Exercicis: Creixement, màxims i mínims

A partir de la gràfica següent de la funció $f(x)$, determina els intervals on la funció és estrictament creixent i on és estrictament decreixent.

Observa la gràfica de la funció $g(x)$ i escriu les coordenades exactes dels punts marcats com a A, B i C. Indica per a cadascun d'ells si es tracta d'un màxim o un mínim relatiu. Hi ha cap extrem que sigui també absolut en el domini representat?

Calcula la Taxa de Variació Mitjana (TVM) de la funció afí $f(x) = 4x - 7$ en l'interval $[-2, 3]$. A partir del resultat obtingut, què pots afirmar sobre el creixement de la funció en aquest interval?

La taula de valors següent mostra l'altitud $h$ (en metres) d'un globus sonda meteorològica en funció del temps $t$ (en segons) des del seu llançament.

Calcula la TVM en els intervals $[0, 2]$ i $[4, 6]$. Basant-te en aquests resultats, la funció altitud és creixent o decreixent en aquests trams?

Donada la funció quadràtica $f(x) = -3x^2 + 12x - 5$, indica, sense necessitat de representar-la gràficament ni calcular les seves coordenades, si el vèrtex de la paràbola correspon a un màxim o a un mínim relatiu. Justifica la teva resposta fixant-te en el signe dels coeficients de la funció.

Considera la funció $f(x) = x^2 - 9$. Calcula la Taxa de Variació Mitjana en l'interval $[-4, -1]$ i en l'interval $[1, 4]$. Relaciona el signe de cada resultat amb el comportament (creixent o decreixent) de la funció en aquests dos trams.

Dibuixa al teu quadern una gràfica contínua el domini de la qual sigui tot $\mathbb{R}$, que sigui estrictament creixent en els intervals $(-\infty, -2)$ i $(3, +\infty)$, i estrictament decreixent en l'interval $(-2, 3)$. Segons el teu dibuix, quin tipus d'extrems relatius (màxim o mínim) hi haurà en les abscisses $x = -2$ i $x = 3$?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La temperatura d'un forn industrial comença a $20 \ ^\circ\text{C}$. Durant els primers $15$ minuts puja uniformement fins a aconseguir els $220 \ ^\circ\text{C}$. Es manté a aquesta temperatura constant durant $45$ minuts per enfornar unes peces, i després s'apaga, i la temperatura descendeix uniformement fins als $20 \ ^\circ\text{C}$ al llarg de $30$ minuts. Indica els intervals de temps de creixement, decreixement i constància de la temperatura, així com el valor màxim absolut aconseguit per la funció.

Marcos està analitzant la funció quadràtica $f(x) = x^2 - 6x + 5$, que descriu l'alçada en metres d'un patinador en una pista còncava segons la seva posició horitzontal $x$. Després de fer els seus càlculs, Marcos troba les coordenades del vèrtex, que són $(3, -4)$, i escriu la conclusió següent a la seva llibreta: «Com que les branques van cap amunt, la funció té un mínim relatiu de valor $x = 3$. Per tant, la funció és decreixent en l'interval $(-\infty, -4)$ i creixent en $(-4, +\infty)$». Identifica els dos errors conceptuals comesos per Marcos en interpretar les coordenades del vèrtex, explica detalladament per què es produeixen aquestes confusions habituals i redacta la resposta correcta indicant el valor del mínim i els intervals de creixement i decreixement.

Segons els registres d'una estació meteorològica d'AEMET a la serra, la temperatura $T$ (en graus Celsius) durant un matí ve donada pel model $T(t) = -0,2t^2 + 2,4t + 3$, on $t$ és el temps en hores transcorregut des de les 6:00 ($t = 0$) fins a les 12:00 ($t = 6$). a) Sense calcular valors concrets encara, observa la forma de la paràbola i el seu vèrtex: esperes que la taxa de variació mitjana $\text{TVM}[0, 2]$ (de 6:00 a 8:00) sigui més gran, igual o més petita que la $\text{TVM}[4, 6]$ (de 10:00 a 12:00)? Justifica qualitativament la teva predicció física i gràfica. b) Calcula amb exactitud ambdues taxes de variació mitjana, interpretant les seves unitats ($^\circ\text{C}/\text{h}$), i comprova si la teva estimació inicial era correcta.

L'altura $h$ (en metres) que aconsegueix un coet de fira en funció del temps $t$ (en segons) des del seu llançament ve donada per l'expressió $h(t) = -5t^2 + 40t + 2$. Calcula en quin instant de temps el coet aconsegueix la seva altura màxima i quin és el valor exacte d'aquesta altura.

La gràfica següent mostra els subscriptors mensuals $S(t)$ (en milers) d'una revista digital durant el seu primer any d'existència ($t$ en mesos, des de $t=0$ fins a $t=12$). Identifica els intervals en què el nombre de subscriptors creix i decreix. En quins mesos s'aconsegueixen els màxims i mínims relatius?

Donada la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \frac{12}{x}$, calcula la Taxa de Variació Mitjana en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 6]$. Comprova que, encara que els valors numèrics de la TVM són diferents en cada interval, tots dos resultats justifiquen el comportament decreixent de la funció en l'interval $(0, +\infty)$.

Considera la funció $f(x)$ definida a trossos de la manera següent:

$f(x) = \begin{cases} -2x + 6 & \text{si } x < 2 \\ x^2 - 8x + 14 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Troba les coordenades del vèrtex del tram parabòlic i determina si la funció presenta algun mínim relatiu o absolut en tot el seu domini.

El nombre d'individus $N$ d'una població d'insectes en un experiment de laboratori varia en funció dels dies $t$ transcorreguts segons el model quadràtic $N(t) = 3t^2 - 24t + 150$, vàlid per a $t \ge 0$. Determina en quin dia la població d'insectes aconsegueix el seu valor mínim i quants individus conformen la població en aquest moment exacte.

La gràfica adjunta representa la velocitat $v$ (en km/h) d'un vehicle al llarg d'un trajecte en funció del temps $t$ (en minuts). Indica els intervals de temps en què el vehicle accelera (velocitat creixent), frena (velocitat decreixent) o manté una velocitat constant. Quina és la velocitat màxima aconseguida en el trajecte i durant quant de temps es manté?

Representa al teu quadern un esbós d'una funció contínua $f(x)$ que compleixi simultàniament totes les condicions següents:

• El seu domini és l'interval $[-5, 6]$.

• El seu recorregut és l'interval $[-2, 5]$.

• És estrictament creixent a $[-5, -1] \cup [3, 6]$ i estrictament decreixent a $[-1, 3]$.

• Passa pels punts $(-1, 5)$ i $(3, -2)$.

Què representen matemàticament els punts $(-1, 5)$ i $(3, -2)$ a la gràfica d'aquesta funció?

Un excursionista registra l'altitud $h$ a la qual es troba en diferents moments $t$ de la seva ruta per la muntanya:

Calcula la Taxa de Variació Mitjana en els intervals $[0, 2]$, $[2, 4]$ i $[4, 5]$. A partir dels signes d'aquests resultats, dedueix en quin moment aproximat l'excursionista va aconseguir el cim de la primera muntanya que va pujar i quan va acabar de descendir a la vall abans de tornar a pujar.

Determina raonadament l'expressió algebraica d'una funció polinòmica de segon grau $f(x) = ax^2 + bx + c$ que compleixi simultàniament tres condicions: 1) presenta un extrem absolut en el punt $V(2, 5)$; 2) és estrictament creixent en l'interval $(-\infty, 2)$ i estrictament decreixent en $(2, +\infty)$; 3) talla l'eix d'ordenades en el punt $(0, 1)$. Justifica com dedueixes el signe del coeficient principal $a$, com utilitzes la fórmula del vèrtex o la forma canònica de la paràbola per plantejar les equacions necessàries i troba els valors exactes dels coeficients $a$, $b$ i $c$.

El consum de carburant $C(v)$ (en litres als $100\text{ km}$) d'un turisme en circular per autovia a una velocitat constant $v$ (en $\text{km}/\text{h}$, per a $60 \le v \le 140$) es modelitza mitjançant la funció quadràtica $C(v) = 0,001v^2 - 0,18v + 12,6$. a) Modela la conducció més econòmica: calcula a quina velocitat de creuer el consum de combustible és mínim i quin és el valor exacte d'aquest consum mínim. b) A partir dels intervals de creixement i decreixement, justifica per què circular a $120\text{ km}/\text{h}$ consumeix més que circular a $90\text{ km}/\text{h}$. Calcula la taxa de variació mitjana $\text{TVM}[90, 120]$ i interpreta el seu significat pràctic explicant quants litres extra consumeix el cotxe per cada $\text{km}/\text{h}$ que se supera la velocitat òptima en aquest tram.

Es disposa de $60$ metres de tanca metàl·lica per tancar un hort rectangular aprofitant la paret recta d'un graner, per la qual cosa només cal tancar tres dels seus costats. Si anomenem $x$ a la longitud dels dos costats perpendiculars a la paret del graner, troba la funció quadràtica $A(x)$ que expressa l'àrea de l'hort en funció de $x$. Quines han de ser les dimensions exactes de l'hort perquè la seva àrea sigui la màxima possible?

El benefici $B(x)$, en euros, que obté una fàbrica per la venda de $x$ unitats d'un producte exclusiu ve donat per la funció quadràtica amb paràmetres $B(x) = -ax^2 + bx - 500$. Se sap mitjançant un estudi de mercat que el benefici màxim s'aconsegueix en vendre exactament $40$ unitats i que aquest benefici màxim és de $1100$ €. Planteja un sistema d'equacions i calcula els valors dels paràmetres $a$ i $b$.

La gràfica següent correspon a una funció polinòmica de grau 4, $f(x)$, que presenta una forma de "W". A partir de l'observació de la gràfica, estima les coordenades dels seus extrems relatius (màxims i mínims). A continuació, sabent que la funció és perfectament simètrica respecte de l'eix Y (és una funció parell), raona i demostra si la Taxa de Variació Mitjana en l'interval simètric $[-3, 3]$ serà positiva, negativa o nul·la.

Donada la funció racional amb un paràmetre desconegut $f(x) = \frac{k}{x+2}$, troba el valor exacte de $k$ sabent que la Taxa de Variació Mitjana de la funció en l'interval $[0, 2]$ és igual a $-1$. Una vegada trobat el valor de $k$, justifica algebraicament si la funció és creixent o decreixent en tot l'interval $(-2, +\infty)$.

El consum d'energia $C(v)$ (en kWh per cada 100 km) d'un vehicle elèctric nou en funció de la seva velocitat constant $v$ (en km/h) es pot modelitzar de forma aproximada mitjançant l'expressió quadràtica $C(v) = 0,02v^2 - 1,6v + 45$, vàlida per a velocitats en l'interval de $20$ a $100$ km/h. A quina velocitat exacta ha de circular el vehicle perquè el consum d'energia sigui el mínim possible? Quin és aquest consum mínim?

Considera la funció definida mitjançant un valor absolut $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$. Sabent que la paràbola interior $y = x^2 - 6x + 5$ talla l'eix d'abscisses a $x=1$ i $x=5$, expressa $f(x)$ com una funció definida a trossos sense utilitzar el símbol de valor absolut. A continuació, troba les coordenades dels tres extrems relatius de $f(x)$ i indica els seus intervals de monotonia.

Dos vaixells de rescat surten del mateix punt a alta mar al mateix temps. El vaixell A viatja en línia recta cap al Nord a una velocitat constant de $20$ km/h, i el vaixell B viatja cap a l'Est a una velocitat constant de $15$ km/h. La distància al quadrat entre tots dos vaixells en funció del temps $t$ (en hores) ve donada per la funció $D(t) = (20t)^2 + (15t)^2$. Demostra algebraicament que la distància real entre ells és una funció estrictament creixent per a qualsevol temps $t > 0$ calculant la taxa de variació mitjana genèrica en un interval $[t_1, t_2]$ (amb $0 < t_1 < t_2$).

La gràfica adjunta no representa una funció $f(x)$ normal, sinó que representa el valor de la seva taxa de variació instantània (o ritme de creixement) a cada punt $x$. És a dir, si la gràfica mostrada està per sobre de l'eix X, la funció original $f(x)$ creix; si està per sota, decreix. A partir d'aquesta gràfica, dedueix en quins intervals la funció original $f(x)$ és creixent i decreixent. En quin valor exacte de $x$ assolirà $f(x)$ un extrem relatiu? Justifica si es tracta d'un màxim o d'un mínim.

Considera la funció definida a trossos: $f(x) = 3 - x^2$ si $x \le 1$, i $f(x) = 4x - 2$ si $x > 1$. Dos estudiants discuteixen sobre si hi ha un extrem relatiu en el punt d'unió $x = 1$: Sergio calcula els vèrtexs de cada tram per separat; com que el primer tram té el vèrtex a $x = 0$ i el segon és una recta sense vèrtex, afirma que a $x = 1$ no hi pot haver cap extrem. La Núria proposa comprovar primer si la funció és contínua a $x = 1$ i després analitzar el signe del creixement a l'esquerra i a la dreta immediata de $x = 1$. a) Quin dels dos mètodes és el matemàticament rigorós? Explica amb precisió l'error del mètode de Sergio a partir de la definició d'extrem relatiu en un entorn. b) Aplica el mètode vàlid per classificar raonadament què passa a $x = 1$ (màxim relatiu, mínim relatiu o cap).

Dissenya l'expressió analítica completa d'una funció a trossos $g(x)$, contínua a tot $\mathbb{R}$, formada exclusivament per dues rectes (funcions afins) de la forma: $g(x) = m_1 x + n_1$ si $x < 3$, i $g(x) = m_2 x + n_2$ si $x \ge 3$, que satisfaci alhora les tres condicions següents: 1) A $x = 3$ la funció assoleix un màxim relatiu de valor $g(3) = 4$. 2) La taxa de variació mitjana en l'interval $[-1, 3]$ és exactament $2$. 3) A la dreta de $x = 3$, la funció decreix el doble de ràpid del que creix a la seva esquerra. Calcula de manera justificada els coeficients $m_1$, $n_1$, $m_2$ i $n_2$. Finalment, explica per què a $x = 3$ apareix un màxim relatiu malgrat que cap funció lineal o afí té extrems relatius per si mateixa.