eine dritte Firewall C hinzugefügt, die identisch mit B und unabhängig von den anderen ist, um wie viel steigt die Wahrscheinlichkeit, dass das System dem Angriff standhält?

Ein Spieler zieht aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten (4 Farben zu je 10 Karten) nacheinander und ohne Zurücklegen Karten, bis eine Bildkarte (Bube, Reiter oder König) erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau $3$ Karten ziehen muss, um sein Ziel zu erreichen?

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse desselben Zufallsexperiments mit $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ und $P(A \cup B) = 0,7$. Bestimme mithilfe der Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit den Wert der Schnittmenge und berechne $P(A|B)$ und $P(B|A)$. Sind $A$ und $B$ stochastisch unabhängige Ereignisse? Begründe deine Antwort.

Ein undurchsichtiger Beutel enthält $10$ beim Ertasten gleiche Lose: $2$ davon sind Gewinne und $8$ sind Nieten. Drei Freunde, Fatima, Bruno und Ionut, ziehen in dieser Reihenfolge nacheinander ohne Zurücklegen je ein Los. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass den ersten Gewinn, der gezogen wird, Ionut zieht?

Wir haben zwei Würfel in einem Würfelbecher. Der erste ist ein normaler Würfel mit den Zahlen von $1$ bis $6$. Der zweite ist ein manipulierter Würfel mit drei Seiten mit einer $2$, zwei Seiten mit einer $3$ und einer Seite mit einer $5$. Es wird zufällig ein Würfel ausgewählt (mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ für jeden) und geworfen. Das Ergebnis ist eine gerade Zahl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der manipulierte Würfel geworfen wurde?

In einer Schulgesundheitsstelle wird die Zuverlässigkeit eines Schnelltests zur Erkennung einer symptomlosen Infektion untersucht. Die epidemiologischen Daten zeigen, dass die Prävalenz der Infektion in der Zielgruppe $2\%$ beträgt ($0,02$). Die Sensitivität des Tests beträgt $95\%$ (ist eine Person infiziert, fällt der Test mit der Wahrscheinlichkeit $0,95$ positiv aus) und die Rate falsch positiver Ergebnisse beträgt $5\%$ (ist eine Person gesund, fällt der Test mit der Wahrscheinlichkeit $0,05$ fälschlicherweise positiv aus). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis tatsächlich infiziert ist, $P(I \mid +)$.

Zwei Schüler schlagen unterschiedliche Lösungswege vor:

• Weg 1 (formal-analytisch): Ereignisse definieren, die totale Wahrscheinlichkeit $P(+)$ durch Addition der beiden Pfade des Baumdiagramms berechnen und den Satz von Bayes anwenden: $P(I \mid +) = \frac{P(I \cap +)}{P(+)}$.

• Weg 2 (Vierfeldertafel mit natürlichen Häufigkeiten): Eine hypothetische Bevölkerung von $10.000$ Personen annehmen, sie in einer Vierfeldertafel der Größe $2 \times 2$ nach tatsächlichem Zustand und Testergebnis aufteilen und direkt den Quotienten aus der Anzahl der Infizierten und der Gesamtzahl der positiv Getesteten bilden.

1. a) Löse die Aufgabe mit beiden Wegen und überprüfe, dass sich genau derselbe Zahlenwert ergibt (runde das Ergebnis in Prozent auf eine Nachkommastelle).
2. b) Vergleiche beide Wege kritisch: Welchen der beiden Wege hältst du für geeigneter und verständlicher, um einem Patienten ohne mathematische Vorbildung zu erklären, warum ein Test mit „$95\%$ Trefferquote“ eine so unerwartet niedrige tatsächliche Wahrscheinlichkeit ergibt, krank zu sein? Begründe deine Wahl, indem du erklärst, welche Rolle die falsch positiven Ergebnisse im Nenner spielen.

In einem Strafverfahren wird eine am Tatort gefundene biologische Probe untersucht. Das Gutachten kommt zu dem Schluss, dass nur $1$ von $100.000$ zufällig ausgewählten Personen dieses genetische Profil teilen; das heißt, die Wahrscheinlichkeit einer zufälligen Übereinstimmung bei einer unschuldigen Person beträgt $P(\text{Übereinstimmung} \mid \text{Unschuldig}) = 0,00001$.

Der Staatsanwalt beschuldigt den Verdächtigen Peter mit folgender Argumentation: „Da die DNA von Peter vollständig mit der Probe übereinstimmt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass er unschuldig ist, nur $0,001\%$; seine Schuld ist damit mit einer Sicherheit von $99,999\%$ bewiesen.“

Der Richter beauftragt ein Gutachten unter der Annahme, dass die Tat in einer abgeschlossenen Stadt mit $500.000$ erwachsenen Einwohnern begangen wurde, unter denen sich der einzige Täter befindet, und dass Peter nur deshalb erfasst wurde, weil er in der Stadt wohnt und an einer allgemeinen Reihenuntersuchung teilgenommen hat; weitere Beweise gegen ihn gibt es nicht.

1. a) Benenne den schwerwiegenden Denkfehler des Staatsanwalts (bekannt als „Trugschluss des Anklägers“), erkläre klar, welche zwei verschiedenen bedingten Wahrscheinlichkeiten er verwechselt hat, und schreibe jede mit ihrer symbolischen Notation $P(\dots \mid \dots)$ auf.
2. b) Berechne mit dem Satz von Bayes oder über die erwartete Anzahl von Übereinstimmungen in der Bevölkerung von $500.000$ Einwohnern die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass Peter schuldig ist, wenn seine DNA übereingestimmt hat: $P(\text{Schuldig} \mid \text{Übereinstimmung})$.
3. c) Formuliere ein Fazit für das Gericht, in dem du anhand des berechneten Ergebnisses begründest, warum der DNA-Beweis allein nicht ausreicht, um den Angeklagten ohne weitere Beweise zu verurteilen.