Aufgaben: Lichtgeschwindigkeit und Lichtuhr

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt $c = 3,00 \cdot 10^8\ \text{m/s}$.

1. a) Berechnen Sie, wie lange Licht für die Strecke von der Sonne zur Erde ($1,50 \cdot 10^{11}\ \text{m}$) benötigt. Geben Sie das Ergebnis in Minuten an.
2. b) Berechnen Sie, wie lange Licht für die Strecke von Berlin nach München (Luftlinie $504\ \text{km}$) braucht.

Eine Lichtuhr besteht aus zwei parallelen Spiegeln im Abstand $d = 0,30\ \text{m}$. Ein Lichtpuls läuft zwischen den Spiegeln hin und her. Ein „Tick“ entspricht einem Hin- und Rücklauf.

1. a) Berechnen Sie die Dauer eines Ticks für einen Beobachter, der relativ zur Uhr ruht.
2. b) Berechnen Sie, wie viele Ticks in einer Sekunde stattfinden.

Ein Auto fährt mit $30\ \text{m/s}$ und schaltet das Fernlicht ein. Eine Schülerin argumentiert: „Das Licht muss sich relativ zum Straßenrand mit $c + 30\ \text{m/s}$ ausbreiten.“

1. a) Geben Sie an, was die Einsteinsche Annahme zur Lichtgeschwindigkeit über diese Aussage sagt.
2. b) Nennen Sie die beiden Postulate der speziellen Relativitätstheorie.

Eine Lichtuhr mit Spiegelabstand $d$ bewegt sich senkrecht zur Verbindungslinie der Spiegel mit der Geschwindigkeit $v$ an einem Beobachter vorbei.

1. a) Skizzieren Sie in Worten den Weg des Lichtpulses aus Sicht des Beobachters und erklären Sie, warum er länger ist als $2d$.
2. b) Leiten Sie mit dem Satz des Pythagoras die Beziehung $\left(\dfrac{c\,t}{2}\right)^2 = d^2 + \left(\dfrac{v\,t}{2}\right)^2$ für die Zeit $t$ eines Ticks im Beobachtersystem her.
3. c) Formen Sie nach $t$ um und zeigen Sie $t = \dfrac{t_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ mit $t_0 = 2d/c$.

Eine Lichtuhr bewegt sich mit $v = 0,60\,c$ an einem Beobachter vorbei. Im Ruhesystem der Uhr dauert ein Tick $t_0 = 2,0\ \text{ns}$.

1. a) Berechnen Sie den Faktor $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$.
2. b) Berechnen Sie die Dauer eines Ticks im System des Beobachters.
3. c) Berechnen Sie, welche Strecke der Lichtpuls im System des Beobachters während eines Ticks zurücklegt.

Zwei identische Lichtuhren A und B bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten relativ zu einem Labor. Im Laborsystem gemessen zählt A pro Sekunde nur das $0,80$-Fache der Ticks von B, das im Labor ruht.

1. a) Berechnen Sie den Faktor $\gamma$ für Uhr A, wenn B im Labor ruht und B in einer Sekunde $1.000$ Ticks zählt, A dagegen $800$.
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit von A in Vielfachen von $c$.

Eine Lichtuhr mit Spiegelabstand $d = 1,5\ \text{m}$ ist so ausgerichtet, dass die Verbindungslinie der Spiegel senkrecht zur Bewegungsrichtung steht. Sie bewegt sich mit $v = 0,80\,c$ relativ zum Beobachter.

1. a) Berechnen Sie die Tickdauer im Ruhesystem und im Beobachtersystem.
2. b) Begründen Sie, warum die Annahme einer absoluten, für alle Beobachter gleichen Zeit mit der Konstanz von $c$ unvereinbar ist.
3. c) Ein Mitreisender bei der Uhr behauptet, die Uhr des Beobachters gehe langsamer. Beurteilen Sie diese Aussage.

Bei der Herleitung der Zeitdilatation wurde vorausgesetzt, dass der Abstand $d$ der Spiegel senkrecht zur Bewegung für beide Beobachter gleich ist.

1. a) Erläutern Sie, warum diese Voraussetzung nötig ist und was passieren würde, wenn der Lichtpuls parallel zur Bewegungsrichtung liefe.
2. b) Zeigen Sie, dass für $v \ll c$ näherungsweise $t \approx t_0\left(1 + \dfrac{v^2}{2c^2}\right)$ gilt.
3. c) Berechnen Sie damit die relative Abweichung $(t - t_0)/t_0$ für ein Flugzeug mit $v = 250\ \text{m/s}$ und beurteilen Sie, warum man sie im Alltag nicht bemerkt.

Myonen entstehen in der Atmosphäre in etwa $15\ \text{km}$ Höhe und bewegen sich mit $v = 0,995\,c$ zur Erde. Ihre mittlere Lebensdauer im Ruhesystem beträgt $t_0 = 2,2\ \mu\text{s}$.

1. a) Berechnen Sie die Strecke, die ein Myon ohne Zeitdilatation im Mittel zurücklegen würde.
2. b) Berechnen Sie $\gamma$ und die mittlere Lebensdauer aus Sicht eines Beobachters auf der Erde sowie die dann zurückgelegte Strecke.
3. c) Erläutern Sie, inwiefern der Nachweis von Myonen am Erdboden die Zeitdilatation stützt.