Ejercicios: Dominio, simetría, cortes y monotonía

Un grupo de estudiantes de 2.º de Bachillerato ha diseñado una aplicación para organizar eventos. El beneficio esperado, en pesos, depende del número de usuarios registrados $x$ (en cientos) según la función:

$B(x) = x^2 - 10x + 8$

Se pide:

1. a) Determina el dominio de la función teniendo en cuenta que $x$ representa una cantidad de usuarios (no puede ser negativa).

1. b) Calcula los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas.

Estudia la simetría de las siguientes funciones, indicando en cada caso si son pares, impares o no presentan simetría:

1. $f(x) = x^4 - 5x^2 + 2$

2. $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía) de la función polinómica:

$f(x) = -x^2 + 8x - 12$

1. a) Indica las coordenadas del vértice y especifica si se trata de un máximo o un mínimo relativo.

1. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Halla el dominio de definición de cada una de estas funciones, razonando la respuesta:

• a) $f(x) = \sqrt{x - 3}$

• b) $g(x) = \ln(x + 2)$

• c) $h(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$

Sea la función $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$.

• a) Determina su dominio de definición.

• b) Halla los puntos de corte con los ejes.

• c) Estudia su simetría y, con la información anterior, esboza su gráfica. ¿Qué figura conocida forma?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El número de socios de un club de lectura durante sus primeros años se ajusta a $N(t) = t^3 - 12t + 60$, con $t$ en años y $0 \leq t \leq 4$.

• a) Estudia en qué intervalos de tiempo el club ganó y perdió socios.

• b) Halla los extremos relativos e interprétalos en el contexto.

• c) ¿Cuál fue el número mínimo de socios en ese periodo?

Determina los valores del parámetro $a$ para los que el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{x^2 + ax + 4}$ es todo $\mathbb{R}$. Razona tu respuesta usando el discriminante del denominador.

Razona si cada afirmación es verdadera o falsa:

• a) «Si $f$ es una función impar definida en $x = 0$, necesariamente $f(0) = 0$».

• b) «Si una función es par, su gráfica no puede cortar al eje $X$».

• c) «La suma de dos funciones impares es siempre una función impar».