Aufgaben: Eigenschaften von Funktionen

Bestimmen Sie die Definitionsmenge der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.

Berechnen Sie die Definitionsmenge der Wurzelfunktion $g(x) = \sqrt{2x-8}$.

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Polynomfunktion $h(x) = x^2 - 5x + 6$ mit den Koordinatenachsen.

Untersuchen Sie die Symmetrie (gerade, ungerade oder keine) der Polynomfunktion $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.

Bestimmen Sie die Intervalle, in denen die Funktion $q(x) = -3x + 12$ positive bzw. negative Funktionswerte hat.

Geben Sie die Wertemenge der quadratischen Funktion $r(x) = x^2 + 4$ an.

Geben Sie anhand des Graphen der Parabel $y = f(x)$ die Intervalle an, in denen sie monoton steigt bzw. fällt, sowie die Koordinaten ihres Extrempunkts.

Berechnen Sie die Definitionsmenge der Logarithmusfunktion $s(x) = \log_3(x+2)$.

Hannah behauptet in ihrer Klausur, die Definitionsmenge der Funktion $f(x) = \ln(9 - x^2)$ sei das abgeschlossene Intervall $[-3;3]$. Zur Begründung schreibt sie in ihrer Rechnung: „Da ich die Definitionsmenge berechnen muss, stelle ich die Ungleichung $9 - x^2 \ge 0$ auf, deren Lösung $x^2 \le 9$ ist, also $x \in [-3;3]$. Ich setze eckige Klammern, weil der Radikand bei $x = 3$ und bei $x = -3$ null ergibt und die Wurzel aus null existiert.“

1. a) Finden Sie die beiden begrifflichen Fehler, die Hannah beim Erkennen und Anwenden der Einschränkungen der Grundoperationen gemacht hat, und erklären Sie sie ausführlich.
2. b) Begründen Sie, was mathematisch passiert, wenn man versucht, $f(3)$ mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner auszuwerten, und warum das Ergebnis keine reelle Zahl sein kann.
3. c) Korrigieren Sie Hannahs Vorgehen und geben Sie die richtige Definitionsmenge von $f(x)$ in geeigneter Intervallschreibweise an.

Entwerfen Sie den Funktionsterm einer gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ (wobei $P(x)$ und $Q(x)$ Polynome sind), die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Ihre Definitionsmenge ist genau $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

2. Sie ist eine gerade Funktion, d. h. achsensymmetrisch zur y-Achse ($Y$).

3. Sie nimmt für jedes $x$ aus ihrer Definitionsmenge ausschließlich streng negative Werte an ($f(x) < 0$).

Begründen Sie Schritt für Schritt, wie Sie Zähler und Nenner wählen, um jede Bedingung zu gewährleisten, und erklären Sie, warum ein einfacher Nenner der Form $Q(x) = x^2 - 4$ nicht geeignet wäre, wenn der Zähler eine negative Konstante wäre.

Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.

Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen und untersuchen Sie das Vorzeichen der gebrochenrationalen Funktion $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.

Bestimmen Sie rechnerisch, ob die Funktion $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ gerade, ungerade oder weder noch ist.

Ein Geschoss wird senkrecht nach oben abgeschossen. Die Höhe $h(t)$ in Metern, die es nach $t$ Sekunden erreicht, wird durch die Funktion $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ beschrieben. Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt es die maximale Höhe erreicht und wie groß diese Höhe ist.

Ein Landwirt hat $100$ Meter Zaun zur Verfügung, um einen rechteckigen Gemüsegarten einzuzäunen, wobei er eine bereits vorhandene Steinmauer nutzt (an dieser Seite braucht er keinen Zaun). Ist $x$ die Länge der zur Mauer senkrechten Seiten, so wird der Flächeninhalt durch die Funktion $A(x) = x(100-2x)$ beschrieben. Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion im Sachzusammenhang und berechnen Sie die Abmessungen, für die der Flächeninhalt maximal wird.

Betrachten Sie den Graphen der folgenden periodischen Funktion, die die Spannung in einem elektronischen Schaltkreis modelliert. Bestimmen Sie ihre Periode $T$ und berechnen Sie den Wert von $f(17)$.

Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion:

$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{für } x < -1 \\ x^2+3 & \text{für } x \ge -1 \end{cases}$

Bestimmen Sie ihre Schnittpunkte mit den Achsen und untersuchen Sie ihr Vorzeichen auf der gesamten Definitionsmenge.

Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.

Um das Vorzeichen der Funktion $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1}$ auf ihrer gesamten Definitionsmenge zu untersuchen, diskutieren zwei Mitschüler, welchen Weg sie wählen sollen:

• Strategie A (klassische Vorzeichentabelle): Zähler und Nenner getrennt gleich null setzen, alle erhaltenen Lösungen auf der Zahlengeraden eintragen und in jedem entstehenden Intervall einen Testpunkt auswerten.

• Strategie B (vorherige Strukturanalyse): Das Gesamtvorzeichen jedes Terms durch algebraische Betrachtung seiner Eigenschaften untersuchen, bevor man in Intervalle zerlegt.

1. a) Wenden Sie Strategie B an, um mit Begründung die Intervalle mit positiven Funktionswerten ($f(x) > 0$), mit negativen Funktionswerten ($f(x) < 0$) und die Schnittpunkte mit der $X$-Achse zu bestimmen.
2. b) Erklären Sie, welche algebraische Schwierigkeit oder welcher Zeitverlust entsteht, wenn man in Strategie A den Schritt für den Nenner in der Menge der reellen Zahlen ($\mathbb{R}$) durchführen will.
3. c) Begründen Sie, welches der beiden Verfahren sicherer und effizienter ist, um Fehler zu vermeiden, wenn im Nenner nicht weiter zerlegbare quadratische Terme auftreten.

In einem Bericht des Deutschen Wetterdienstes über winterliche Temperaturinversion in einem Gebirgstal im Sauerland wird die Lufttemperatur $T$ (in $^{\circ}\text{C}$) in Abhängigkeit von der Höhe $h$ (gemessen in Hundert Metern über dem Meeresspiegel, wobei $h = 5$ für $500\text{ m}$ steht) durch die folgende Funktion modelliert:

1. a) Bestimmen Sie die mathematische Definitionsmenge der Funktion $T(h)$ aus der Einschränkung der Wurzel und vergleichen Sie sie mit dem physikalisch sinnvollen Bereich, wenn der Talboden bei $200\text{ m}$ ($h=2$) und der Gipfel bei $1000\text{ m}$ ($h=10$) liegt.
2. b) Leiten Sie ohne Ableitungen die Wertemenge der Funktion in diesem Tal her, indem Sie über den größten und kleinsten Wert des Radikanden argumentieren. Welche minimale und maximale Temperatur sind zu erwarten?
3. c) In welcher Höhe wird die maximale Temperatur erreicht? Begründen Sie, ob die Funktion symmetrisch zur senkrechten Geraden $h = 6$ ist, und deuten Sie die physikalische Bedeutung für die Temperaturverteilung an den beiden Talhängen.

Berechnen Sie mit Begründung die Definitionsmenge der Funktion $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.

Bestimmen Sie die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ der quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$, wenn ihr Scheitelpunkt der Punkt $V(3|-4)$ ist und sie die x-Achse in $x = 1$ schneidet.

Die durchschnittlichen monatlichen Stückkosten (in Euro) in einer Fabrik für elektronische Bauteile werden durch die Funktion $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$ beschrieben, wobei $x$ die Anzahl der produzierten Stücke ist ($x > 0$). Bestimmen Sie die Definitionsmenge im Sachzusammenhang, untersuchen Sie das Vorzeichen und weisen Sie rechnerisch nach, in welchen Intervallen die durchschnittlichen Kosten monoton steigen bzw. fallen.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ ungerade ist, und bestimmen Sie ihre Definitionsmenge.

Ein Riesenrad hat einen Radius von $10\text{ m}$, sein Mittelpunkt liegt $15\text{ m}$ über dem Boden, und es dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit und braucht $4\text{ min}$ für eine volle Umdrehung. Eine Gondel befindet sich zum Zeitpunkt $t = 0\text{ min}$ an ihrem tiefsten Punkt. Die Höhe $h(t)$ in Metern der Gondel in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Minuten wird durch eine trigonometrische Funktion modelliert. Bestimmen Sie ihre Periode, die maximale und die minimale Höhe der Gondel sowie die Zeitpunkte, zu denen diese im ersten vollständigen Umlauf erreicht werden.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $b$ so, dass die Funktion $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ die Definitionsmenge $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ hat und die x-Achse in den Punkten $x = 4$ und $x = -4$ schneidet.

Berechnen Sie die Umkehrfunktion von $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ und bestimmen Sie damit die Wertemenge der Funktion $f(x)$.

Führen Sie anhand des Graphen der Funktion $y = f(x)$ eine vollständige Untersuchung durch und geben Sie an: Definitionsmenge, Wertemenge, Symmetrie, Gleichungen der Asymptoten, Extrempunkte sowie Intervalle mit positiven und negativen Funktionswerten.

Gegeben ist die Funktion mit mehreren Einschränkungen durch die Rechenoperationen $f(x) = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{\ln(x)}$:

1. a) Schätzen Sie ab, bevor Sie rechnen:

• Überlegen Sie, ohne Ungleichungen zu lösen: Ist es sinnvoll zu fragen, ob diese Funktion gerade oder ungerade ist? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die negativen Werte von $x$ im Hinblick auf die Bestandteile des Terms untersuchen.

• Sagen Sie das Vorzeichen von $f(x)$ für Werte sehr nahe bei $0$ von rechts (wie $x = 0{,}1$) und für Werte wie $x = 2$ voraus. Begründen Sie Ihre Vorhersage mit den elementaren Eigenschaften der Logarithmen.

1. b) Berechnen und formalisieren Sie:

• Bestimmen Sie sorgfältig die Definitionsmenge von $f(x)$, indem Sie die drei notwendigen Bedingungen (Bruch, Wurzel mit geradem Wurzelexponenten und Logarithmus) ausdrücklich aufstellen und ihre Schnittmenge ermitteln.

• Führen Sie die formale Untersuchung des Vorzeichens von $f(x)$ durch und geben Sie die genauen Intervalle an, in denen $f(x) > 0$ und in denen $f(x) < 0$ gilt.

1. c) Bewerten und vergleichen Sie:

• Prüfen Sie, ob Ihre anfänglichen Abschätzungen aus (a) mit der Rechnung aus (b) übereinstimmen.

• Begründen Sie, ob die Funktion Nullstellen hat (Punkte, an denen $f(x) = 0$), und beschreiben Sie, welches Verhalten die Funktion zeigt, wenn sich $x$ von links bzw. von rechts $1$ nähert.

In einem Projekt der Biotechnik soll die Antwort $R(x)$ eines Biosensors in Abhängigkeit von einem Steuerparameter $x \in \mathbb{R}$ modelliert werden. Es ist der Funktionsterm einer Funktion $f(x)$ zu konstruieren, die gleichzeitig die folgenden vier Bedingungen erfüllt:

1. Ihre Definitionsmenge ist genau $\text{Dom}(f) = [-5; 5] \setminus \{0\}$.

2. Sie ist auf ihrer gesamten Definitionsmenge streng ungerade: $f(-x) = -f(x)$.

3. Sie hat keine Nullstelle in ihrer Definitionsmenge (d. h. $f(x) \ne 0$ für alle $x \in \text{Dom}(f)$).

4. Sie nimmt für $x \in (0; 5]$ ausschließlich streng positive Werte an.

1. a) Geben Sie einen Term für $f(x)$ an, indem Sie Grundoperationen (Bruchterme und Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten) kombinieren. Begründen Sie, wie jedes Element Ihres Terms die geforderten Bedingungen sicherstellt, ohne die anderen aufzuheben.
2. b) Zeigen Sie rechnerisch, dass die von Ihnen entworfene Funktion die Bedingung der Punktsymmetrie $f(-x) = -f(x)$ erfüllt.
3. c) Leiten Sie mit Begründung die Wertemenge Ihrer Funktion im Intervall $(0; 5]$ her und bestimmen Sie mithilfe der Punktsymmetrie die vollständige Wertemenge auf der gesamten Definitionsmenge. Begründen Sie, ob die Funktion nach oben beschränkt ist, indem Sie untersuchen, was geschieht, wenn sich $x$ von rechts $0$ nähert.