Aufgaben: Geometrie und Vektorrechnung ohne Hilfsmittel

Gegeben sind die Punkte $A(1\mid 2\mid 3)$ und $B(4\mid 6\mid 3)$.

1. a) Geben Sie die Koordinaten des Vektors $\overrightarrow{AB}$ an.

1. b) Berechnen Sie die Länge der Strecke $\overline{AB}$.

1. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AB}$.

1. d) Berechnen Sie $2\cdot\overrightarrow{AB}-\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$.

1. e) Untersuchen Sie, ob die Vektoren $\begin{pmatrix}2\\4\\-6\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}$ kollinear sind.

Gegeben ist die Gerade $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$, $r\in\mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes von $g$ für $r=2$.

1. b) Zeigen Sie, dass der Punkt $P(7\mid 3\mid -1)$ auf $g$ liegt.

1. c) Untersuchen Sie, ob der Punkt $Q(3\mid 2\mid 1)$ auf $g$ liegt.

1. d) Geben Sie einen Richtungsvektor einer zu $g$ parallelen Geraden an, der nicht der Vektor $\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ ist.

1. e) Geben Sie eine Parameterform der Geraden durch den Ursprung $O$ und den Punkt $B(2\mid 4\mid 6)$ an.

Ein Quader $ABCDEFGH$ hat die Eckpunkte $A(0\mid 0\mid 0)$, $B(4\mid 0\mid 0)$, $D(0\mid 3\mid 0)$ und $E(0\mid 0\mid 2)$. Dabei liegen $A$, $B$, $C$, $D$ in der Grundfläche und $E$, $F$, $G$, $H$ darüber.

1. a) Geben Sie die Koordinaten der Punkte $C$ und $G$ an.

1. b) Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonalen $\overline{AG}$.

1. c) Berechnen Sie die Länge der Flächendiagonalen $\overline{AC}$.

1. d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke $\overline{EG}$.

1. e) Geben Sie die Koordinaten des Verschiebungsvektors an, der $A$ auf $F$ abbildet.

Gegeben sind die Punkte $A(1\mid 0\mid 0)$, $B(5\mid 2\mid 0)$ und $C(6\mid 5\mid 2)$.

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $D$ so, dass das Viereck $ABCD$ ein Parallelogramm ist.

1. b) Zeigen Sie, dass $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{DC}$ gleich sind.

1. c) Berechnen Sie die Längen der Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ und entscheiden Sie, ob das Parallelogramm eine Raute ist.

1. d) Zeigen Sie, dass die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ den gleichen Mittelpunkt besitzen.

Gegeben sind die Geraden

$g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$, $\quad h:\ \vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}-2\\-2\\-4\end{pmatrix}$, $\quad k:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$, $\quad m:\ \vec x=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+u\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$.

1. a) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden $g$ und $h$.

1. b) Zeigen Sie, dass die Geraden $g$ und $k$ windschief sind.

1. c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g$ und $m$.

1. d) Geben Sie eine Parameterform einer Geraden an, die mit $g$ identisch ist, aber einen anderen Stützvektor und einen anderen Richtungsvektor besitzt.

Eine Drohne startet im Punkt $A(10\mid 20\mid 0)$ und fliegt mit der konstanten Geschwindigkeit $\vec v=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$ (Angaben in Metern pro Sekunde; $x$ und $y$ beschreiben die Lage über dem Boden, $z$ die Flughöhe). Der Ort der Drohne zur Zeit $t$ (in Sekunden) wird durch $\vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot\vec v$ beschrieben.

1. a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Drohne 5 Sekunden nach dem Start.

1. b) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Drohne.

1. c) Bestimmen Sie, nach wie vielen Sekunden die Drohne eine Flughöhe von $60\,\mathrm{m}$ erreicht.

1. d) Berechnen Sie, nach wie vielen Sekunden die Drohne $140\,\mathrm{m}$ zurückgelegt hat.

Gegeben sind die Punkte $A(1\mid 1\mid 0)$, $B(5\mid 1\mid 3)$ und $C(1\mid 5\mid 3)$. Der Punkt $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$.

1. a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist, und geben Sie die Spitze an.

1. b) Bestimmen Sie die Koordinaten von $M$.

1. c) Der Punkt $D$ ist so gewählt, dass $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AD}$ ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von $D$.

1. d) Begründen Sie, dass das Viereck $ABDC$ eine Raute ist.

1. e) Berechnen Sie den Umfang der Raute $ABDC$.

Gegeben sind die Punkte $A(2\mid -1\mid 4)$ und $B(8\mid 5\mid -2)$.

1. a) Bestimmen Sie eine Parameterform der Geraden $g$ durch $A$ und $B$ mit dem Stützvektor $\overrightarrow{OA}$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{AB}$.

1. b) Der Punkt $T$ liegt auf der Strecke $\overline{AB}$ und teilt sie im Verhältnis $\overline{AT}:\overline{TB}=1:2$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $T$.

1. c) Geben Sie an, für welche Werte des Parameters die Punkte der Geraden $g$ aus Teilaufgabe a) auf der Strecke $\overline{AB}$ liegen.

1. d) Zeigen Sie, dass der Punkt $C(-1\mid -4\mid 7)$ auf $g$, aber nicht auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt.

1. e) Berechnen Sie den Abstand der Punkte $A$ und $C$.

Gegeben sind die Geraden $g:\ \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und $h_a:\ \vec x=\begin{pmatrix}3\\4\\a\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ mit $a\in\mathbb{R}$, $r,s\in\mathbb{R}$.

1. a) Zeigen Sie, dass die Richtungsvektoren von $g$ und $h_a$ nicht kollinear sind.

1. b) Bestimmen Sie den Wert von $a$, für den sich $g$ und $h_a$ schneiden, und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ an.

1. c) Begründen Sie, dass $g$ und $h_a$ für alle anderen Werte von $a$ windschief sind.

1. d) Zeigen Sie, dass der Punkt $P(2\mid 2\mid 3)$ auf $g$ liegt.

1. e) Berechnen Sie für den Wert von $a$ aus Teilaufgabe b) den Abstand der Punkte $P$ und $S$.