Ejercicios: Variable aleatoria. Función de probabilidad, función de distribución y parámetros

Una app de azar genera números enteros del $1$ al $4$, todos con la misma probabilidad. Sea $X$ el número generado.

1. a) Escribe la función de probabilidad de $X$ en forma de tabla.
2. b) Calcula la media $\mu$.
3. c) Calcula la desviación típica $\sigma$, redondeando a las centésimas.

Una variable aleatoria discreta $X$ toma los valores $1$, $2$, $3$ y $4$ con esta función de probabilidad incompleta:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_i$	$0,15$	$k$	$0,35$	$0,25$

1. a) Calcula el valor de $k$.
2. b) Halla $P[X \ge 3]$.
3. c) Halla $P[X < 2]$.

Indica, razonadamente, cuáles de las siguientes tablas pueden ser la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta:

• Tabla 1: valores $1$, $2$, $3$ con probabilidades $0,3$; $0,4$; $0,2$.

• Tabla 2: valores $1$, $2$, $3$, $4$ con probabilidades $0,5$; $0,3$; $0,3$; $-0,1$.

• Tabla 3: valores $1$, $2$, $3$, $4$ con probabilidades $0,25$; $0,25$; $0,25$; $0,25$.

En cada caso, enuncia la condición (o condiciones) que se cumplen o se violan.

Se lanzan dos monedas y se cuenta el número de caras obtenidas, $X$.

1. a) Escribe el espacio muestral del experimento y deduce la función de probabilidad de $X$.
2. b) Calcula la media $\mu$ e interprétala.
3. c) Calcula $P[X \ge 1]$.

La función de distribución de una variable aleatoria discreta $X$ viene dada por:

$F(0) = 0,2 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = 0,8 \qquad F(3) = 1$

1. a) Calcula $P[X \le 2]$.
2. b) Calcula $P[X = 2]$.
3. c) Calcula $P[X > 1]$.

En un campeonato escolar de ajedrez rápido en La Habana, la puntuación obtenida por partida se modeliza mediante una variable aleatoria discreta $X$ con media $\mu_X = 4$ puntos y desviación típica $\sigma_X = 1,2$ puntos. Para la fase clasificatoria final, la organización aplica un baremo corrector definido por la transformación lineal $Y = 20 - 3X$.

Marcos afirma en su entrega de ejercicios: «La nueva media es $\mu_Y = 20 - 3 \cdot 4 = 8$ puntos, y la nueva desviación típica es $\sigma_Y = -3 \cdot 1,2 = -3,6$ puntos; por tanto, las puntuaciones están menos dispersas al haberse invertido el signo de la escala».

1. a) Identifica y explica detalladamente el error conceptual cometido por Marcos en el cálculo de la desviación típica.
2. b) Corrige los cálculos hallando los valores correctos de $\mu_Y$ y $\sigma_Y$.
3. c) Justifica con tus palabras por qué una desviación típica nunca puede tomar un valor negativo, apoyándote en su definición estadística como medida de dispersión.

A partir de datos simplificados del Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre el equipamiento de los hogares en España, el número de autos $X$ que posee una familia se modeliza mediante la siguiente función de probabilidad:

$P[X = 0] = 0,20$, $P[X = 1] = 0,55$, $P[X = 2] = 0,20$ y $P[X = 3] = 0,05$.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo numérico, realiza una estimación razonada: ¿entre qué dos valores enteros debe situarse obligatoriamente la media $\mu$ y a cuál de ellos consideras que estará más próxima? Justifícalo analizando dónde se concentra la mayor probabilidad.
2. b) Calcula con exactitud la media $\mu$ y la desviación típica $\sigma$, y contrasta el valor obtenido para la media con tu estimación previa.
3. c) Un portavoz del barrio afirma: «Como el valor medio no es un número entero de autos, la media carece de sentido físico para describir a una familia real». Rebate su afirmación explicando con precisión qué representa la esperanza matemática a largo plazo.

En una bolsa de un juego de mesa hay $20$ tarjetas de puntos: $6$ tarjetas con un $1$, $4$ tarjetas con un $2$ y $10$ tarjetas con un $3$. Se extrae una tarjeta al azar y se anota su puntuación $X$.

1. a) Escribe la función de probabilidad de $X$ en forma de tabla.
2. b) Calcula la media $\mu$ e interprétala: ¿qué puntuación media por carta cabe esperar a largo plazo?
3. c) Calcula la desviación típica $\sigma$, redondeando a las centésimas.

La figura muestra la función de distribución $F(x)$ de una variable aleatoria discreta $X$ que toma los valores $0$, $1$, $2$ y $3$.

1. a) Deduce de la gráfica la función de probabilidad de $X$ (los valores $p_i = P[X = x_i]$) y escríbela en forma de tabla.
2. b) Calcula $P[1 \le X < 3]$ a partir de la función de distribución.
3. c) Halla la media de $X$.

Una ruleta de una feria tiene $8$ sectores iguales con los premios que se ven en la figura: un sector de $\$10$, dos de $\$5$, tres de $\$2$ y dos sin premio.

1. a) Escribe la función de probabilidad de la variable $X$ = "premio obtenido en una tirada".
2. b) Calcula el premio medio por tirada, $\mu$.
3. c) Jugar cuesta $\$3$ la tirada. Define la variable $G$ = "ganancia neta del jugador" (premio menos lo pagado), calcula su esperanza y decide razonadamente si es aconsejable jugar.

El comité de padres de un preuniversitario organiza una rifa solidaria: vende $200$ boletos a $\$2$ cada uno, con un premio de $\$100$, cuatro premios de $\$25$ y diez premios de $\$5$.

1. a) Escribe la función de probabilidad de la variable $G$ = "ganancia neta al comprar un boleto" (valor del premio menos los $\$2$ que cuesta).
2. b) Calcula la esperanza de $G$.
3. c) Interpreta el signo del resultado: si la esperanza es negativa, ¿a dónde va a parar ese dinero? ¿Contradice eso el fin solidario de la rifa?

Una variable aleatoria discreta $X$ toma los valores $1$, $2$, $3$ y $4$ con probabilidades proporcionales al propio valor: $P[X = x] = k \cdot x$.

1. a) Calcula el valor de la constante $k$.
2. b) Halla la media $\mu$.
3. c) Comprueba que la varianza vale exactamente $1$ y deduce la desviación típica.

El tiempo de espera $X$ (en minutos) del ómnibus escolar en una parada se distribuye uniformemente entre $0$ y $10$ minutos, es decir, su función de densidad es constante: $f(x) = k$ para $x \in [0, 10]$ y $f(x) = 0$ fuera.

1. a) Calcula el valor de $k$ sabiendo que el área bajo la función de densidad debe ser $1$.
2. b) Halla la probabilidad de esperar entre $2$ y $5$ minutos.
3. c) Halla la probabilidad de esperar más de $8$ minutos y explica por qué $P[X = 8] = 0$ aunque esperar exactamente $8$ minutos no sea imposible.

Para financiar el viaje de estudios de 2.º de Bachillerato, el alumnado diseña una ruleta benéfica. La variable aleatoria $X$ representa la ganancia neta en dólares de una persona tras una tirada, y toma únicamente los valores $-3$ dólares (si pierde lo apostado), $+1$ dólares (premio menor) y $+k$ dólares (premio mayor, con $k > 1$). Se ha fijado que la probabilidad de perder es $P[X = -3] = 0,40$ y la de ganar un dólares es $P[X = 1] = 0,45$.

1. a) Determina la probabilidad $P[X = k]$ de obtener el premio mayor, justificando qué propiedad de las distribuciones de probabilidad utilizas.
2. b) Plantea la ecuación de la esperanza matemática y calcula el valor exacto de $k$ para que el juego sea equitativo ($E[X] = 0$).
3. c) Si el equipo organizador desea garantizar una recaudación media esperada para el viaje de $0,45$ dólares por cada tirada vendida (es decir, que la ganancia neta media del jugador sea $E[X] = -0,45$ dólares), ¿qué valor entero debe asignarse al premio $k$?

Una empresa de mensajería urgente que opera en La Habana analiza el número de visitas fallidas $X$ antes de poder entregar un paquete en mano. El modelo de probabilidad estimado para cada envío es el siguiente:

$P[X = 0] = 0,60$; $P[X = 1] = 0,25$; $P[X = 2] = 0,10$; $P[X = 3] = 0,05$, no produciéndose nunca un cuarto intento fallido.

1. a) Escribe la función de distribución acumulada $F(x) = P[X \le x]$ para cualquier número real $x \in \mathbb{R}$, indicando con claridad los tramos e identificando el valor del salto que se produce en cada valor posible de la variable.
2. b) Cada intento fallido supone un costo operativo de $3$ dólares por combustible y tiempo del repartidor, al que se suma un costo fijo de gestión de $2$ dólares por paquete entregado. Expresa el costo total por paquete $C$ como una transformación lineal de $X$ ($C = aX + b$) y calcula su costo medio $E[C]$ y su desviación típica $\sigma_C$.
3. c) Si la empresa reparte $1.000$ paquetes en una jornada, ¿cuánto presupuesto total prevé destinar a estos costos? Explica qué principio probabilístico asegura que el costo medio real de esa jornada se aproximará estrechamente a $E[C]$.

El tiempo (en minutos) que tarda en arrancar un servidor tras un reinicio es una variable aleatoria continua $X$ con función de densidad $f(x) = k \cdot x$ para $x \in [0, 4]$ y $f(x) = 0$ en el resto, representada en la figura.

1. a) Calcula el valor de $k$ sabiendo que el área total bajo la función de densidad debe ser $1$.
2. b) Halla la probabilidad de que el servidor tarde menos de $2$ minutos en arrancar.
3. c) Calcula la mediana de $X$ (el valor $m$ tal que $P[X \le m] = \frac{1}{2}$) y la media $\mu$. ¿Cuál de las dos es mayor? ¿A qué crees que se debe?

Amina estudia la variable $X$ = "número de averías semanales de una fotocopiadora", con esta distribución de probabilidad:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,1$	$0,3$	$0,4$	$0,2$

Ha calculado la media, $\mu = 1,7$, y después ha escrito:

«$\sigma^2 = \sum p_i \cdot x_i^2 - \mu = 3,7 - 1,7 = 2 \implies \sigma = \sqrt{2} \approx 1,41$»

1. a) Revisa su cálculo de $\sum p_i \cdot x_i^2$ y comprueba que es correcto.
2. b) Localiza el error en la fórmula que ha aplicado para la varianza y corrígelo.
3. c) Calcula la desviación típica correcta.

En un puesto de feria se juega con dos dados cúbicos: se ganan $\$12$ si salen dobles (los dos dados iguales), $\$6$ si la suma es $7$, y nada en cualquier otro caso.

1. a) Calcula la probabilidad de cada premio y la de no ganar nada. (Ten en cuenta que sacar dobles y sumar $7$ son eventos incompatibles; ¿por qué?)
2. b) Halla la esperanza del premio por partida y deduce cuál debería ser el precio de la apuesta para que el juego fuera equitativo.
3. c) Si el puesto cobra $\$4$ por partida, ¿a quién favorece el juego? ¿Cuánto espera ganar o perder un jugador que juega $100$ partidas?

Una variable aleatoria discreta $X$ toma los valores $0$, $1$, $2$ y $4$, y su función de distribución cumple:

$F(0) = 0,1 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = a \qquad F(4) = 1$

1. a) Sabiendo que la media de la distribución es $\mu = 2,2$, plantea la ecuación que permite hallar $a$ y calcula su valor.
2. b) Escribe la función de probabilidad completa de $X$.
3. c) Calcula la varianza y la desviación típica de $X$, redondeando a las centésimas.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, y sea $Y = a \cdot X + b$ una nueva variable obtenida aplicando a $X$ una transformación lineal.

1. a) Demuestra, a partir de la definición de media, que $\mu_Y = a \cdot \mu + b$.
2. b) Demuestra que $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma$. ¿Por qué la constante $b$ no afecta a la dispersión?
3. c) Aplicación: en un examen, las notas tienen media $6,2$ y desviación típica $1,4$. El profesor decide transformar cada nota $X$ en $Y = 0,9 \cdot X + 1$. Calcula la nueva media y la nueva desviación típica.

Para analizar la variabilidad de las puntuaciones en una prueba de selección, se define una variable discreta $X$ que solo toma cuatro valores elevados: $200$, $204$, $208$ y $212$, con probabilidades asociadas $0,15$, $0,35$, $0,30$ y $0,20$, respectivamente. Para calcular la desviación típica $\sigma_X$ se debaten dos métodos:

• Método A (Cálculo directo): Calcular $\mu_X = \sum x_i p_i$, luego $\sum x_i^2 p_i$ (manejando cantidades superiores a $40.000$) y aplicar $\sigma_X = \sqrt{\sum x_i^2 p_i - \mu_X^2}$.

• Método B (Cambio de variable lineal): Definir una variable reducida $Y = \frac{X - 200}{4}$, calcular la media $\mu_Y$ y la desviación típica $\sigma_Y$ de esta variable simplificada (cuyos valores son únicamente $0, 1, 2, 3$), y a partir de ellas recuperar $\mu_X$ y $\sigma_X$.

1. a) Aplica el Método B: escribe la distribución de probabilidad de $Y$, calcula $\mu_Y$ y $\sigma_Y$, y determina a partir de ellas $\mu_X$ y $\sigma_X$ utilizando las propiedades de las transformaciones lineales.
2. b) Aplica el Método A para verificar el resultado y compara ambos procedimientos: ¿qué riesgo de error de redondeo o pérdida de precisión numérica presenta el Método A frente al Método B cuando se trabaja con calculadoras de precisión limitada?
3. c) Justifica teóricamente por qué la resta $-200$ desplaza la media pero no altera en absoluto la dispersión, mientras que la división entre $4$ escala tanto la media como la desviación típica.

La función de distribución acumulada del número diario de incidencias técnicas $X$ en una línea de trenes urbanos viene dada por:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,40 & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 0,75 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,95 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 1 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

1. a) Reconstruye la función de probabilidad de $X$ (indicando el valor de $P[X = x_i]$ para cada valor posible) a partir de los saltos de $F(x)$, y comprueba que cumple las dos condiciones necesarias para ser válida.
2. b) Se sabe que en una jornada determinada se ha producido al menos una incidencia ($X \ge 1$). Calcula la probabilidad condicionada de que en esa jornada se hayan registrado exactamente $2$ incidencias.
3. c) La empresa de mantenimiento cobra una cuota fija diaria de $100$ dólares que cubre hasta una incidencia (si hay $0$ o $1$ incidencia no se abona ningún extra); sin embargo, a partir de la segunda incidencia (es decir, para la segunda y para la tercera), cada una genera un costo suplementario de $150$ dólares. Modela la variable aleatoria $G$ (gasto diario en dólares), determina su función de probabilidad, calcula el gasto medio esperado $E[G]$ y razona por qué $G$ no puede expresarse como una transformación lineal global de la forma $aX + b$ para todos los valores de $X$.