Ejercicios: Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos en el espacio

Determina la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$ comprobando la relación entre sus vectores característicos. La recta viene dada por la ecuación continua $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ y el plano por la ecuación general $\pi: 2x - y + 4z - 5 = 0$.

1. a) Escribe un vector director $\vec{v}_r$ de la recta y un vector normal $\vec{n}$ del plano.

1. b) ¿Es el vector director de la recta paralelo al vector normal del plano? Justifica tu respuesta.

1. c) Justifica qué implicación geométrica tiene este hecho para la posición relativa de $r$ y $\pi$.

Un brazo robótico en una fábrica de montaje se mueve siguiendo una trayectoria rectilínea $s$. La trayectoria pasa por el punto de control $A(2, -1, 5)$ y debe ser perpendicular al panel de soporte, que está representado por el plano $\pi: x + 3y - 2z + 4 = 0$. Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ que sigue el brazo robótico.

Comprueba si el plano $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ y el plano $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ son paralelos. Para ello, analiza si sus vectores normales son proporcionales. En caso de ser paralelos, razona si son el mismo plano (coincidentes) o si no tienen ningún punto en común.

Dado el punto $Q(3, -1, 4)$ y el plano $\alpha: 2x + y = 0$, halla la ecuación de la recta $r$ que pasa por $Q$ y es perpendicular al plano $\alpha$. Ten especial cuidado al identificar las coordenadas del vector normal del plano, prestando atención a la ausencia de la variable $z$.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la recta $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ sea paralela al plano $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Recuerda que para que una recta y un plano sean paralelos, el producto escalar de sus vectores característicos debe ser igual a cero.

En un proyecto de energía solar, se instala un panel plano representado por el plano $\pi \equiv 2x + y - z = 4$. Un mástil de soporte está definido por la recta $r \equiv \{x = 1+t, y = 2-t, z = 3t\}$. Durante el mediodía, los rayos de sol inciden perpendicularmente al panel. Calcula la ecuación de la recta $s$ que representa la proyección ortogonal del mástil $r$ sobre el panel solar $\pi$ (su "sombra" bajo incidencia perpendicular). Determina también el punto donde el mástil atraviesa el panel.

Se considera la recta $r$ que pasa por los puntos $A(1, 0, 2)$ y $B(2, 1, 0)$. Halla las coordenadas de un punto $P$ situado en el plano $\pi \equiv x + y + z = 10$, de tal forma que el segmento que une el punto $P$ con su proyección ortogonal sobre la recta $r$ sea perpendicular al plano $\pi$.

Sea la familia de planos $\pi_a \equiv ax + y + z = a$. Determina el valor de $a$ para que la proyección ortogonal de la recta $r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sobre el plano $\pi_a$ sea una recta paralela al plano coordenado $YZ$. Una vez hallado $a$, escribe la ecuación de dicha recta proyección en forma paramétrica.

Un arquitecto diseña una estructura piramidal con vértice en $V(2, 2, 6)$ y cuya base está contenida en el plano $\pi \equiv x + 2y + 2z = 6$. Halla el pie de la altura de la pirámide (proyección ortogonal de $V$ sobre $\pi$) y determina el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas y los puntos de intersección del plano $\pi$ con los tres ejes cartesianos.

Álvaro debe clasificar la posición relativa entre la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{1}$ y el plano $\pi: 2x - y + z + 4 = 0$. En su resolución escribe lo siguiente:

«El vector director de la recta es $\vec{v} = (2, -1, 1)$ y el vector normal del plano es $\vec{n} = (2, -1, 1)$. Como $\vec{v} = \vec{n}$, ambos vectores son proporcionales, lo que demuestra que la recta y el plano son paralelos».

1. a) Explica cuál es el error conceptual de Álvaro. Describe la posición geométrica que realmente guardan una recta y un plano cuando sus vectores director y normal son proporcionales, apoyándote en el significado del vector normal a una superficie plana.
2. b) Corrige el ejercicio: determina la verdadera posición relativa entre $r$ y $\pi$ y halla las coordenadas de su punto de corte si existe.

Se sabe que la proyección ortogonal del punto exterior $P(3, -1, 2)$ sobre un plano desconocido $\pi$ es el punto $Q(1, 1, 0)$.

1. a) Justifica geométricamente por qué el vector $\vec{QP}$ constituye un vector normal al plano $\pi$ y escribe la ecuación general de dicho plano.
2. b) Escribe la ecuación continua de una recta $r$ que pase por el punto $P$ y sea estrictamente paralela al plano $\pi$. ¿Cuántas rectas distintas cumplen estas dos condiciones simultáneamente? Justifica tu respuesta describiendo qué figura geométrica forman todas esas rectas en el espacio.

Un arquitecto está diseñando una rampa que se modela como un plano $\pi$ de ecuación general $x + y + z - 6 = 0$. Para instalar un sensor de iluminación, necesita conocer la proyección ortogonal del punto $P(1, 2, 5)$ sobre dicho plano. Calcula las coordenadas del punto $Q$ que representa dicha proyección (llamado el pie de la perpendicular).

Halla la proyección ortogonal del punto $A(2, 0, -1)$ sobre la recta $r$ dada por su ecuación continua:

Ayuda: Recuerda que puedes construir un plano auxiliar perpendicular a la recta que pase por el punto $A$.

Se proyecta la recta $r$, que pasa por los puntos $A(1, 0, 0)$ y $B(1, 1, 1)$, sobre el plano $\pi: x = 0$.

1. Halla la proyección ortogonal de los puntos $A$ y $B$ sobre el plano.

2. Escribe la ecuación de la recta proyectada $r'$ que pasa por esos nuevos puntos.

Un ingeniero está diseñando el trayecto de un cable de fibra óptica que debe ser paralelo a un panel de protección. El panel está representado por el plano $\pi: 2x - 3y + az = 5$ y la trayectoria del cable por la recta $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$.

1. a) Determina el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que la trayectoria del cable sea paralela al panel.
2. b) Para el valor de $a$ hallado, comprueba si el cable está contenido en el panel o si existe una distancia constante entre ellos.

Calcula la ecuación del plano $\alpha$ que pasa por el punto $P(1, 0, -2)$ y es perpendicular a la recta $s$ definida por la intersección de los planos:

$s: \begin{cases} x + y - z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Determina también el punto de corte entre la recta $s$ y el plano $\alpha$ hallado (proyección ortogonal de $P$ sobre $s$).

Dada la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ y el plano $\pi: 3x + y - z = 4$, halla la ecuación del plano $\beta$ que cumple simultáneamente:

1. Contiene a la recta $r$.

2. Es perpendicular al plano $\pi$.

Considera los planos $\pi_1: x - 2y + z = 0$ y $\pi_2: 3x + y - z = 5$.

1. a) Determina la ecuación de la recta $r$ que surge de la intersección de ambos planos.
2. b) Halla la ecuación de un plano $\pi_3$ que pase por el punto $Q(0, 0, 1)$ y sea perpendicular a la recta $r$.

Se quiere situar una antena en un punto $M$ de una ladera plana representada por el plano $\pi: x + 2y + 2z = 9$. La antena debe estar lo más cerca posible de una estación base situada en el punto $P(5, 4, 10)$.

1. a) Calcula las coordenadas del punto $M$ (proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$).
2. b) Si la antena debe conectarse a la estación mediante un cable rectilíneo, determina las ecuaciones paramétricas de la recta que sigue dicho cable.

Determina la posición relativa del plano $\pi: mx + y - z = 1$ y la recta $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en función del parámetro real $m$. Especifica para qué valores son perpendiculares y para cuáles la recta es paralela al plano.

Dos rectas en el espacio, $a$ y $b$, se cruzan sin cortarse. Si la recta $a$ es paralela a un plano horizontal $\pi$ y la recta $b$ es perpendicular a ese mismo plano $\pi$:

1. a) ¿Qué ángulo forman las direcciones de las rectas $a$ y $b$?
2. b) ¿Es posible encontrar un plano que contenga a la vez a las dos rectas? ¿Por qué?
3. c) ¿Podemos afirmar que las dos rectas son perpendiculares aunque no tengan ningún punto en común?

Observa el rincón de una habitación donde se encuentran dos paredes y el suelo. Este conjunto forma un ángulo triedro en el vértice de la esquina inferior.

1. a) ¿Cuánto miden los tres ángulos rectilíneos que definen las caras de este triedro?
2. b) ¿Cuánto suma la medida de los tres ángulos diedros que se forman entre las paredes y el suelo?
3. c) Si una mosca vuela siguiendo una trayectoria paralela a la línea del rodapié de una pared, ¿es esa trayectoria paralela también al plano de la otra pared? Explica por qué.

Dadas la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{-1}$ y el plano $\pi: x + y + z - 4 = 0$:

1. a) Comprueba que la recta $r$ no es perpendicular al plano $\pi$ y halla su punto de intersección $I$.
2. b) Para determinar la proyección ortogonal de $r$ sobre $\pi$, dos estudiantes valoran dos métodos distintos:

• Método A (proyección de puntos): como $I$ ya pertenece al plano, basta proyectar ortogonalmente otro punto cualquiera $P \in r$ ($P \neq I$) para obtener $P'$, y la recta proyectada será la que pasa por $I$ y $P'$.

• Método B (plano proyectante): hallar la ecuación del plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$, y expresar la proyección como la recta intersección $\pi' \cap \pi$.

Aplica uno de los dos métodos para calcular la recta proyectada. Después, razona qué método resulta computacionalmente más ágil en este caso y cuál de los dos seguiría siendo aplicable si la recta $r$ fuese estrictamente paralela al plano $\pi$.

Considera la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$ y el punto exterior $P(1, 2, 7)$.

1. a) Estima: El punto $A(1, 2, 1)$ pertenece a la recta $r$. Observa que $P$ se sitúa exactamente sobre la vertical de $A$, pero a mayor altura ($z = 7$). Sabiendo que el vector director $\vec{v} = (1, 1, 2)$ avanza al mismo tiempo hacia valores positivos de $x$, $y$ y $z$, razona cualitativamente antes de realizar cuentas:

• Si la cota $z$ del pie de la perpendicular $P'$ (proyección ortogonal de $P$ sobre $r$) estará comprendida estrictamente entre $1$ y $7$.

• Si las coordenadas $x$ e $y$ de dicho punto $P'$ serán mayores o menores que las de $A$.

1. b) Comprueba: Obtén algebraicamente las coordenadas de $P'$ mediante la intersección de $r$ con el plano perpendicular a ella que pasa por $P$. Comprueba si los valores obtenidos confirman tus deducciones geométricas previas.

Calcula las coordenadas del punto $Q$, que es la proyección ortogonal del punto $P(3, -1, 5)$ sobre la recta $r$ definida por la siguiente ecuación continua:

Halla el punto $P'$ que representa la proyección ortogonal del punto $P(1, 0, -3)$ sobre el plano $\pi$ de ecuación:

Un foco de luz situado en un punto muy lejano proyecta rayos paralelos a la dirección del vector $\vec{v} = (0, 0, -1)$. Si un cable de acero sigue la trayectoria de la recta $r$, halla la ecuación de la sombra que proyecta sobre un tejado plano representado por $\pi$:

Obtén la ecuación implícita del plano proyectante de la recta $r$ sobre el plano $\pi$. Recuerda que el plano proyectante es el plano perpendicular a $\pi$ que contiene a la recta $r$.

Un rayo láser parte del punto $P(1, -2, 3)$ y se dirige hacia un espejo plano representado por la ecuación $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. El rayo se refleja en el espejo siguiendo las leyes de la reflexión óptica (el rayo incidente, la normal al plano en el punto de incidencia y el rayo reflejado están en el mismo plano, y los ángulos de incidencia y reflexión son iguales).

Determina:

1. a) Las coordenadas del punto de incidencia $Q$, sabiendo que el rayo incidente es perpendicular al plano $\pi$.
2. b) La ecuación de la recta que contiene al rayo reflejado si, en lugar de ser perpendicular, el rayo partiera de $P$ e incidiera en el plano en el punto $A(1, 0, 3)$.
3. c) Justifica razonadamente la relación de paralelismo o perpendicularidad entre el rayo incidente del apartado a) y el vector normal del plano.

En el diseño de una estructura metálica para un festival de música, se deben colocar dos vigas representadas por las rectas:

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$ y $s: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

Un ingeniero necesita instalar una tercera viga de refuerzo, $t$, que cumpla simultáneamente:

1. Que sea perpendicular a las vigas $r$ y $s$.

2. Que pase por el punto de intersección de la recta $r$ con el plano $XY$.

Obtén la ecuación de la recta $t$ en forma continua y determina si existe algún punto donde esta nueva viga $t$ corte a la viga $s$.

Dadas las rectas $r$ y $s$ definidas por:

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ y $s: \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$

1. a) Calcula el valor del parámetro $a$ para que las rectas $r$ y $s$ sean perpendiculares.
2. b) Para el valor de $a$ obtenido, ¿son las rectas secantes o se cruzan?
3. c) Halla la ecuación del plano que es paralelo a $s$ y contiene a la recta $r$.

Considera el plano $\pi: x + y + z = 2$ y la familia de rectas $r_m$ dadas por:

$r_m: \begin{cases} x - 2y + z = m \\ mx + y - z = 1 \end{cases}$

1. a) Encuentra el valor de $m$ para que la recta $r_m$ sea paralela al plano $\pi$.
2. b) Para ese valor de $m$, estudia si la recta está contenida en el plano.
3. c) Calcula la ecuación de un plano $\pi'$ que sea perpendicular a $\pi$ y que contenga a la recta $r_m$ cuando $m = 0$.

Halla la ecuación de la recta $t$ que corta perpendicularmente a las rectas $r$ y $s$, siendo:

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{2}$ y $s: \begin{cases} x = 3 + 2\mu \\ y = 1 \\ z = \mu \end{cases}$

Este ejercicio requiere que determines la dirección de la "perpendicular común" y los planos auxiliares que permiten localizar los puntos de corte en cada recta.

Dados los puntos $A(1, 2, 3)$ y $B(3, 2, 1)$, se pide:

1. a) Determinar la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular al segmento $AB$ y pasa por su punto medio (plano mediador).
2. b) Dada la recta $r: \begin{cases} x - y = 0 \\ z = 4 \end{cases}$, estudia su posición relativa con el plano $\pi$ hallado.
3. c) Encuentra un punto $C$ en la recta $r$ de modo que el triángulo $ABC$ sea isósceles con el lado desigual $AB$.

Una antena de telecomunicaciones se sitúa en el punto $A(5, 4, 3)$. Se quiere lanzar un cable de acero que sea perpendicular a una pared lateral representada por el plano $\pi: x + y = 10$.

1. a) Obtén la ecuación de la recta $r$ que contiene al cable.
2. b) El cable debe anclarse en un raíl metálico situado en la pared, cuya ecuación es la recta $s: \begin{cases} x + y = 10 \\ x - z = 2 \end{cases}$. Comprueba si el cable (recta $r$) y el raíl (recta $s$) se cortan o se cruzan.
3. c) Calcula la distancia mínima entre el cable y el raíl si estos no llegaran a cortarse.

En una sala de exposiciones con forma de ortoedro de dimensiones $10 \times 6 \times 4$ metros, se instala un cable tensado que une un vértice del piso con el punto medio de la arista superior opuesta. Un segundo cable une el centro del techo con el punto medio de una de las aristas verticales.

1. a) Determina si existe algún punto donde los cables se toquen (rectas secantes) o si, por el contrario, se cruzan en el espacio sin tocarse.
2. b) ¿Existe algún plano que sea paralelo a ambos cables simultáneamente? Justifica tu respuesta basándote en las direcciones de los cables.

En una obra de estabilización geológica de una trinchera ferroviaria (ADIF), los topógrafos modelizan el talud rocoso mediante el plano $\pi: 2x - 2y + z - 6 = 0$ (en metros). Una máquina perforadora de anclajes avanza según la recta directriz $r: \frac{x-4}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-8}{-2}$.

1. a) Demuestra que la perforación no incide perpendicularmente sobre el talud y halla las coordenadas del punto de impacto $P_0$ en la roca.
2. b) Para instalar una hilera de testigos de auscultación en la roca, se requiere trazar la proyección ortogonal de la recta $r$ sobre el talud $\pi$. Obtén razonadamente la ecuación general del plano proyectante de $r$ sobre $\pi$ y escribe las ecuaciones de la trayectoria proyectada en forma de intersección de dos planos. Explica el significado físico de esta recta proyectada en relación con la sombra que proyectaría la barra de perforación si se iluminase con un foco lejano orientado perpendicularmente a la superficie del talud.

Se busca hallar un plano desconocido $\pi$ que pasa por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ y cumple simultáneamente dos condiciones geométricas:

• Condición 1: El plano $\pi$ es perpendicular al plano $\pi_1: x - y + 2z - 1 = 0$.

• Condición 2: La proyección ortogonal de la recta $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{0}$ sobre el plano $\pi$ se reduce a un único punto.

1. a) A partir exclusivamente de la Condición 2, deduce de forma razonada la dirección del vector normal $\vec{n}_\pi$ del plano buscado, sin calcular planos proyectantes.
2. b) Comprueba si la Condición 1 es compatible con la dirección deducida en el apartado a). En caso afirmativo, escribe la ecuación general del plano $\pi$; en caso negativo, explica razonadamente qué imposibilidad geométrica se produciría.
3. c) Obtén las ecuaciones continuas de una recta $s$ que pase por el punto $A(2, 3, -1)$ y sea paralela a la vez a ambos planos, $\pi$ y $\pi_1$. Justifica por qué el vector director de $s$ debe coincidir con la dirección de la recta de corte entre $\pi$ y $\pi_1$.