Ejercicios: Producto escalar

Un equipo de ingenieros está diseñando la estructura de un soporte para una antena de telecomunicaciones. Han definido dos cables de sujeción representados por los vectores $\vec{u} = (2, -3, 1)$ y $\vec{v} = (4, 2, 5)$. Calcula el producto escalar de ambos vectores para estudiar el ángulo que forman en el nudo central.

Dos drones de vigilancia se encuentran en posiciones fijas en el espacio. El primer dron está en el punto $A(1, 2, -1)$ y el segundo en el punto $B(3, -2, 2)$. Si el centro de control está en el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$, calcula el módulo del vector posición de cada dron, $|\vec{OA}|$ y $|\vec{OB}|$.

Determina el valor del parámetro real $k$ para que los vectores $\vec{a} = (k, 4, -2)$ y $\vec{b} = (3, -2, 5)$ sean perpendiculares (ortogonales). Este tipo de cálculos es fundamental en programación de videojuegos para detectar colisiones entre superficies.

En una atracción de un parque temático, dos cables tiran de una cabina. Las direcciones de los cables vienen dadas por los vectores $\vec{u} = (1, 0, 1)$ y $\vec{v} = (0, 1, 1)$. Utilizando la definición de producto escalar, halla el ángulo $\alpha$ que forman ambos cables.

Un vector de viento tiene componentes $\vec{w} = (3, -4, 12)$. En meteorología es útil trabajar con direcciones normalizadas. Calcula el vector unitario $\vec{u_w}$ en la misma dirección y sentido que $\vec{w}$.

Dado el vector $\vec{a} = (6, 2, -3)$, calcula su proyección escalar sobre el eje de abscisas (eje $X$). Para ello, utiliza el producto escalar de $\vec{a}$ con el vector unitario de dicho eje, $\vec{i} = (1, 0, 0)$. Representa gráficamente la idea de la proyección.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se consideran los puntos $A(1, 1, 1)$, $B(3, 1, 1)$ y $C(1, 4, 1)$.

1. a) Halla los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.
2. b) Calcula su producto escalar $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Justifica si el triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en el vértice $A$.

En física, el trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento: $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si una fuerza $\vec{F} = (5, 3, 2)$ Newtons desplaza un objeto desde el punto $P(0, 0, 0)$ hasta el punto $Q(2, 4, 1)$ metros, calcula el trabajo realizado expresado en Julios.

Elena tiene que calcular la proyección escalar del vector $\vec{a} = (3, -1, 2)$ sobre el vector $\vec{b} = (1, 2, -2)$ y deducir si el ángulo que forman es agudo, recto u obtuso. En su examen escribe lo siguiente:

«Calculamos la proyección: $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{3\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-2)}{\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{3-2-4}{\sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{14}}$. Como una proyección representa una medida geométrica, no puede ser negativa, por lo que el resultado correcto es $\text{proy}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{\sqrt{14}}$. Además, al ser una cantidad positiva, esto demuestra que el ángulo que forman $\vec{a}$ y $\vec{b}$ es agudo».

Identifica razonadamente los tres errores conceptuales cometidos por Elena (en la fórmula empleada, en la interpretación del signo de la proyección y en la conclusión sobre el ángulo), explica por qué son incorrectos y redacta la resolución debidamente corregida.

Dados los vectores $\vec{u} = (4, 1, 1)$ y $\vec{v} = (-1, 5, 2)$:

1. a) Antes de realizar ningún cálculo numérico exacto:

• Observa los signos y magnitudes de las componentes homólogas y estima razonadamente si el producto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}$ será positivo, negativo o muy cercano a cero. A partir de ello, predice si el ángulo $\alpha$ entre ambos será agudo, obtuso o casi recto.

• Sabiendo que $\vec{u}$ tiene casi todo su peso en el eje $X$ y $\vec{v}$ en el eje $Y$, estima si la sombra o proyección escalar de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$ será grande o pequeña en comparación con la longitud de $\vec{v}$.

1. b) Calcula ahora el producto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}$, los módulos $|\vec{u}|$ y $|\vec{v}|$, el ángulo exacto $\alpha$ (redondeado al grado más próximo) y la proyección escalar $\text{proy}_{\vec{v}}\vec{u}$.
2. c) Compara los resultados numéricos obtenidos con tus estimaciones del apartado a) y razona si tu intuición geométrica inicial fue acertada.

Dados los vectores $\vec{u} = (m, 2, -1)$ y $\vec{v} = (3, m, m+2)$, determina los valores del parámetro real $m$ para que ambos vectores sean ortogonales. En caso de existir varios valores, explica si los vectores resultantes en cada caso tienen el mismo módulo.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores del espacio tales que sus módulos son $|\vec{u}| = 4$ y $|\vec{v}| = 3$. Si se sabe que el ángulo que forman es de $60^\circ$, calcula el valor del producto escalar de los vectores $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ y $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ utilizando las propiedades distributiva y conmutativa.

Calcula la proyección escalar y la proyección vectorial del vector $\vec{a} = (1, -2, 5)$ sobre el vector $\vec{b} = (3, 0, 4)$.

1. a) Calcula la proyección escalar de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$.

1. b) Calcula la proyección vectorial de $\vec{a}$ sobre $\vec{b}$.

1. c) Interpreta gráficamente si el vector proyección tiene el mismo sentido que $\vec{b}$, basándote en el signo del producto escalar $\vec{a}\cdot\vec{b}$ que has obtenido.

Los vértices de un triángulo en el espacio son $A(1, 2, 1)$, $B(3, -1, 0)$ y $C(-1, 0, 4)$.

• a) Calcula el ángulo interior en el vértice $A$.

• b) Utiliza el producto escalar para determinar si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

Un vector $\vec{w}$ tiene módulo 10 y sus dos primeros cosenos directores son $\cos \alpha = 0,6$ y $\cos \beta = -0,8$.

• a) Determina el tercer coseno director, $\cos \gamma$.

• b) Halla las componentes del vector $\vec{w}$.

En una estructura de ingeniería, una fuerza $\vec{F} = (4, -3, 2)$ Newtons actúa sobre un punto desplazándolo desde la posición $P(1, 1, 1)$ hasta $Q(5, 2, -3)$ (coordenadas en metros). Calcula el trabajo realizado por la fuerza, recordando que el trabajo es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento $\vec{W} = \vec{F} \cdot \vec{d}$.

Determina el valor de $k$ para que el ángulo formado por los vectores $\vec{u} = (1, 1, 0)$ y $\vec{v} = (0, 1, k)$ sea exactamente de $45^\circ$. Justifica si el valor de $k$ obtenido es único o si existen varias orientaciones posibles para el vector $\vec{v}$.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores unitarios. Demuestra que el vector suma $\vec{u} + \vec{v}$ y el vector diferencia $\vec{u} - \vec{v}$ son siempre perpendiculares entre sí, independientemente de las componentes de dichos vectores. Utiliza este resultado para explicar la relación geométrica entre las diagonales de un rombo.

Determina todos los vectores $\vec{w} = (x, y, z)$ del espacio que cumplan simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1. Es ortogonal al vector $\vec{u} = (1, 1, 0)$.

2. Forma un ángulo de $45^\circ$ con el vector $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

3. Su módulo es $|\vec{w}| = \sqrt{6}$.

Una vez obtenidos los vectores, explica mediante argumentos geométricos por qué el problema admite exactamente dos soluciones distintas (interpreta la intersección geométrica entre el plano de ortogonalidad, el cono de ángulo constante y la esfera de radio fijado).

En una instalación de energía solar fotovoltaica situada en La Mancha, los paneles están montados sobre una estructura fija orientada según el vector normal unitario $\vec{n} = (0; 0,6; 0,8)$ respecto a un sistema de referencia donde el semieje $X$ positivo apunta al Este, el semieje $Y$ positivo al Norte y el semieje $Z$ positivo hacia el cenit (vertical hacia arriba). A las 14:00 h de un día de primavera, la radiación solar incide en la dirección del vector unitario $\vec{s} = (0,3; -0,4; -0,866)$ (orientado en el sentido del avance de los rayos hacia el suelo).

1. a) Modela la dirección de los rayos solares respecto a la placa: obtén el vector unitario que apunta hacia el Sol, $\vec{u}_{\text{sol}} = -\vec{s}$, y calcula mediante el producto escalar el ángulo de incidencia $\theta$ que forman los rayos con el vector normal $\vec{n}$ del panel.
2. b) La potencia instantánea generada por la instalación se modeliza como $P = P_{\text{máx}}\cdot \cos\theta$, donde $P_{\text{máx}} = 20\text{ kW}$ corresponde a la situación óptima en la que los rayos inciden con perpendicularidad total sobre el panel. Calcula la potencia que genera la instalación a esa hora.
3. c) A partir de la fórmula del producto escalar, justifica razonadamente cómo debería reorientarse el vector normal del panel a esa hora para alcanzar la potencia máxima.

Un equipo de ingenieros está calibrando el sensor de orientación de un dron de inspección industrial. El sistema de referencia está fijado en la base de despegue. Se sabe que el eje principal del dron debe seguir la dirección de un vector $\vec{w}$ que cumpla simultáneamente las siguientes tres condiciones:

1. El vector $\vec{w}$ debe ser unitario.

2. $\vec{w}$ debe ser ortogonal al vector $\vec{u} = (1, -2, 2)$, que representa la dirección del viento dominante.

3. El ángulo que forma $\vec{w}$ con el vector de posición del objetivo, $\vec{v} = (0, 3, 4)$, debe ser de $45^\circ$.

Determina las coordenadas de los posibles vectores $\vec{w}$ que puede utilizar el software de navegación del dron.

Se considera un tetraedro de vértices $O(0,0,0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$ y $C(0, 0, c)$ con $a, b, c > 0$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$.

1. a) Utilizando exclusivamente el producto escalar, demuestra que el vector $\vec{AM}$ es perpendicular al segmento $BC$ si y solo si los catetos de la base sobre los ejes $Y$ y $Z$ tienen la misma longitud ($b = c$).

1. b) Si fijamos $a=4$, $b=2$ y $c=2$, calcula la proyección ortogonal del vector $\vec{OA}$ sobre la dirección definida por el vector $\vec{AB}$. Expresa el resultado como un vector.

En el diseño de una estructura arquitectónica de vanguardia, se requiere colocar un cable de tensión que una un punto fijo $P(1, 2, 3)$ con un punto variable $Q$ situado sobre una viga metálica cuya trayectoria viene dada por la recta $r: (x, y, z) = (2, 0, 1) + \lambda(1, -1, 0)$.

Se desea que el cable sea lo más corto posible. Utiliza el concepto de producto escalar y proyección para:

1. a) Determinar las coordenadas del punto $Q$ que minimiza la longitud del cable.
2. b) Comprobar que, para dicho punto, el vector $\vec{PQ}$ es perpendicular al vector director de la viga $r$.

Dados los vectores $\vec{u} = (m, 1, 1)$ y $\vec{v} = (1, m, 1)$, se pide:

1. a) Determinar los valores del parámetro real $m$ para los cuales el ángulo formado por $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sea exactamente de $60^\circ$.

1. b) Para el valor de $m=0$, encuentra un vector $\vec{w}$ de módulo $\sqrt{6}$ que sea combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$, y que además sea ortogonal al vector $\vec{a} = (1, 1, -1)$.

Demuestra, utilizando las propiedades del producto escalar, que para cualesquiera dos vectores $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$, se cumple la siguiente identidad (conocida como la Identidad de Polarización):

A continuación, utiliza este resultado para calcular el producto escalar de dos vectores cuyas sumas y restas tienen módulos $|\vec{x} + \vec{y}| = 10$ y $|\vec{x} - \vec{y}| = 6$. ¿Qué ángulo forman dichos vectores si además sabemos que sus módulos son iguales?

Un satélite artificial se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea. En un instante dado, su vector de posición es $\vec{r} = (2, 2, 1)$ y su vector velocidad es $\vec{v} = (1, -2, 2)$. Un centro de control en la Tierra emite una señal de radio cuya dirección viene dada por el vector $\vec{s} = (k, 1, 0)$.

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la proyección de la velocidad del satélite sobre la dirección de la señal de radio sea nula. Interpreta físicamente qué significa que dicha proyección sea cero en términos de la aproximación o alejamiento del satélite respecto a la fuente de la señal.

Sea $B = \{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \}$ una base de $\mathbb{R}^3$ que no es necesariamente ortonormal. Se conocen los siguientes productos escalares entre los vectores de la base:

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 2$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1$, $\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 = 3$

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = -1$, $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 = 1$

Calcula el módulo del vector $\vec{u} = 2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2 + \vec{e}_3$ y determina el coseno del ángulo que forma este vector $\vec{u}$ con el vector $\vec{e}_1$.

Considera los puntos del espacio $A(1, 0, -1)$ y $B(3, 2, 1)$. Sea $r$ la recta que pasa por el punto $C(0, 4, 3)$ y tiene como dirección el vector $\vec{d} = (1, 1, 1)$.

Determina si existe algún punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tal que los vectores $\vec{AP}$ y $\vec{BP}$ sean ortogonales. ¿Existe una única solución? Justifica tu respuesta analizando la ecuación cuadrática resultante.

Se consideran dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ del espacio tales que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ y el ángulo que forman es $\alpha = 120^\circ$. Se define el vector combinación lineal $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$. Se pide hallar el módulo de $\vec{w}$ y el ángulo $\beta$ que forma $\vec{w}$ con $\vec{u}$. Para resolverlo se proponen dos estrategias:

• Método 1 (analítico por coordenadas): Fijar un sistema cartesiano conveniente donde $\vec{u} = (3, 0, 0)$ y $\vec{v} = (5\cos 120^\circ, 5\sin 120^\circ, 0) = (-2,5; 2,5\sqrt{3}; 0)$, calcular las componentes de $\vec{w}$ y aplicar las fórmulas usuales en coordenadas.

• Método 2 (algebraico intrínseco): Desarrollar $|\vec{w}|^2 = (2\vec{u}-3\vec{v})\cdot(2\vec{u}-3\vec{v})$ empleando únicamente las propiedades del producto escalar (conmutativa, distributiva, extracción de escalares y $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$), y calcular $\cos\beta = \frac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{|\vec{w}|\,|\vec{u}|}$ desarrollando el numerador sin introducir ejes.

1. a) Resuelve el problema aplicando ambos métodos hasta obtener el valor exacto de $|\vec{w}|$ y de $\cos\beta$.
2. b) Compara críticamente ambos métodos: ¿cuál requiere menos pasos de cálculo y evita arrastrar raíces innecesarias? ¿Qué dificultad adicional presentaría el Método 1 si tuvieras tres vectores en el espacio no coplanarios de los que solo conoces sus módulos y los ángulos dos a dos? Justifica cuál método es conceptualmente más potente y generalizable en matemáticas.

En una nave logística del Mariel, una grúa puente aplica una fuerza $\vec{F} = (10, -5, 15)\text{ kN}$ sobre un nudo estructural. Un pilar guía de anclaje sigue la dirección del vector $\vec{d} = (1, 2, -2)$.

1. a) Todo vector $\vec{F}$ se descompone de forma única como $\vec{F} = \vec{F}_\parallel + \vec{F}_\perp$, donde $\vec{F}_\parallel$ es paralelo a $\vec{d}$ y $\vec{F}_\perp$ es ortogonal a $\vec{d}$. Deduce razonadamente, planteando $\vec{F}_\parallel = \lambda\vec{d}$ e imponiendo que $(\vec{F} - \lambda\vec{d})\cdot\vec{d} = 0$, la fórmula vectorial $\vec{F}_\parallel = \left(\frac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}\right)\vec{d}$. Calcula las componentes exactas de $\vec{F}_\parallel$ y $\vec{F}_\perp$.
2. b) Comprueba explícitamente que $\vec{F}_\perp\cdot\vec{d} = 0$ y verifica que se cumple la relación pitagórica $|\vec{F}|^2 = |\vec{F}_\parallel|^2 + |\vec{F}_\perp|^2$.
3. c) Se retira la fuerza $\vec{F}$ y se aplica otra fuerza desconocida $\vec{G}$ de módulo $|\vec{G}| = 10\text{ kN}$. Sin conocer las componentes de $\vec{G}$, se sabe que forma un ángulo obtuso con el vector $\vec{d}$ y que la magnitud de su componente perpendicular al cable es $|\vec{G}_\perp| = 6\text{ kN}$. Utilizando las relaciones vectoriales demostradas, calcula el valor numérico exacto de la proyección escalar $\text{proy}_{\vec{d}}\vec{G}$ y del producto escalar $\vec{G}\cdot\vec{d}$, justificando con rigor el signo obtenido.