Aufgaben: Leistung, Energieverbrauch und Wirkungsgrad

Der Motor eines Garagentors verrichtet beim Anheben eine Arbeit von $6000\ \text{J}$ in $30\ \text{s}$. Die mittlere Leistung berechnet sich als $P = W/t$.

1. a) Berechnen Sie die Leistung des Motors in Watt.
2. b) Geben Sie sie in Kilowatt an.

Zwei Roboter einer Montagelinie verrichten beim Schweißen eines Teils genau dieselbe Arbeit, aber Roboter A braucht $20\ \text{s}$ und Roboter B $40\ \text{s}$.

1. a) Welcher der beiden verrichtet mehr Arbeit? Begründen Sie.
2. b) Welcher ist leistungsstärker? Wie viel mal so stark?

Die Zugkraft des Motors eines Autos, das mit der konstanten Geschwindigkeit $20\ \text{m/s}$ fährt, beträgt $1500\ \text{N}$. Wenn Kraft und Geschwindigkeit dieselbe Richtung und denselben Richtungssinn haben, lässt sich die Leistung als $P = F \cdot v$ berechnen. Berechnen Sie die Leistung des Motors in Watt und in Kilowatt.

Im Datenblatt eines Autos steht eine Leistung von $100\ \text{PS}$. Die Pferdestärke ist eine historische Leistungseinheit: $1\ \text{PS} = 736\ \text{W}$.

1. a) Geben Sie die Leistung des Autos in Watt an.
2. b) Geben Sie sie in Kilowatt an, der Einheit, die die Industrie heute verwendet.

Ein Heizlüfter hat eine Leistung von $2000\ \text{W}$ und läuft $3\ \text{h}$. Die verbrauchte Energie berechnet sich als $E = P \cdot t$.

1. a) Berechnen Sie die verbrauchte Energie in $\text{kWh}$ (verwenden Sie die Leistung in $\text{kW}$ und die Zeit in Stunden).
2. b) Geben Sie sie in Joule an, wobei $1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$ gilt.

Der Motor eines Riesenrads verbraucht $5000\ \text{J}$ elektrische Energie und liefert $4000\ \text{J}$ Nutzarbeit beim Anheben der Gondeln. Der Wirkungsgrad ist definiert als $\eta = \frac{W_{nutz}}{W_{gesamt}}$. Das Schema fasst die Energiebilanz des Motors zusammen:

1. a) Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Motors und geben Sie ihn in Prozent an.
2. b) Wie viel Energie ist verloren gegangen? In welche Energieform hat sie sich Ihrer Meinung nach umgewandelt?

Ein Radfahrer tritt in zwei Situationen mit derselben Nettokraft in die Pedale: mit $18\ \text{km/h}$ auf einem ebenen Abschnitt und mit $36\ \text{km/h}$ bei einer leichten Abfahrt.

1. a) Begründen Sie mit dem Ausdruck $P = F \cdot v$, in welcher der beiden Situationen er mehr Leistung erbringt und wie viel mal so viel.
2. b) Bedeutet das, dass er in derselben Zeit mehr Arbeit verrichtet? Erklären Sie.

Ordnen Sie diese drei Geräte nach abnehmender Leistung: einen Mixer mit $350\ \text{W}$, einen Haartrockner mit $2000\ \text{W}$ und eine LED-Lampe mit $9\ \text{W}$. Berechnen Sie anschließend die Energie, die das leistungsstärkste Gerät bei einer Betriebsdauer von $10\ \text{min}$ verbraucht, in Joule (denken Sie daran, die Zeit in Sekunden umzurechnen).

Ein Turmdrehkran auf einer Baustelle hebt eine Last von Blöcken der Masse $400\ \text{kg}$ mit konstanter Geschwindigkeit auf $20\ \text{m}$ Höhe in $40\ \text{s}$ (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die der Kran gegen die Gewichtskraft verrichtet.
2. b) Berechnen Sie die Nutzleistung, die er erbringt, in Watt und in Kilowatt.

Ein Sessellift befördert $30$ Skifahrer mit einer mittleren Masse von $75\ \text{kg}$ samt Ausrüstung auf eine $100\ \text{m}$ höher gelegene Stelle in $5\ \text{min}$ (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die der Sessellift an den Skifahrern verrichtet (denken Sie daran, die Zeit in Sekunden umzurechnen).
2. b) Berechnen Sie die Nutzleistung, die er erbringt, in Watt und in Kilowatt.

Ein Pkw hält auf der Autobahn eine konstante Geschwindigkeit von $90\ \text{km/h}$. Bei dieser Geschwindigkeit ergeben Luftwiderstand und Reibung zusammen eine Kraft von $2000\ \text{N}$, die der Motor überwinden muss.

1. a) Geben Sie die Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ an.
2. b) Da die Geschwindigkeit konstant ist, ist die Zugkraft gleich dem gesamten Widerstand: Berechnen Sie die Leistung des Motors mit $P = F \cdot v$ in $\text{kW}$.

Ein industrieller Elektromotor verbraucht während seiner Schicht $8\ \text{kWh}$ elektrische Energie und liefert $6\ \text{kWh}$ Nutzarbeit ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Berechnen Sie seinen Wirkungsgrad in Prozent.
2. b) Berechnen Sie die verlorene Energie in $\text{kWh}$ und in Joule.

Der Ofen einer Bäckerei hat eine Leistung von $2500\ \text{W}$ und läuft jeden Tag $1,5\ \text{h}$. Der Strompreis beträgt $0,2\ \text{€/kWh}$.

1. a) Berechnen Sie die Energie, die der Ofen in einem Monat mit $30$ Tagen verbraucht, in $\text{kWh}$.
2. b) Berechnen Sie die monatlichen Stromkosten des Ofens.

Bei einem Fitnesstest klettert ein Soldat der Masse $75\ \text{kg}$ mit Ausrüstung $6\ \text{m}$ an einem Seil in $15\ \text{s}$ hinauf (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die er gegen die Gewichtskraft verrichtet.
2. b) Berechnen Sie die mittlere Leistung, die er erbringt.
3. c) Wenn seine Kameradin mit einer Masse von $60\ \text{kg}$ samt Ausrüstung dieselbe Zeit benötigt, erbringt sie mehr, weniger oder gleich viel Leistung? Begründen Sie durch Berechnung.

Der Motor eines Kompressors in einer Werkstatt nimmt aus dem Stromnetz eine Leistung von $5\ \text{kW}$ auf und hat einen Wirkungsgrad von $80\ \%$. Der Wirkungsgrad lässt sich auch mit Leistungen ausdrücken: $\eta = \frac{P_{nutz}}{P_{gesamt}}$.

1. a) Berechnen Sie die Nutzleistung des Motors.
2. b) Berechnen Sie die Verlustleistung.
3. c) Wenn der Motor $4\ \text{h}$ läuft, wie viel Nutzenergie liefert er? Geben Sie sie in $\text{kWh}$ und in Joule an ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

Ein Jetski fährt mit konstanter Geschwindigkeit $10\ \text{m/s}$, und sein Motor erbringt eine Nutzleistung von $25\ \text{kW}$.

1. a) Welche resultierende Widerstandskraft überwindet der Motor bei dieser Geschwindigkeit? Lösen Sie zuerst den Ausdruck $P = F \cdot v$ nach der Kraft auf.
2. b) Wenn der Wirkungsgrad des Motors $25\ \%$ beträgt, welche Gesamtleistung nimmt er auf?

Der Motor eines Krans nimmt aus dem Netz eine elektrische Leistung von $10\ \text{kW}$ auf und hat einen Wirkungsgrad von $60\ \%$. Er hebt eine Last von $500\ \text{kg}$ mit konstanter Geschwindigkeit während $30\ \text{s}$ (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Nutzleistung des Motors.
2. b) Berechnen Sie die in den $30\ \text{s}$ verrichtete Nutzarbeit.
3. c) Welche Höhe hat die Last in dieser Zeit gewonnen?

Ein Pkw der Masse $1200\ \text{kg}$ fährt einen Pass mit einer Steigung von $8\ \%$ hinauf (auf $100\ \text{m}$ in der Horizontalen kommen $8\ \text{m}$ Höhenunterschied; Sie können $\sin \alpha \approx 0,08$ verwenden) mit konstanter Geschwindigkeit $20\ \text{m/s}$. Reibungskraft und Luftwiderstand ergeben zusammen $600\ \text{N}$ (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$), wie in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die zur Straße parallele Komponente der Gewichtskraft.
2. b) Berechnen Sie die gesamte Kraft, die der Motor aufbringen muss, um die Geschwindigkeit zu halten.
3. c) Berechnen Sie die Nutzleistung des Motors in $\text{kW}$.
4. d) Wenn der Wirkungsgrad des Motors $30\ \%$ beträgt, welche Leistung nimmt er auf? Erläutern Sie, warum der Verbrauch bei einer Steigung viel höher ist als in der Ebene.

Die Rolltreppe einer U-Bahn-Station befördert die Fahrgäste über einen Höhenunterschied von $6\ \text{m}$. In der Hauptverkehrszeit transportiert sie einen Strom von $900$ Personen pro Stunde mit einer mittleren Masse von $70\ \text{kg}$ (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die die Rolltreppe in einer Stunde an den Fahrgästen verrichtet.
2. b) Berechnen Sie die erforderliche Nutzleistung.
3. c) Wenn die Einheit aus Motor und Kette einen Wirkungsgrad von $70\ \%$ hat, welche Leistung muss der eingebaute Motor haben?

Eine Solar-Bewässerungspumpe fördert $200\ \text{kg}$ Wasser (zur Erinnerung: $1\ \text{L}$ Wasser hat eine Masse von $1\ \text{kg}$) aus einem Speicher auf ein $15\ \text{m}$ höher gelegenes Feld in $5\ \text{min}$ (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Nutzarbeit, die die Pumpe am Wasser verrichtet (denken Sie daran, die Zeit in Sekunden umzurechnen).
2. b) Berechnen Sie die Nutzleistung in Watt.
3. c) Wenn der Wirkungsgrad der Pumpe $50\ \%$ beträgt, welche elektrische Leistung nimmt sie auf?
4. d) Wenn sie $2\ \text{h}$ pro Tag läuft und der Strom $0,15\ \text{€/kWh}$ kostet, wie viel kostet die Bewässerung pro Tag?

James Watt definierte die Pferdestärke ($\text{PS}$) als die Leistung, die nötig ist, um $75\ \text{kg}$ mit konstanter Geschwindigkeit um $1\ \text{m}$ pro Sekunde anzuheben (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die unter diesen Bedingungen in $1\ \text{s}$ gegen die Gewichtskraft verrichtete Arbeit und die zugehörige Leistung.
2. b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der heutigen Umrechnung $1\ \text{PS} = 736\ \text{W}$ und erläutern Sie, worauf der kleine Unterschied beruht.
3. c) Ein gut trainierter Radfahrer kann etwa $300\ \text{W}$ eine Stunde lang halten: Wie vielen $\text{PS}$ entspricht das ungefähr? Kommentieren Sie das Ergebnis.

In einem kleinen Wasserkraftwerk hat die Turbine einen Wirkungsgrad von $90\ \%$ und der daran gekoppelte Generator einen von $80\ \%$. Das Schema zeigt die Umwandlungskette:

1. a) Begründen Sie, warum der Gesamtwirkungsgrad der Kette das Produkt der Einzelwirkungsgrade ist, und berechnen Sie ihn.
2. b) Wenn das Wasser dem Kraftwerk $1\cdot10^{7}\ \text{J}$ mechanische Energie liefert, wie viel elektrische Energie wird gewonnen?
3. c) Geben Sie sie in $\text{kWh}$ an ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

Ein Hochgeschwindigkeitszug erbringt eine Leistung von $8\ \text{MW}$, wenn er mit $288\ \text{km/h}$ fährt.

1. a) Geben Sie die Geschwindigkeit in $\text{m/s}$ an.
2. b) Berechnen Sie die gesamte Widerstandskraft, die der Zug bei dieser Geschwindigkeit überwindet, indem Sie $P = F \cdot v$ umstellen.
3. c) Wenn der Zug mit halber Geschwindigkeit und gleicher Leistung führe, welche maximale Kraft könnte er überwinden? Begründen Sie Ihre Antwort und erläutern Sie, warum Güterzuglokomotiven, die riesige Lasten ziehen, langsam fahren.

Zwei Gewichtheber treten in der Disziplin Reißen an. Gewichtheber A hebt $100\ \text{kg}$ in $1\ \text{s}$ auf eine Höhe von $2\ \text{m}$; Gewichtheber B hebt $150\ \text{kg}$ in $1,5\ \text{s}$ auf dieselbe Höhe (verwenden Sie $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Berechnen Sie die Arbeit, die jeder gegen die Gewichtskraft verrichtet.
2. b) Berechnen Sie die Leistung, die jeder erbringt. Wer ist leistungsstärker? Kommentieren Sie das Ergebnis.
3. c) In welcher Zeit hätte Gewichtheber B seinen Hub ausführen müssen, um eine Leistung von $2500\ \text{W}$ zu erbringen?

Herausforderung des Themas. Bist du effizienter als ein Elektromotor? Entwirf ein biomechanisches und wirtschaftliches Audit deiner eigenen Antriebsleistung zu Hause.

1. Datenerfassung und Recherche: Miss die Höhe eines Treppenabschnitts ($h \pm 0,01\text{ m}$), die Masse einer Last ($m \pm 0,1\text{ kg}$) und deine Körpermasse ($M \pm 0,1\text{ kg}$). Recherchiere auf der Website von Red Eléctrica de España (REE) den heutigen durchschnittlichen Preis für $\text{kWh}$.

2. Experiment: Trage die Last in vier verschiedenen Tempi hinauf und stoppe jeden Aufstieg mit seiner Unsicherheit ($t \pm 0,2\text{ s}$, mit drei Wiederholungen zur Mittelwertbildung).

3. Datenauswertung: Erstelle eine Tabelle mit der mechanischen Nutzarbeit ($W = m \cdot g \cdot h$), der erbrachten Leistung ($P = W/t$) und ihren Unsicherheiten. Zeichne den Graphen von $P$ gegen $1/t$.

4. Verbrauch und Wirkungsgrad: Berechne unter der Annahme eines menschlichen Muskelwirkungsgrads von $\eta = 22\,\%$ die tatsächlich verbrauchte Stoffwechselenergie (in $\text{kJ}$ und $\text{kWh}$), wobei du berücksichtigst, dass du auch deinen eigenen Körper anhebst ($E_{\text{Stoffw}} = (m+M) \cdot g \cdot h/\eta$), und vergleiche sie mit den Kosten, die entstünden, wenn ein kleiner Haushaltsmotor mit $\eta = 85\,\%$ dieselbe Aufgabe (nur die Last hochzuheben) erledigte. Verfasse einen kurzen Bericht mit deinen Schlussfolgerungen.

Bewertet wird:

• Sorgfalt bei der Abschätzung der Unsicherheiten sowie Qualität von Tabelle und Graph.

• Korrekte Anwendung der Begriffe Arbeit, Leistung und Wirkungsgrad.

• Kritische Analyse der Effizienz und angemessene Verwendung der REE-Daten.