Aufgaben: Mittlere Änderungsrate einer Funktion

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = 3x - 5$ im Intervall $[1; 4]$. Stimmt dieser Wert mit der Steigung der Geraden überein, die die Funktion darstellt?

Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der quadratischen Funktion $g(x) = x^2 - 4x + 1$ in den Intervallen $[0;2]$ und $[2;4]$.

Gegeben ist die Funktion $h(t) = t^3 + 2t$. Bestimmen Sie ihre mittlere Änderungsrate im Intervall $[-1;2]$.

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ im Intervall $[2;5]$.

Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Wurzelfunktion $p(x) = \sqrt{x + 3}$ im Intervall $[1;6]$.

Betrachten Sie das Schaubild der Funktion $f(x)$ in der Abbildung. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall $[-2;2]$. Welche geometrische Bedeutung hat dieser Wert in Bezug auf die eingezeichnete Sekante?

Die von einem Radfahrer zurückgelegte Strecke in Metern ist in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden durch den Term $d(t) = 2t^2 + 5t$ gegeben. Wie groß war seine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten $t = 2$ und $t = 5$?

Die Temperatur eines Industrieofens in Grad Celsius entwickelt sich nach der Funktion $T(t) = 20 + 5t - t^2$, wobei $t$ die Zeit in Minuten ist. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur in den ersten $3$ Minuten.

Emilia versucht, die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = x^2 - 3x$ im Intervall $[2;5]$ zu berechnen. In ihrer Klassenarbeit schreibt sie die folgende Rechnung:

1. a) Finden Sie den begrifflichen Fehler, den Emilia gemacht hat, und erklären Sie mit eigenen Worten, warum die mittlere Änderungsrate nicht dem Funktionswert an der Intervalllänge entspricht.
2. b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate $m_{[2;5]}$ korrekt und zeigen Sie dabei alle Schritte.
3. c) Beschreiben Sie anhand des Vorzeichens des Ergebnisses aus dem vorherigen Teil die Neigung der Sekante durch die Punkte mit den x-Werten $x = 2$ und $x = 5$.

An einem Sommertag in Dortmund zeigen die Wetteraufzeichnungen, dass sich die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) zwischen $10:00$ ($t = 0$) und $16:00$ ($t = 6$) durch ein abschnittsweise lineares Modell beschreiben lässt:

1. a) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Temperatur im Intervall $[0; 4]$ und im Intervall $[4; 6]$. Vergessen Sie nicht, die Einheiten der Ergebnisse anzugeben.
2. b) Bestimmen Sie ohne weitere numerische Rechnung den Wert der mittleren Änderungsrate im Intervall $[1; 3]$. Begründen Sie Ihre Antwort mit den Eigenschaften der mittleren Änderungsrate bei linearen Funktionen.
3. c) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall $[0; 6]$ für den gesamten Zeitraum und interpretieren Sie die physikalische Bedeutung.

Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k$ so, dass die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = kx^2 - 3x + 2$ im Intervall $[1; 3]$ gleich $5$ ist.

Vergleichen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktionen $f(x) = 2^x$ und $g(x) = x^3$ im Intervall $[2; 4]$. Welche der beiden Funktionen wächst in diesem Intervall im Mittel stärker?

Die Anzahl der Bakterien in einer Laborkultur nach $t$ Stunden wird durch die Funktion $N(t) = 500 \cdot e^{0,2t}$ modelliert. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Population im Zeitintervall zwischen $t = 0$ und $t = 5$ Stunden. Geben Sie das Ergebnis in Abhängigkeit von der Zahl $e$ an.

Der monatliche Gewinn eines Unternehmens in Tausend Euro ist durch die Funktion $B(x) = -2x^2 + 24x - 10$ gegeben, wobei $x$ der in Werbung investierte Betrag in Tausend Euro ist. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate des Gewinns, wenn die Werbeinvestition von $3$ auf $6$ Tausend Euro steigt, und interpretieren Sie das Ergebnis.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Bestimmen Sie die Gleichung der Sekante durch die Punkte des Graphen mit den x-Werten $x = 1$ und $x = 4$. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Steigung dieser Geraden und der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall?

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ im allgemeinen Intervall $[a; a+h]$ und vereinfachen Sie den entstehenden Term so weit wie möglich.

Von der Spitze einer Klippe wird eine Rettungsrakete senkrecht nach oben abgeschossen. Ihre Höhe in Metern über dem Meeresspiegel nach $t$ Sekunden ist durch $h(t) = 80 + 30t - 5t^2$ gegeben. Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit der Rakete in den Intervallen $[1; 3]$ und $[3; 5]$. Was sagt das Vorzeichen der erhaltenen Ergebnisse aus?

Das folgende Schaubild zeigt das Wasservolumen $V(t)$ in Litern, das ein Behälter im Verlauf von $8$ Stunden enthält. Berechnen Sie anhand der hervorgehobenen Punkte im Schaubild die mittlere Änderungsrate des Volumens in den Intervallen $[0; 4]$ und $[4; 8]$. In welchem Zeitraum erfolgte das Leeren im Durchschnitt schneller?

Betrachten Sie die Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$.

1. a) Betrachten Sie vor jeder numerischen Rechnung das allgemeine Verhalten einer Exponentialfunktion und schätzen Sie begründet ab, welche der beiden mittleren Änderungsraten größer sein wird: die im Intervall $[0;\,2]$ oder die im Intervall $[2;\,4]$. Erwarten Sie, dass beide positiv sind?
2. b) Berechnen Sie die mittleren Änderungsraten von $f$ in den Intervallen $[0;\,2]$ und $[2;\,4]$ exakt. Prüfen Sie, ob das numerische Ergebnis Ihre vorherige Schätzung bestätigt.
3. c) Kann es eine nicht konstante ganzrationale Funktion geben, für die die mittleren Änderungsraten in den Intervallen $[0;\,2]$ und $[2;\,4]$ übereinstimmen? Begründen Sie, welche Art von Funktion diese Gleichheit erfüllen würde und warum dies bei $f(x) = 2^x$ nicht der Fall ist.

Es soll die mittlere Änderungsrate der quadratischen Funktion $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ in drei Intervallen untersucht werden, die vom selben Punkt $a = 1$ ausgehen: $[1; 2]$, $[1; 1,5]$ und $[1; 1,1]$. Zwei Mitschüler schlagen unterschiedliche Strategien vor:

• Claras Methode: $f(b)$ und $f(1)$ für jeden Randpunkt getrennt berechnen und die Formel $\bar m = \frac{f(b) - f(1)}{b - 1}$ dreimal unabhängig anwenden.

• Daniels Methode: den oberen Randpunkt als $1+h$ schreiben, eine allgemeine vereinfachte Formel für die mittlere Änderungsrate $\bar m[1; 1+h] = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$ in Abhängigkeit vom Zuwachs $h$ herleiten und dann $h = 1$, $h = 0,5$ und $h = 0,1$ einsetzen.

1. a) Wenden Sie Daniels Methode an: Multiplizieren Sie aus und vereinfachen Sie den Term für $\bar m[1; 1+h]$ so weit wie möglich und bestimmen Sie die drei gesuchten Werte.
2. b) Wenden Sie Claras Methode nur für das Intervall $[1; 1,1]$ an und überprüfen Sie, dass beide Methoden genau zum selben Ergebnis führen.
3. c) Begründen Sie, welche der beiden Methoden vorteilhafter ist, wenn viele Intervalle mit gemeinsamem Anfangspunkt $a = 1$ untersucht werden sollen, und erklären Sie, wie man aus Daniels Term die Tendenz der Änderungsrate ablesen kann, wenn der Zuwachs $h$ praktisch gegen null geht.

Die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + c$ im Intervall $[1;b]$ ist gleich $6$. Bestimmen Sie den Wert von $b$, wenn $b > 1$ gilt. Hängt das Ergebnis vom Wert der Konstanten $c$ ab?

Von einer quadratischen Funktion der Form $f(x) = ax^2 + bx + 5$ ist bekannt, dass sie im Intervall $[0;2]$ die mittlere Änderungsrate $1$ und im Intervall $[2;4]$ die mittlere Änderungsrate $9$ hat. Stellen Sie ein Gleichungssystem auf und bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $b$.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die mittlere Änderungsrate jeder linearen Funktion $f(x) = mx + n$ in einem beliebigen Intervall $[a;b]$ stets konstant und gleich $m$ ist.

Das newtonsche Abkühlungsgesetz besagt, dass sich die Temperatur eines Körpers der Umgebungstemperatur exponentiell annähert. Ein Ingenieur modelliert die Temperatur eines Metallteils in Grad Celsius nach $t$ Minuten durch $T(t) = 25 + 150 \cdot (0,8)^t$. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate in den Intervallen $[0;5]$ und $[5;10]$. Welche Schlussfolgerung ziehen Sie über die Geschwindigkeit der Abkühlung im Lauf der Zeit?

Betrachten Sie die Funktion $f(x) = \frac{4}{x}$. Die Sekante an das Schaubild von $f(x)$ durch die Punkte mit den x-Werten $x = 1$ und $x = 4$ bildet mit den positiven Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x & \text{für } x \le 2 \\ \frac{4}{x} - 2 & \text{für } x > 2 \end{cases}$

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall $[0;4]$. Prüfen Sie, ob die Funktion in $x=2$ stetig ist, und begründen Sie, ob dies die Berechnung der mittleren Änderungsrate beeinflusst.

Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Funktion $f(x) = \sqrt{x+2}$ im Intervall $[2; 2+h]$. Bestimmen Sie anschließend, welchem Wert sich diese Änderungsrate nähert, wenn $h$ gegen $0$ strebt.

Die Gravitationskraft zwischen der Erde und einem Satelliten hängt von der Entfernung $r$ (in Tausend km) vom Erdmittelpunkt nach dem Term $F(r) = \frac{4 \cdot 10^5}{r^2}$ ab. Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Kraft, wenn die Entfernung von $10$ auf $20$ Tausend km zunimmt. Interpretieren Sie die Bedeutung des Vorzeichens des erhaltenen Ergebnisses.

Gesucht ist eine quadratische Funktion der Form $f(x) = ax^2 + bx$ (ohne Absolutglied), die gleichzeitig zwei Bedingungen an ihre Änderungsrate erfüllt:

1. Ihre mittlere Änderungsrate im Intervall $[0; 2]$ ist gleich $5$.

2. Ihre mittlere Änderungsrate im Intervall $[1; 4]$ ist gleich $11$.

1. a) Stellen Sie aus der Definition der mittleren Änderungsrate ein lineares Gleichungssystem auf und berechnen Sie die exakten Werte der Koeffizienten $a$ und $b$.
2. b) Betrachten Sie für die erhaltene Funktion ein symmetrisches Intervall der Breite $2h$ um eine beliebige Stelle $x_0$, also $[x_0 - h; x_0 + h]$. Zeigen Sie algebraisch, dass die mittlere Änderungsrate im Intervall $[x_0 - h; x_0 + h]$ ausschließlich vom Mittelpunkt $x_0$ abhängt und überhaupt nicht von der Breite $h$.
3. c) Prüfen Sie, ob diese Eigenschaft auch für die kubische Funktion $g(x) = x^3$ gilt, indem Sie die mittleren Änderungsraten in den Intervallen $[-1; 1]$ und $[-2; 2]$ berechnen und vergleichen (beide Intervalle haben den Mittelpunkt $x_0 = 0$). Folgern Sie begründet, ob diese Unabhängigkeit von der Breite eine allgemeine Eigenschaft ist oder nur für bestimmte Funktionenklassen gilt.

Das Straßenverkehrsamt überwacht auf der Autobahn A-6 einen Abschnitt von $6\text{ km}$ mit einer Abschnittskontrolle. In diesem Abschnitt beträgt die zulässige Höchstgeschwindigkeit $90\text{ km/h}$. Ein Fahrzeug fährt um $12:00:00$ ($t = 0\text{ h}$) in den Abschnitt ein, und seine Position $s(t)$ in Kilometern innerhalb des Abschnitts wird durch die Funktion $s(t) = 96t - 288t^2$ beschrieben, wobei die Zeit $t$ in Stunden gemessen wird.

1. a) Stellen Sie die Gleichung auf, mit der man die genaue Uhrzeit berechnet, zu der das Fahrzeug $6\text{ km}$ erreicht und den Abschnitt verlässt. Geben Sie die vergangene Zeit in vollen Minuten an.
2. b) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate der Position auf dem gesamten Abschnitt, also im Intervall $[0; t_{\text{Ausgang}}]$, und deuten Sie das Ergebnis als Durchschnittsgeschwindigkeit des Fahrzeugs in $\text{km/h}$. Wird die Abschnittskontrolle diesen Fahrer sanktionieren?
3. c) Ein vorläufiger Bericht behauptet: „Da die Durchschnittsgeschwindigkeit im Abschnitt unter $90\text{ km/h}$ lag, hat das Fahrzeug auf der gesamten Strecke die Geschwindigkeitsbegrenzung eingehalten.“ Widerlegen Sie diese Aussage mathematisch: Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate im Intervall $[0; 1/60]$ für die erste Fahrminute, vergleichen Sie diesen Wert mit der gesetzlichen Grenze von $90\text{ km/h}$ und erläutern Sie den grundlegenden Unterschied zwischen der mittleren Änderungsrate in einem Intervall und der momentanen Geschwindigkeit.