Ejercicios: Problemas con ecuaciones

En un torneo de eSports, el equipo de Alex ha conseguido el triple de puntos que el equipo de Salma. Si entre los dos equipos han sumado un total de $152$ puntos, ¿cuántos puntos ha obtenido cada equipo?

Aisha tiene $4$ años más que su hermano pequeño, Yosvani. Dentro de $6$ años, la suma de las edades de ambos será de $32$ años. Calcula la edad actual de cada uno planteando una ecuación de primer grado.

Se quiere vallar un huerto escolar de forma rectangular para proteger los cultivos. Sabemos que el largo del huerto mide $5$ metros más que el ancho y que para rodearlo completamente se han necesitado $38$ metros de valla. ¿Cuáles son las dimensiones del huerto?

Un grupo de amigos compra entradas para un concierto. Las entradas de "pista" cuestan $15$ dólares más que las de "grada". Si compran una de cada tipo y el total de la factura es de $85$ dólares, ¿cuál es el precio de cada entrada?

La suma de tres números dorsales de una carrera, que resultan ser tres números enteros consecutivos, es igual a $63$. ¿Qué números llevan esos tres corredores en su pulóver?

Un repartidor de una aplicación de comida a domicilio lleva en su mochila el doble de pizzas que de hamburguesas. Si en total transporta $12$ pedidos entre pizzas y hamburguesas, ¿cuántos hay de cada clase?

Kenia ha empezado a ahorrar para comprarse una tableta que cuesta $240$ dólares. Ya tiene ahorrados $60$ dólares y, a partir de ahora, va a guardar $12$ dólares de su paga cada semana. ¿Cuántas semanas tardará en tener el dinero suficiente para la compra?

Calcula el lado de un panel publicitario de forma cuadrada sabiendo que si su lado aumentara en $2$ metros, su área aumentaría en $16$ metros cuadrados.

Para resolver el problema: «Lucía tiene $38$ años y su hijo Hugo tiene $10$. ¿Dentro de cuántos años la edad de Lucía será exactamente el doble de la de su hijo?», Mateo ha escrito en su examen:

$38 + x = 2 \cdot 10 + x$

1. a) Explica con tus palabras los dos errores conceptuales que ha cometido Mateo al traducir el enunciado al lenguaje algebraico.
2. b) Define con precisión qué representa la incógnita $x$ y plantea la ecuación correcta.
3. c) Resuelve la ecuación paso a paso y comprueba que la solución responde con sentido a la pregunta del enunciado.

El gobierno municipal de una localidad quiere cercar una parcela rectangular destinada a un parque para perros. Por las características del terreno, el largo debe medir exactamente el triple que el ancho, y se dispone de un presupuesto cerrado para comprar un rollo completo de $160\text{ m}$ de cerca metálica.

1. a) Antes de calcular nada, realiza una estimación razonada: ¿podría medir el ancho $30\text{ m}$? Justifica si con esa medida se necesitaría más cerca de la disponible, menos o la cantidad exacta.
2. b) Define la incógnita $x$, plantea una ecuación de primer grado que represente el perímetro total y resuélvela para hallar las dimensiones exactas del parque (largo y ancho).
3. c) Comprueba si el resultado obtenido confirma tu estimación inicial y calcula el área total que tendrán los perros para correr.

Halla tres números enteros consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual al triple del tercero menos 14 unidades.

Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en un parque municipal. Se sabe que el largo de la zona debe ser $5$ metros mayor que el ancho. Si el área total destinada a los juegos es de $150$ $m^2$, calcula las dimensiones (largo y ancho) que tendrá dicha zona.

Actualmente, la edad de un padre es el triple que la de su hija. Dentro de $12$ años, la edad del padre será solamente el doble que la de su hija. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?

Dos ciclistas, Lucía y Marcos, se encuentran a una distancia de $60$ $km$ y deciden encontrarse en un punto intermedio. Lucía parte de $A$ hacia Marcos a una velocidad constante de $20$ $km/h$. Al mismo tiempo, Marcos parte de $B$ hacia Lucía a una velocidad de $10$ $km/h$. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto $A$ ocurrirá el encuentro?

En una tienda gourmet se quieren mezclar dos tipos de café. El café "Arábica" tiene un precio de $12$ dólares/kg y el café "Robusta" cuesta $8$ dólares/kg. Si queremos obtener una mezcla de $20$ $kg$ que salga a un precio de $10,50$ dólares/kg, ¿cuántos kilos de cada tipo de café debemos utilizar?

Halla un número natural tal que la diferencia entre su cuadrado y su triple sea igual a $40$. ¿Es única la solución para este problema en el conjunto de los números naturales? Justifica tu respuesta planteando la ecuación correspondiente.

Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $120$ dólares. Al principio eran un número determinado de personas, pero en el último momento se apuntaron $2$ amigos más, lo que hizo que cada uno tuviera que pagar $5$ dólares menos. ¿Cuántos amigos había inicialmente en el grupo?

Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide $4$ $cm$ menos que cada uno de los lados iguales y que el perímetro total es de $26$ $cm$. Una vez hallados los lados, calcula el área del triángulo.

Una empresa de paquetería ecológica que opera en La Habana ofrece dos tarifas mensuales para comercios locales:

• Tarifa Base: una cuota fija de $15\text{ \$}$ al mes más $4,50\text{ \$}$ por cada envío realizado.

• Tarifa Eco-Plus: sin cuota fija mensual; cobra $7\text{ \$}$ por envío para los primeros $10$ envíos del mes, y rebaja el precio a $3,50\text{ \$}$ por cada envío adicional a partir del undécimo.

Una librería del barrio envió el mes pasado más de $10$ paquetes y comprobó que la factura final habría sido exactamente la misma con cualquiera de las dos tarifas.

1. a) Define la incógnita $x$ como el número total de envíos mensuales y escribe la expresión algebraica del costo total con cada tarifa para el caso en que $x > 10$.
2. b) Plantea y resuelve la ecuación correspondiente para averiguar cuántos envíos realizó la librería el mes pasado.
3. c) A partir de la solución, explica a los dueños de la librería qué tarifa les convendría contratar si prevén que sus envíos aumentarán el próximo mes.

Imagina que eres profesor de Matemáticas y debes crear una pregunta para un examen de 3.º de ESO que cumpla exactamente estas tres condiciones:

1. Debe tratar sobre un huerto escolar rectangular cuya área total sea de $140\text{ m}^2$.

2. Su longitud debe ser $4\text{ metros}$ mayor que su anchura.

3. Debe resolverse mediante una ecuación de segundo grado que tenga una solución positiva y una solución negativa.

1. a) Redacta el enunciado completo del problema con redacción clara y precisa, sin resolverlo en el propio enunciado.
2. b) Define la incógnita $x$, escribe la ecuación de segundo grado que se deduce de tu enunciado y resuélvela paso a paso.
3. c) Argumenta qué criterio geométrico debe aplicar el alumnado para descartar una de las dos soluciones matemáticas y determina las dimensiones finales del huerto escolar.

Un diseñador gráfico está trabajando en el logo de una nueva empresa. El diseño consiste en un rectángulo central para el nombre, rodeado por un borde decorativo de grosor uniforme $x$. El rectángulo interior tiene unas dimensiones de $12\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$. Si el área total del logo (incluyendo el borde) debe ser exactamente el doble del área del rectángulo interior, ¿cuál debe ser el grosor $x$ de dicho borde?

La edad actual de una madre es el cuadrado de la edad de su hija. Dentro de $9$ años, la edad de la madre será solamente el triple de la edad que tenga su hija en ese momento. Halla las edades actuales de ambas.

Dos ciudades, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $155\text{ km}$. A las 10:00 h, un ciclista sale de $A$ hacia $B$ a una velocidad constante de $20\text{ km/h}$. Una hora y media más tarde, una moto sale de $B$ hacia $A$ a una velocidad de $80\text{ km/h}$. ¿A qué hora se cruzarán y a qué distancia de la ciudad $A$ se producirá el encuentro?

En un laboratorio químico se necesitan $20\text{ litros}$ de una solución ácida al $25\%$. El técnico dispone de dos garrafas: una con una mezcla al $10\%$ de ácido y otra con una mezcla concentrada al $50\%$. ¿Cuántos litros de cada garrafa debe mezclar para obtener la concentración deseada?

Mario ha ganado $\$1200$ en un concurso de programación y los divide en dos partes para depositarlas en dos productos financieros diferentes. El primero ofrece una rentabilidad del $4\%$ anual, mientras que el segundo, más arriesgado, ofrece un $7\%$ anual. Si al finalizar el año los beneficios totales obtenidos han sido de $\$63$, ¿qué cantidad destinó a cada producto?

El área de un triángulo rectángulo es de $30\text{ cm}^2$ y su hipotenusa mide $13\text{ cm}$. Calcula la medida de los dos catetos del triángulo.

Dos tuberías conectadas a un depósito pueden llenarlo juntas en $4\text{ horas}$. Si se utilizan por separado, la tubería de menor diámetro tarda $6\text{ horas}$ más que la tubería de mayor diámetro en llenar el depósito completo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada tubería en solitario?

Un ganadero en Asturias dispone de $60\text{ metros}$ de valla para delimitar un cercado rectangular destinado al pasto de sus terneros. Para ahorrar material, aprovechará un muro de piedra ya existente, de modo que solo necesita vallar tres lados: dos anchos iguales y un largo opuesto al muro. Su objetivo es que el cercado tenga una superficie de $400\text{ m}^2$.

Dos estudiantes proponen formas distintas de plantear el problema:

• Método A: Llamar $x$ a la longitud del lado largo paralelo al muro, por lo que cada uno de los dos anchos medirá $\frac{60 - x}{2}\text{ metros}$.

• Método B: Llamar $y$ a la longitud de cada uno de los dos anchos perpendiculares al muro, por lo que el largo medirá $60 - 2y\text{ metros}$.

1. a) Escribe la ecuación de segundo grado que se obtiene con cada método para calcular el área ($400\text{ m}^2$).
2. b) Analiza ambos métodos: ¿cuál de los dos resulta algebraicamente más sencillo para operar a mano y por qué? Justifica tu respuesta considerando la presencia o ausencia de denominadores.
3. c) Resuelve la ecuación utilizando el método que hayas considerado más ventajoso y halla las posibles dimensiones del cercado.
4. d) Interpreta el resultado: ¿tiene sentido físico que existan dos soluciones válidas para las dimensiones del cercado? Explica la forma que adoptaría el recinto en cada caso.

Una cooperativa agropecuaria de Camagüey almacena agua en un reservorio rectangular que mide $30\text{ m}$ de largo por $20\text{ m}$ de ancho. Para afrontar un periodo de sequía, deciden ampliar el reservorio sumando la misma cantidad de metros, $x$, tanto al largo como al ancho. La nueva superficie debe ser exactamente de $936\text{ m}^2$ y, por motivos de seguridad medioambiental, la normativa de la cuenca prohíbe reservorios que superen los $1000\text{ m}^2$.

1. a) Antes de resolver algebraicamente, realiza una estimación razonada del valor de $x$: calcula el área si $x = 5\text{ m}$ y si $x = 10\text{ m}$, y justifica entre qué dos valores enteros debe situarse la ampliación $x$.
2. b) Define la ecuación de segundo grado en su forma general $ax^2 + bx + c = 0$ que modela la situación y resuélvela paso a paso.
3. c) Analiza las dos soluciones de la ecuación: ¿por qué una de ellas carece de sentido práctico? ¿Cumplen las dimensiones finales del reservorio ampliado la normativa medioambiental?
4. d) Si el costo de excavación e impermeabilización es de $35\text{ \$}$ por cada metro cuadrado de superficie añadida respecto al reservorio original, calcula el presupuesto total que necesitará la cooperativa.

Reto del tema. ¿Es viable organizar una miniferia juvenil sostenible en tu municipio? Conviértete en gestor del proyecto y presenta un informe breve de viabilidad estructurado en tres fases:

1. Consumo y 1.er grado: Consulta en la web de la Unión Eléctrica (UNE) el precio del kWh vigente. Con un costo fijo del puesto de $12,50$ dólares y un gasto eléctrico estimado de $1,20$ dólares/hora, plantea y resuelve una ecuación de primer grado para calcular cuántas horas puedes abrir con un presupuesto de $24,50$ dólares.

2. Espacio y sistemas: Diseña en GeoGebra o en papel una carpa rectangular de $54\text{ m}^2$ donde el largo mida $3\text{ m}$ más que el ancho ($x(x+3)=54$); halla sus dimensiones resolviendo la ecuación cuadrática. Después, plantea un sistema lineal sabiendo que hay $15$ puestos entre comida y talleres ecológicos, y que pagan en total $330$ dólares ($30$ dólares y $15$ dólares cada uno, respectivamente) para calcular cuántos hay de cada clase.

3. Encuesta y probabilidad: Pregunta a $10$ vecinos si prefieren asistir el viernes o el sábado. Registra los datos en una hoja de cálculo, calcula la probabilidad experimental de que un vecino prefiera cada día y redacta tu propuesta final razonada.

Se valorará:

• Precisión matemática en el planteamiento y resolución algebraica de ecuaciones y sistemas.

• Obtención rigurosa de datos reales y tratamiento probabilístico con hoja de cálculo o GeoGebra.

• Coherencia, claridad y sentido crítico en las conclusiones del informe final.