Porcentajes
Viernes de descuentos: un cartel de «30 % de descuento» en un almacén de Bogotá, la barra de descarga de tu juego en el 75 % y, en la factura, «IVA 19 %». Los porcentajes aparecen en todos lados. ¿Un 20 % de descuento seguido de otro 10 % es lo mismo que un 30 % de una sola vez? Al final de la sección de encadenados lo vas a poder justificar.
Qué es un porcentaje
La barra de abajo está dividida en cuartos. Marcar el 75 % es pintar $\dfrac{75}{100} = \dfrac{3}{4}$ del total.
Prueba con el interactivo: cambia el numerador y mira qué parte del total queda pintada.
Pasar de un porcentaje a fracción es escribirlo sobre $100$ y simplificar: $25\,\% = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$. Pasar a decimal es dividir por $100$, o sea, correr la coma dos lugares a la izquierda: $25\,\% = 0{,}25$.
Observa la siguiente cuadrícula que representa el plano de una zona de ocio en un centro comercial. Cada cuadrado pequeño representa el $1\%$ del total. Si el área…
Observa la siguiente cuadrícula que representa el plano de una zona de ocio en un centro comercial. Cada cuadrado pequeño representa el $1\%$ del total. Si el área sombreada con color naranja está reservada para máquinas recreativas, ¿qué porcentaje del total ocupa dicha zona? Expresa el resultado también en forma de fracción irreducible.
La barra de carga de tu videojuego favorito indica que ya se ha completado el $75\%$ de la descarga total. Si el archivo completo ocupa un espacio de $40$ GB, ¿cuántos…
La barra de carga de tu videojuego favorito indica que ya se ha completado el $75\%$ de la descarga total. Si el archivo completo ocupa un espacio de $40$ GB, ¿cuántos gigabytes se han descargado ya?
Calcular el porcentaje de una cantidad
Para calcular el $n\,\%$ de una cantidad, la multiplicas por $\dfrac{n}{100}$.
En un torneo de e-sports, el $20\%$ de los $150$ participantes juegan desde una tableta, mientras que el resto lo hace desde un computador. Calcula el número exacto de…
En un torneo de e-sports, el $20\%$ de los $150$ participantes juegan desde una tableta, mientras que el resto lo hace desde un computador. Calcula el número exacto de jugadores que utilizan tableta para competir.
Calcula mentalmente los siguientes porcentajes utilizando las estrategias de división aprendidas en clase (dividir entre $2$ para el $50\%$, entre $4$ para el $25\%$ y…
Calcula mentalmente los siguientes porcentajes utilizando las estrategias de división aprendidas en clase (dividir entre $2$ para el $50\%$, entre $4$ para el $25\%$ y entre $10$ para el $10\%$):
- a) El $50\%$ de $84$ espectadores en una transmisión en vivo.
- b) El $25\%$ de una pizza de $400$ gramos.
- c) El $10\%$ de un pase de transporte que cuesta $140\,000$ pesos.
La batería de la tableta de Lucía tiene una capacidad total de $5000$ mAh. Si después de jugar un rato al "Roblox" le queda un $18\%$ de batería, ¿cuántos mAh de energía…
La batería de la tableta de Lucía tiene una capacidad total de $5000$ mAh. Si después de jugar un rato al "Roblox" le queda un $18\%$ de batería, ¿cuántos mAh de energía le quedan todavía? ¿Qué porcentaje de la batería ha consumido ya?
Porcentajes menores que 1 % y mayores que 100 %
Un porcentaje no tiene que estar entre $0$ y $100$.
-
Menor que 1 %: es menos que «uno de cada cien». Por ejemplo, $0{,}5\,\% = \dfrac{0{,}5}{100} = 0{,}005$.
-
Mayor que 100 %: es más que el total. Por ejemplo, $200\,\%$ es el doble y $300\,\%$ es el triple, porque $200\,\% = \dfrac{200}{100} = 2$.
Calcula, razonando cada paso: a) El $200\%$ de $45$. (Piensa: el $200\%$ de una cantidad es su doble.) b) El $150\%$ de $60$. c) El $0,5\%$ de $800$. d) El $300\%$ de…
Calcula, razonando cada paso:
- a) El $200\%$ de $45$. (Piensa: el $200\%$ de una cantidad es su doble.)
- b) El $150\%$ de $60$.
- c) El $0,5\%$ de $800$.
- d) El $300\%$ de $12$.
Los porcentajes también pueden ser menores que el $1\%$: a) Un suero fisiológico contiene un $0,9\%$ de sal. ¿Cuántos gramos de sal hay en una bolsa de $500$ g de suero?…
Los porcentajes también pueden ser menores que el $1\%$:
- a) Un suero fisiológico contiene un $0,9\%$ de sal. ¿Cuántos gramos de sal hay en una bolsa de $500$ g de suero?
- b) Un lote de $2.000$ kg de harina tiene un $0,05\%$ de impurezas. ¿Cuántos kilogramos de impurezas contiene?
¿Qué porcentaje es una parte del total?
Ahora lo que quieres saber es el porcentaje. Armas la razón $\dfrac{\text{parte}}{\text{total}}$ y la escribes como fracción de denominador $100$ (o la divides con la calculadora y multiplicas por $100$).
El mismo método sirve para saber cuánto aumentó o disminuyó algo: divides la variación por el valor inicial.
En una encuesta realizada en tu clase de 1º ESO, $18$ de los $30$ alumnos han confirmado que prefieren el cine de terror frente al de comedia. Calcula el porcentaje de…
En una encuesta realizada en tu clase de 1º ESO, $18$ de los $30$ alumnos han confirmado que prefieren el cine de terror frente al de comedia. Calcula el porcentaje de alumnos que prefieren el cine de terror.
En un examen de matemáticas tipo test de $40$ preguntas, un alumno ha contestado correctamente $28$ preguntas, ha fallado $8$ y ha dejado $4$ en blanco. Calcula el…
En un examen de matemáticas tipo test de $40$ preguntas, un alumno ha contestado correctamente $28$ preguntas, ha fallado $8$ y ha dejado $4$ en blanco. Calcula el porcentaje de respuestas correctas, el de fallos y el de preguntas no contestadas sobre el total. Comprueba que la suma de los tres porcentajes es el $100\%$.
Un barrio tenía $1.200$ habitantes hace diez años y hoy tiene $3.000$. a) ¿En cuántos habitantes ha aumentado la población? b) ¿Qué porcentaje de aumento representa…
Un barrio tenía $1.200$ habitantes hace diez años y hoy tiene $3.000$.
- a) ¿En cuántos habitantes ha aumentado la población?
- b) ¿Qué porcentaje de aumento representa respecto a los habitantes que había hace diez años? ¿Es un porcentaje mayor o menor que el $100\%$? Interpreta el resultado.
Hallar el total conociendo una parte
A veces conoces cuánto vale un cierto porcentaje y quieres el total. Es el camino inverso: divides la parte por el porcentaje (escrito como decimal), o buscas cuánto vale el $1\,\%$ o el $10\,\%$.
Cuando el enunciado habla de «los demás» o «el resto», piensa en que todo suma $100\,\%$. Si dos grupos suman $80\,\%$, el resto es el $20\,\%$, y lo que te dan como dato corresponde a ese porcentaje.
También puede que te den la diferencia entre dos grupos: esa diferencia corresponde a la resta de sus porcentajes.
Para organizar el viaje de fin de curso, los alumnos de 1º ESO han vendido papeletas de una rifa. Si ya han vendido $360$ papeletas, lo que supone el $75\%$ del total…
Para organizar el viaje de fin de curso, los alumnos de 1º ESO han vendido papeletas de una rifa. Si ya han vendido $360$ papeletas, lo que supone el $75\%$ del total que tenían, ¿cuántas papeletas tenían en total para vender? ¿Cuántas les quedan todavía por vender?
En una encuesta realizada en tu colegio sobre el uso de redes sociales, el $45\%$ de los estudiantes prefiere Instagram, el $35\%$ prefiere TikTok y los 48 estudiantes…
En una encuesta realizada en tu colegio sobre el uso de redes sociales, el $45\%$ de los estudiantes prefiere Instagram, el $35\%$ prefiere TikTok y los 48 estudiantes restantes eligen otras plataformas. ¿Cuántos estudiantes hay en total en el colegio? ¿Cuántos de ellos prefieren Instagram?
En las elecciones al consejo escolar, la candidata A obtuvo el $30\%$ de los votos, el candidato B obtuvo el $25\%$ y el candidato C recibió el resto de los votos. Si el…
En las elecciones al consejo escolar, la candidata A obtuvo el $30\%$ de los votos, el candidato B obtuvo el $25\%$ y el candidato C recibió el resto de los votos. Si el candidato C ganó con 28 votos más que el candidato B, ¿cuántos alumnos votaron en total? ¿Cuántos votos recibió cada candidato?
Aumentos y descuentos
Si algo cuesta $100\,\%$ y le descuentas un $20\,\%$, queda el $80\,\%$. Si le aumentas un $20\,\%$, pasa a ser el $120\,\%$. Por eso conviene usar un factor.
Unos tenis que costaban $240\,000$ pesos tienen hoy un descuento del $15\%$. ¿Cuántos pesos te ahorras al comprarlos hoy? ¿Cuál es el precio final que pagarás por ellos?
Unos tenis que costaban $240\,000$ pesos tienen hoy un descuento del $15\%$. ¿Cuántos pesos te ahorras al comprarlos hoy? ¿Cuál es el precio final que pagarás por ellos?
El precio de un computador portátil en una tienda es de $1\,800\,000$ pesos sin incluir impuestos. Si hay que aplicarle un $21\%$ de IVA (Impuesto al Valor Agregado),…
El precio de un computador portátil en una tienda es de $1\,800\,000$ pesos sin incluir impuestos. Si hay que aplicarle un $21\%$ de IVA (Impuesto al Valor Agregado), ¿cuál será el precio final que tendremos que pagar por el portátil?
El número de socios de un club de lectura juvenil ha aumentado este año un $150\%$ respecto al año pasado, cuando había $24$ socios. a) Un alumno dice: «aumentar un…
El número de socios de un club de lectura juvenil ha aumentado este año un $150\%$ respecto al año pasado, cuando había $24$ socios.
- a) Un alumno dice: «aumentar un $150\%$ significa que ahora hay $150$ socios». Explica su error.
- b) Calcula cuántos socios hay ahora. Recuerda: aumentar un $150\%$ significa sumar al número inicial su $150\%$.
- c) Si el año que viene el club quiere llegar a triplicar los socios del año pasado, ¿qué porcentaje de aumento necesita respecto al año pasado?
Porcentajes encadenados
Cuando se aplican dos o más porcentajes seguidos, cada uno actúa sobre el resultado anterior. Entonces se multiplican los factores.
También puede haber un descuento en pesos fijos junto a uno porcentual. En ese caso no se multiplican factores: primero aplicas el porcentaje y después restas los pesos.
El almacenamiento de un celular es de $128 \text{ GB}$. El sistema operativo ocupa el $12,5\%$ del total. Si Álex ya ha llenado el $60\%$ del espacio libre que quedaba,…
El almacenamiento de un celular es de $128 \text{ GB}$. El sistema operativo ocupa el $12,5\%$ del total. Si Álex ya ha llenado el $60\%$ del espacio libre que quedaba, ¿cuántos Gigabytes tiene todavía disponibles para instalar nuevas aplicaciones?
En una tienda de tenis de moda, un modelo que cuesta $\$340\,000$ tiene una rebaja del $20\%…
En una tienda de tenis de moda, un modelo que cuesta $\$340\,000$ tiene una rebaja del $20\%$. Sin embargo, por ser el último día de promociones, aplican un descuento adicional del $10\%$ sobre el precio ya rebajado. ¿Cuál es el precio final de los tenis? ¿Es lo mismo que aplicar un único descuento del $30\%$? Justifica tu respuesta calculando ambos casos.
Un servicio de streaming de películas cuesta $\$9,99$ al mes. Si decides pagar el año completo de una vez, te ofrecen un descuento del $15\%…
Un servicio de streaming de películas cuesta $\$9,99$ al mes. Si decides pagar el año completo de una vez, te ofrecen un descuento del $15\%$. Sin embargo, este mes hay una promoción especial y, sobre ese precio anual ya rebajado, te descuentan otros $\$10$ fijos. ¿Cuánto ahorrarás en total al año si aprovechas ambas ofertas comparado con pagar mes a mes?
Vuelve al principio: un $20\,\%$ de descuento seguido de un $10\,\%$ multiplica por $0{,}80 \cdot 0{,}90 = 0{,}72$, o sea que equivale a un descuento del $28\,\%$, no del $30\,\%$.
El IVA: hallar el precio sin impuesto
En Colombia, la tarifa general del IVA es del $19\,\%$. El precio final es el precio sin IVA multiplicado por $1{,}19$. Si conoces el precio final y quieres el precio base, haces el camino inverso: divides por $1{,}19$. Si te dan otra tarifa, el factor cambia (con una tarifa del $21\,\%$ sería $1{,}21$) y el método es el mismo.
Álex compró un computador para jugar a sus videojuegos favoritos. El precio final que pagó, incluyendo el $21\%$ de IVA, fue de $\$5\,808\,000…
Álex compró un computador para jugar a sus videojuegos favoritos. El precio final que pagó, incluyendo el $21\%$ de IVA, fue de $\$5\,808\,000$. Su amigo le dice que el computador costaba $\$4\,800\,000$ antes de impuestos. ¿Tiene razón su amigo? Realiza los cálculos necesarios para encontrar el precio base (sin IVA) del computador.