Ejercicios: Radiación del cuerpo negro. Hipótesis de Planck

Explica con tus palabras qué es un cuerpo negro en física y por qué se le llama así. Menciona qué ocurre con la radiación que incide sobre él y qué tipo de radiación emite cuando se encuentra a una temperatura determinada.

Enuncia la hipótesis de Planck sobre la energía que intercambian los osciladores de un cuerpo con la radiación. Escribe la expresión $E = h f$ e indica qué representa cada una de las magnitudes que aparecen en ella, con sus unidades en el Sistema Internacional.

La ley de desplazamiento de Wien relaciona la longitud de onda de máxima emisión de un cuerpo negro con su temperatura. Escribe la expresión matemática de esta ley, indica qué significa cada símbolo y señala si, al aumentar la temperatura del cuerpo, la longitud de onda de máxima emisión aumenta o disminuye.

La superficie del Sol puede considerarse, de manera aproximada, un cuerpo negro a una temperatura de $5{,}8 \times 10^{3}\ \text{K}$. Calcula la longitud de onda de máxima emisión y expresa el resultado en nanómetros. Indica en qué región del espectro electromagnético se encuentra. Usa la constante de Wien $b = 2{,}90 \times 10^{-3}\ \text{m} \cdot \text{K}$.

Un oscilador de un cuerpo negro vibra con una frecuencia de $5{,}0 \times 10^{14}\ \text{Hz}$. Calcula la energía de un cuanto asociado a esa frecuencia, en joules y en electronvolts. Usa $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$ y $1\ \text{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}$.

Daniela mide el espectro de una lámpara incandescente en el laboratorio de Física de su preuniversitario y observa que la máxima emisión ocurre en $\lambda_{máx} = 1{,}45\ \mu\text{m}$. Considerando que el filamento se comporta como un cuerpo negro, calcula su temperatura en kelvin y en grados Celsius. Explica por qué la mayor parte de la energía que emite la lámpara no se percibe como luz visible. Usa $b = 2{,}90 \times 10^{-3}\ \text{m} \cdot \text{K}$.

Dos cuerpos que se comportan como cuerpos negros tienen temperaturas $T_1 = 3{,}0 \times 10^{3}\ \text{K}$ y $T_2 = 6{,}0 \times 10^{3}\ \text{K}$.

1. a) Calcula la longitud de onda de máxima emisión de cada uno, con $b = 2{,}90 \times 10^{-3}\ \text{m} \cdot \text{K}$.

1. b) Calcula la energía del cuanto correspondiente a cada una de esas longitudes de onda, usando $E = \dfrac{h c}{\lambda}$, con $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$ y $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. c) Compara los resultados y argumenta qué relación existe entre la temperatura del cuerpo y la energía de los cuantos que predominan en su emisión.

A finales del siglo XIX, la física clásica predecía que un cuerpo negro emitiría una cantidad de energía cada vez mayor a medida que disminuye la longitud de onda, lo que se conoció como la «catástrofe ultravioleta». El espectro medido en el laboratorio, en cambio, presenta un máximo y luego decae.

1. a) Explica cómo la hipótesis de Planck, según la cual la energía de cada oscilador solo puede tomar valores $E = n h f$ con $n = 1, 2, 3, \dots$, resuelve esta contradicción. Argumenta por qué a altas frecuencias los osciladores son difíciles de excitar.

1. b) Una estrella tiene una longitud de onda de máxima emisión de $4{,}83 \times 10^{-7}\ \text{m}$. Calcula su temperatura superficial y la energía de un cuanto de esa longitud de onda, en electronvolts. Usa $b = 2{,}90 \times 10^{-3}\ \text{m} \cdot \text{K}$, $h = 6{,}63 \times 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$, $c = 3{,}00 \times 10^{8}\ \text{m/s}$ y $1\ \text{eV} = 1{,}60 \times 10^{-19}\ \text{J}$.