Ejercicios: Resolución de triángulos oblicuángulos

En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 5$ cm y $b = 8$ cm, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 60^\circ$. Calcula la longitud del lado $c$.

Los tres lados de un triángulo miden $a = 3$ m, $b = 5$ m y $c = 7$ m. Determina la medida del ángulo de mayor amplitud de dicho triángulo.

En un triángulo $ABC$, los ángulos $A$ y $B$ miden $30^\circ$ y $105^\circ$ respectivamente. Si el lado opuesto al ángulo $A$ tiene una longitud de $a = 8$ cm, halla la longitud del lado $c$ (opuesto al ángulo $C$).

En un triángulo se conocen los siguientes datos: $a = 12$ m, $b = 8$ m y el ángulo $A = 120^\circ$. Calcula la medida del ángulo $B$.

Halla el área de un triángulo $ABC$ del que conocemos los lados $b = 14$ cm, $c = 20$ cm y el ángulo que forman, $A = 60^\circ$.

Los lados adyacentes de un paralelogramo miden $6$ cm y $10$ cm, y forman un ángulo obtuso de $120^\circ$. Calcula la longitud de la diagonal mayor del paralelogramo.

En un triángulo isósceles, el lado desigual (la base) mide $12$ m y los ángulos iguales miden $75^\circ$ cada uno. Determina la longitud de los lados iguales utilizando el teorema del seno.

En un triángulo $ABC$, el lado $a$ mide $10$ cm y el ángulo opuesto $A$ mide $45^\circ$. Calcula el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Marcos tiene que calcular la longitud del lado $a$ de un triángulo del que conoce $b = 5\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ y el ángulo comprendido $A = 120^\circ$. En su cuaderno escribe la siguiente resolución:

1) Señala el error de cálculo que ha cometido Marcos al operar con los signos.

2) Sin necesidad de rehacer las cuentas todavía, razona por qué un resultado de $a = 7\text{ cm}$ es geométricamente imposible en este triángulo (relaciona la amplitud del ángulo $A$ con las medidas relativas de los lados).

3) Corrige el procedimiento y calcula el valor correcto del lado $a$ redondeado a dos decimales.

En un triángulo conocemos los lados $a = 6\text{ cm}$ y $b = 6\text{ cm}$, y el ángulo comprendido entre ellos $C = 62^\circ$.

1) Estima: antes de realizar ningún cálculo numérico con fórmulas, razona si el tercer lado $c$ será ligeramente mayor, menor o igual a $6\text{ cm}$. Para justificarlo, imagina cómo sería la figura si el ángulo fuera exactamente de $60^\circ$ (triángulo equilátero) y analiza qué ocurre al abrir el ángulo dos grados más.

2) Comprueba: calcula con exactitud la longitud del lado $c$ mediante el teorema del coseno (redondea a dos decimales).

3) Valora si el resultado obtenido confirma tu estimación cualitativa y calcula el error absoluto que habrías cometido si hubieses aproximado directamente $c \approx 6\text{ cm}$.

Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de $75^\circ$. El primer barco navega a una velocidad constante de $15$ nudos y el segundo a $20$ nudos. Calcula la distancia en millas náuticas que separará a ambos barcos al cabo de $2$ horas de navegación.

Para medir la altura $h$ de un aerogenerador, nos situamos en un punto $A$ en el suelo y medimos el ángulo de elevación hasta el punto más alto, obteniendo $40^\circ$. Avanzamos $30$ metros en línea recta hacia la base del aerogenerador hasta llegar a un punto $B$, desde donde el nuevo ángulo de elevación es de $55^\circ$. Calcula la altura del aerogenerador.

En el diseño de un brazo robótico articulado, el primer eslabón mide $40$ cm y el segundo mide $35$ cm. Si el ángulo que forma el primer eslabón con la base horizontal es de $50^\circ$ y el extremo del segundo eslabón toca exactamente la base horizontal, calcula las dos posibles distancias desde el origen del brazo hasta el punto de contacto en la base.

Un terreno agrícola tiene forma de cuadrilátero $ABCD$. Las medidas de sus lados son $AB = 50$ m, $BC = 40$ m, $CD = 30$ m y $DA = 60$ m. Sabiendo que el ángulo en el vértice $B$ es de $70^\circ$, calcula el área total del terreno dividiéndolo en dos triángulos.

Dos remolcadores tiran de una barcaza mediante dos cables que forman entre sí un ángulo de $45^\circ$. Si las tensiones ejercidas por los cables son de $4500$ N y $6000$ N, halla la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma dicha resultante con el cable que ejerce la fuerza de $6000$ N.

Un dron de vigilancia se encuentra en un punto $C$ observando un tramo recto de carretera delimitado por dos ciudades $A$ y $B$ que distan $5$ km entre sí. Los ángulos de depresión desde el dron hacia las ciudades son tales que en el triángulo formado, el ángulo en $A$ es de $35^\circ$ y el ángulo en $B$ es de $62^\circ$. Calcula la altitud a la que vuela el dron respecto a la carretera.

Un heptágono regular (polígono de $7$ lados iguales) está inscrito en una circunferencia de $10$ cm de radio. Utilizando el teorema del coseno y/o del seno en los triángulos centrales, calcula el perímetro y el área de dicho heptágono.

Una placa solar de $2$ metros de longitud se va a instalar sobre un tejado plano que tiene una inclinación de $15^\circ$ respecto a la horizontal. Para maximizar su rendimiento, la placa debe formar un ángulo de $35^\circ$ con respecto a la horizontal. Calcula la longitud $x$ del soporte vertical que debe colocarse en el extremo superior de la placa para unirla con el tejado.

De un triángulo se conocen sus tres lados: $a = 4\text{ cm}$, $b = 7\text{ cm}$ y $c = 10\text{ cm}$. Para resolverlo por completo hay que hallar sus tres ángulos. Dos compañeros proponen caminos distintos para calcular el segundo ángulo tras haber obtenido el primero:

• Lucía: «Calculo primero el ángulo menor, $A$, con el teorema del coseno. Después, para hacer cuentas más rápidas y sencillas, calculo el ángulo mayor, $C$, usando el teorema del seno ($\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$), y finalmente $B = 180^\circ - A - C$».

• Sergio: «Es peligroso calcular $C$ con el teorema del seno. Es mucho más seguro calcular directamente $C$ con el teorema del coseno, o bien usar el teorema del seno para calcular $B$, pero nunca para $C$».

1) Justifica matemáticamente la objeción de Sergio: ¿qué limitación tiene la función $\arcsin$ en la calculadora al buscar ángulos que podrían ser obtusos?

2) Comprueba el fallo del método de Lucía: calcula el ángulo $A$ con el teorema del coseno y muestra qué valor erróneo para $C$ proporcionaría el teorema del seno si se aplica directamente.

3) Aplica el camino seguro propuesto por Sergio para calcular con precisión los tres ángulos del triángulo.

Durante la campaña de prevención de incendios de la Junta de Andalucía (dispositivo INFOCA), dos torres de vigilancia forestal, Torre Almadén ($A$) y Torre Yelmo ($B$), situadas a una distancia de $12\text{ km}$ en línea recta, detectan una columna de humo en un punto $C$. Los observadores toman referencias respecto al segmento rectilíneo $AB$: desde la torre $A$ se observa el humo bajo un ángulo de $48^\circ$, y desde la torre $B$, bajo un ángulo de $74^\circ$ (ambas visuales dirigidas hacia el mismo lado de la línea $AB$).

1) Modela geométricamente la situación y calcula la distancia en línea recta desde cada una de las dos torres hasta el foco del incendio $C$.

2) Para actuar sobre el terreno se evalúan dos opciones:

• Un helicóptero bombardero con base en la torre $A$, que despega de inmediato y vuela en línea recta hacia el fuego a una velocidad constante de $190\text{ km/h}$.

• Un vehículo autobomba todoterreno con base en la torre $B$, que avanza a una media de $45\text{ km/h}$ por pistas forestales, recorriendo un trayecto real que se estima un $25\,\%$ mayor que la distancia en línea recta.

Calcula el tiempo de desplazamiento (en minutos y segundos) de cada medio y determina razonadamente cuál alcanzará primero el foco del incendio.

Los lados de un triángulo vienen dados por las expresiones $x$, $x+2$ y $x+4$ centímetros. Sabiendo que el ángulo de mayor amplitud del triángulo mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, halla el valor exacto de $x$ y calcula el perímetro del triángulo.

En un triángulo $ABC$, se sabe que el lado $a = 10$ cm, el ángulo $B = 30^\circ$ y que el área total del triángulo es de $20\sqrt{3}$ cm$^2$. Plantea un sistema para hallar el valor exacto de los lados $b$ y $c$, y averigua la medida de los ángulos $A$ y $C$.

Demuestra geométricamente o mediante el uso de los teoremas trigonométricos (Seno y Coseno) que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la relación de proyecciones: $a = b \cos C + c \cos B$. A continuación, utiliza esta identidad junto con el teorema del seno para demostrar la fórmula del seno de la suma de dos ángulos: $\sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$.

Las manecillas de un reloj de pared miden $12$ cm (el minutero) y $8$ cm (la aguja horaria). Calcula la distancia exacta en centímetros que separa las puntas de ambas manecillas cuando el reloj marca exactamente las 10:10. Ten en cuenta el desplazamiento proporcional de la aguja horaria.

Dos aviones vuelan a la misma altitud. El avión 1 se encuentra en el punto $A$ y vuela hacia el Norte a una velocidad constante de $800$ km/h. El avión 2 se encuentra en el punto $B$, situado a $200$ km exactos al Noreste ($45^\circ$ respecto al Norte) del punto $A$. Si el avión 2 vuela hacia el Oeste a una velocidad constante $v$ y ambos colisionan en un punto $C$, determina el valor de la velocidad $v$ y el tiempo que tardan en colisionar.

En un triángulo $ABC$ de lados $a=13$ cm, $b=14$ cm y $c=15$ cm, se trazan la circunferencia circunscrita de radio $R$ y la circunferencia inscrita de radio $r$. Calcula el área del triángulo utilizando la fórmula de Herón y, a partir de ella, obtén los valores exactos de $R$ y $r$.

Dado el triángulo $ABC$ con lados $a = 7$ cm, $b = 5$ cm y $c = 8$ cm. Se traza la bisectriz interior del ángulo $C$, que corta al lado $AB$ en el punto $D$. Aplicando el teorema del coseno para hallar el ángulo $C$ y utilizando las propiedades de las áreas o el teorema del seno, calcula la longitud exacta del segmento bisectriz $CD$ (denotado como $x$).

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una pirámide regular de base cuadrada tiene un lado de la base de $100$ m. Sabiendo que el ángulo diedro que forman dos caras triangulares adyacentes es de $105^\circ$, plantea la geometría de la sección transversal adecuada y calcula la altura total de la pirámide.

Un perito topógrafo necesita reconstruir las medidas originales de una parcela triangular $ABC$ a partir de un informe antiguo incompleto que sólo recoge tres datos exactos:

• La superficie de la parcela es de $80\text{ m}^2$.

• La linde $b$ mide exactamente el doble que la linde $a$ ($b = 2a$).

• El ángulo comprendido $C$ cumple que $\cos C = 0,6$.

1) A partir de la identidad fundamental de la trigonometría y la fórmula del área de un triángulo en función de dos lados y el ángulo comprendido, plantea una ecuación y deduce las longitudes exactas de los lados $a$ y $b$.

2) Calcula la longitud del tercer lado $c$ aplicando el teorema del coseno.

3) Problema inverso: razona por qué existe otra parcela no congruente con la anterior que tiene exactamente la misma superficie ($80\text{ m}^2$) y las mismas longitudes $a$ y $b$, pero una forma distinta. Halla el valor de su nuevo ángulo comprendido $C'$, calcula la longitud que tendría el lado $c$ en esta segunda configuración y determina cuál de las dos parcelas requeriría menos metros de valla para su cerramiento perimetral.

Elena resuelve en clase de Matemática un ejercicio de delimitación de un terreno triangular $ABC$ del que se conocen $a = 14\text{ m}$, $b = 20\text{ m}$ y el ángulo $A = 35^\circ$. Presenta en la pizarra el siguiente desarrollo:

«Aplico el teorema del seno:

Como los tres ángulos suman $180^\circ$, tenemos $C = 180^\circ - 35^\circ - 55^\circ = 90^\circ$. Como el triángulo resulta ser rectángulo en $C$, calculo el lado restante $c$ usando el teorema de Pitágoras: $c = \sqrt{20^2 - 14^2} = \sqrt{204} \approx 14,28\text{ m}$».

1) Localiza y explica detalladamente los dos errores conceptuales cometidos por Elena:

a) ¿Por qué su deducción para el ángulo $B$ es incompleta y omite una solución geométrica válida?

b) Aun en el supuesto de que el ángulo $C$ fuese de $90^\circ$, ¿por qué el planteamiento que hace del teorema de Pitágoras es falso?

2) Resuelve el problema con total rigor: determina los dos posibles triángulos que cumplen los datos iniciales, indicando para cada uno de ellos los valores de los ángulos $B$ y $C$ y la longitud del lado $c$.

3) Si cercar el perímetro de la finca cuesta $45\text{ \$/m}$, calcula la diferencia económica que supondría optar por una configuración u otra.

Reto del tema. Rediseña la red de vigilancia ambiental de tu municipio utilizando el visor oficial del Instituto Geográfico Nacional (IGN, Iberpix).

1. Toma de datos y recuento: Selecciona 4 puntos elevados de tu entorno. Aplica técnicas de conteo ($C_{4,3}$) para calcular cuántos triángulos de cobertura distintos podrías formar. Escoge uno de ellos, anota sus coordenadas o distancias y expresa sus ángulos tanto en grados sexagesimales como en radianes.

2. Resolución de triángulos oblicuángulos: Determina todos los lados y ángulos desconocidos de dicho triángulo aplicando con precisión los teoremas del seno y del coseno en GeoGebra o en una hoja de cálculo.

3. Cálculo de alturas y razones compuestas: Para instalar una antena sobre uno de los vértices, plantea su cálculo mediante resolución de triángulos rectángulos con visuales escalonadas (por ejemplo, a distancias $d$ y $2d$, o con ángulos $\alpha$ y $2\alpha$). Utiliza las fórmulas del ángulo doble o de la resta de ángulos para despejar la altura de la torre sin medirla directamente.

4. Propuesta razonada: Elabora un informe técnico breve con la captura del mapa, el desarrollo analítico de las razones trigonométricas empleadas y las conclusiones de cobertura.

Se valorará:

• Rigor en la conversión de grados a radianes y en el uso de identidades (suma/resta o ángulo doble).

• Resolución algebraica y geométrica correcta de triángulos rectángulos y oblicuángulos mediante los teoremas del seno y del coseno.

• Aplicación adecuada del recuento combinatorio y precisión con los datos cartográficos reales.