Ejercicios: El principio de Arquímedes: el empuje

Enuncie con sus palabras el principio de Arquímedes: qué es el empuje, en qué dirección y sentido actúa y a qué es igual su valor.

Cuando usted se mete en la piscina tiene la sensación de pesar menos, como si el agua lo sostuviera. ¿Qué fuerza aparece al sumergirse? ¿Quién la ejerce y hacia dónde empuja?

Un cubo sumergido del todo en agua desaloja un volumen de $0,002\ \text{m}^3$ (unos $2\ \text{L}$), como se muestra en la figura.

Calcule el empuje que recibe usando $E = d\cdot V\cdot g$. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

Sobre la mesa usted tiene un tapón de corcho ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) y una tuerca de hierro ($d = 7\,870\ \text{kg/m}^3$). Sin hacer cálculos, prediga cuál flotará y cuál se hundirá en agua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) y explique el criterio que utilizó.

Un barco de acero de miles de toneladas flota, pero una pequeña bola de acero se hunde hasta el fondo. Si ambos son del mismo material, explique qué hace flotar al barco (piense en su forma hueca y en su densidad media).

Dos botellas idénticas llenas de arena se sumergen por completo en agua, una a $1\ \text{m}$ de profundidad y otra a $5\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

¿Recibe una más empuje que la otra? Justifíquelo fijándose en las magnitudes de las que depende el empuje.

Los cubitos de hielo flotan en el vaso de agua. Sabiendo que la densidad del hielo es de unos $900\ \text{kg/m}^3$, explique por qué flotan y escriba la condición que debe cumplir la densidad de un cuerpo para que flote en un líquido.

Un globo aerostático asciende cuando el quemador calienta el aire de su interior. Explique qué le ocurre a la densidad del aire al calentarse y por qué el empuje del aire frío exterior acaba levantando el globo.

Un bloque de $3\ \text{kg}$ tiene un volumen de $0,004\ \text{m}^3$ y se sumerge por completo en agua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura. Tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule su peso.
2. b) Calcule el empuje que recibe.
3. c) ¿Flota o se hunde? Indique qué fuerza neta actúa sobre él y hacia dónde.

Una piedra de $5\ \text{kg}$ y $0,001\ \text{m}^3$ de volumen cuelga de un dinamómetro y se sumerge por completo en agua, como se muestra en la figura. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tome $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule su peso real.
2. b) Calcule el empuje del agua.
3. c) ¿Qué valor marca el dinamómetro con la piedra sumergida? Explique por qué ese «peso aparente» es menor.

Una pieza metálica de $2\ \text{kg}$ tiene un volumen de $0,0005\ \text{m}^3$ ($0,5\ \text{L}$). Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule su peso.
2. b) Calcule el empuje que recibe si se sumerge por completo en agua.
3. c) ¿Flota o se hunde? Calcule además su densidad y compárela con la del agua para confirmar su respuesta.

Un tronco de $0,01\ \text{m}^3$ se sumerge por completo, primero en un lago y después en el mar. Tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule el empuje que recibe en el lago ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$).
2. b) Calcule el empuje que recibe en el mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$).
3. c) Con esos resultados, explique por qué los bañistas flotan «más alto» en el mar que en una piscina.

Un bloque de madera de $6\ \text{kg}$ flota en equilibrio sobre el agua de una piscina ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura. Tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Si flota en equilibrio, ¿cuánto vale el empuje que recibe? Justifíquelo.
2. b) Calcule el volumen de agua que desaloja, es decir, su volumen sumergido. Exprese el resultado en $\text{m}^3$ y en litros.

Un cubito de hielo ($d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$) flota en un vaso de agua ($d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura.

1. a) En equilibrio, el peso del hielo iguala al empuje: $d_{hielo}\cdot V\cdot g = d_{agua}\cdot V_{sum}\cdot g$. Simplifique la expresión y despeje la fracción sumergida $\frac{V_{sum}}{V}$.
2. b) Calcule qué porcentaje del cubito queda bajo el agua y qué porcentaje sobresale.
3. c) Relacione el resultado con la expresión «esto es solo la punta del iceberg».

Un objeto pesa $12\ \text{N}$ en el aire y, al sumergirlo por completo en agua, el dinamómetro marca $8\ \text{N}$. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Cuánto vale el empuje que recibe?
2. b) Calcule el volumen del objeto.
3. c) Con su peso real y su volumen, calcule su densidad en $\text{kg/m}^3$.

Un huevo de $60\ \text{g}$ tiene un volumen de $55\ \text{cm}^3$. Tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule su peso en newtons (cuidado con las unidades).
2. b) Calcule el empuje que recibe al sumergirlo del todo en agua de la pila ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) y deduzca si flota o se hunde.
3. c) Al disolver mucha sal, el agua alcanza una densidad de $1\,200\ \text{kg/m}^3$: calcule el nuevo empuje y explique por qué ahora el huevo flota.

Un yate de $4\,000\ \text{kg}$ flota en el mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$). Tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule su peso y razone cuánto vale el empuje que recibe al flotar en equilibrio.
2. b) Calcule el volumen sumergido del casco.
3. c) El yate entra en un río de agua dulce ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$): calcule el nuevo volumen sumergido y explique si el barco navega más alto o más bajo en el agua.

Un iceberg de $10\,000\ \text{m}^3$ flota en el mar. Datos: $d_{hielo} = 900\ \text{kg/m}^3$, $d_{mar} = 1\,025\ \text{kg/m}^3$.

1. a) Calcule qué fracción de su volumen queda sumergida (recuerde: en equilibrio, $\frac{V_{sum}}{V} = \frac{d_{hielo}}{d_{mar}}$).
2. b) ¿Qué volumen del iceberg sobresale del agua?
3. c) Con esos resultados, explique por qué los icebergs son tan peligrosos para la navegación aunque la parte visible parezca pequeña.

Un submarino de $800\ \text{t}$ ($800\,000\ \text{kg}$) navega totalmente sumergido, en equilibrio, en el mar ($d = 1\,025\ \text{kg/m}^3$), como se muestra en la figura. Tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Cuánto vale el empuje que recibe? Justifíquelo a partir de la condición de equilibrio.
2. b) Calcule el volumen de agua que desaloja, es decir, el volumen del submarino.
3. c) Para emerger, el submarino expulsa el agua de mar de sus tanques de lastre y la sustituye por aire: explique qué magnitud cambia, si el peso o el empuje, y por qué eso le hace subir.

Un globo aerostático tiene un volumen de $2\,000\ \text{m}^3$, como se muestra en la figura. El aire exterior tiene una densidad de $1,2\ \text{kg/m}^3$ y el aire caliente del interior, de $1,0\ \text{kg/m}^3$. Toma $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el empuje que ejerce el aire exterior sobre el globo.
2. b) Calcula el peso del aire caliente que llena el globo.
3. c) La diferencia entre ambos es la fuerza disponible para levantar la envoltura, la cesta y los pasajeros: ¿qué masa máxima pueden tener en conjunto para que el globo ascienda?

Una corona de $1\ \text{kg}$ debería ser de oro puro ($d_{oro} = 19\,300\ \text{kg/m}^3$). Usted la pesa sumergida en agua y el dinamómetro marca $9,2\ \text{N}$. Datos: $d_{agua} = 1\,000\ \text{kg/m}^3$; tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Qué volumen ocuparía la corona si fuera de oro puro? Expréselo en $\text{cm}^3$.
2. b) A partir de la lectura del dinamómetro, calcule el empuje real y el volumen real de la corona.
3. c) Calcule la densidad real de la corona y decida si es de oro puro o está aleada con un metal menos denso, como sospechaba Arquímedes.

Una balsa de corcho ($d = 240\ \text{kg/m}^3$) tiene un volumen de $0,5\ \text{m}^3$ y flota en agua ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$). Tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) ¿Qué fracción de la balsa queda sumergida cuando flota sola?
2. b) Calcule el empuje máximo que puede proporcionar la balsa, es decir, estando totalmente sumergida.
3. c) Calcule el peso de la propia balsa y deduzca qué masa máxima puede cargar encima sin hundirse del todo.

Un globo de fiesta contiene $5\ \text{L}$ de helio ($0,005\ \text{m}^3$). Datos: $d_{aire} = 1,2\ \text{kg/m}^3$, $d_{helio} = 0,18\ \text{kg/m}^3$; tome $g = 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule el empuje que ejerce el aire sobre el globo.
2. b) Calcule el peso del helio que lo llena.
3. c) La envoltura del globo tiene una masa de $3\ \text{g}$: ¿qué masa extra (cinta, adornos) puede llevar como máximo para seguir ascendiendo?
4. d) Explique por qué el globo deja de subir al alcanzar cierta altura (piense en cómo cambia la densidad del aire con la altitud).

Una persona de $70\ \text{kg}$ flota en equilibrio, primero en una piscina ($d = 1\,000\ \text{kg/m}^3$) y después en el mar Muerto ($d = 1\,240\ \text{kg/m}^3$).

1. a) Escriba la condición de equilibrio $P = E$ con la masa de la persona y el volumen sumergido, y compruebe que, al simplificar, se obtiene $V_{sum} = \frac{m}{d}$: ni siquiera hace falta conocer $g$.
2. b) Calcule el volumen sumergido en la piscina y exprésela en litros.
3. c) Calcule el volumen sumergido en el mar Muerto y explique, comparando ambos resultados, por qué allí se flota «como un corcho» y es casi imposible hundirse.