Exercicis: Permutacions

Calcula el valor numèric de les expressions següents amb factorials: $\frac{8!}{5! \cdot 3!}$ i $\frac{12!}{10!}$.

Un grup de $6$ amics va al teatre i compren entrades per a seients consecutius a la mateixa fila. De quantes maneres diferents es poden seure a gaudir de l'obra?

Quantes paraules diferents, tinguin o no sentit al diccionari, es poden formar ordenant totes les lletres de la paraula "MUNDO"?

En una galeria d'art es van a exposar $5$ quadres d'un artista local penjant-los en línia recta sobre una paret principal. De quantes maneres diferents es poden ordenar les obres?

Durant una competició d'atletisme escolar, $7$ corredors arriben a la meta sense que es produeixi cap empat. Quantes classificacions diferents es poden donar al final de la cursa?

Un festival de música té programades les actuacions de $4$ bandes de rock per a la nit de dissabte. De quantes maneres es pot organitzar l'ordre en què pujaran a l'escenari a tocar?

Per configurar una contrasenya segura, una aplicació exigeix usar exactament els caràcters $A, B, C, 1, 2$, sense repetir-ne cap. Quantes contrasenyes diferents es poden crear al sistema?

Simplifica la següent expressió algebraica que involucra factorials, expressant el resultat en la seva forma més reduïda: $\frac{(n+2)!}{n! \cdot (n+1)}$.

En Marcos vol calcular quantes paraules diferents, tinguin o no sentit, es poden formar ordenant totes les lletres de la paraula «PATATA». Al seu examen escriu el següent:

«Com que la paraula té 6 lletres, hi ha $6! = 720$ ordenacions. Però com que la lletra A es repeteix 3 vegades i la lletra T es repeteix 2 vegades, les resto del total: $6! - 3! - 2! = 720 - 6 - 2 = 712$ paraules possibles».

Identifica l'error conceptual que ha comès en Marcos, explica amb les teves pròpies paraules per què l'operació de restar factorials no té sentit en aquest context d'ordenacions i calcula la solució correcta aplicant i justificant la fórmula adequada.

Quatre amics van a berenar a una cafeteria del centre de la ciutat. Dubten entre asseure's en una barra amb 4 tamborets en fila o asseure's en una taula circular de 4 places on únicament importa la posició relativa entre ells (qui queda a l'esquerra o a la dreta de qui).

1. a) Abans d'aplicar cap fórmula, estima de manera raonada quina de les dues situacions oferirà un nombre més gran d'ordenacions diferents i aventura quina relació aproximada hi haurà entre ambdós resultats.
2. b) Calcula de manera exacta el nombre d'ordenacions a la barra ($P_4$) i a la taula rodona ($PC_4$).
3. c) Comprova si el càlcul confirma la teva estimació inicial i raona per què el fet de fixar una persona com a referència a la taula redueix el total d'ordenacions exactament en aquest factor.

Cinc amics van al cinema i se seuen en butaques contigües. Dos d'ells, la Amina i en Unai, volen seure junts per compartir les crispetes. De quantes maneres es poden acomodar els cinc amics complint sempre aquesta condició?

Un vaixell es comunica amb altres navilis mitjançant banderes de colors izades verticalment en un màstil. Si disposa de $3$ banderes vermelles, $2$ banderes blaves i $1$ bandera groga, totes de la mateixa mida, quants senyals diferents pot enviar usant totes les banderes alhora?

Una família de $6$ membres se seuta a sopar al voltant d'una taula circular en un restaurant. De quantes maneres diferents es poden ubicar si només importa la posició relativa entre ells i no la cadira exacta que ocupen a la sala?

Quantes paraules diferents, tinguin o no sentit, es poden formar utilitzant totes les lletres de la paraula "CAMPANA"?

A la final d'una cursa de natació dels Jocs Olímpics participen $8$ nedadors. Si sabem amb certesa quin nedador ha guanyat la medalla d'or i quin ha arribat en últim lloc a causa d'una lesió, de quantes maneres diferents s'han pogut classificar els altres participants en les posicions intermèdies?

En el plànol d'una ciutat amb carrers disposats en quadrícula, un repartidor en bicicleta ha d'anar des del punt $A$ fins al punt $B$ desplaçant-se únicament cap a la dreta i cap amunt. Quants camins diferents de longitud mínima pot agafar per realitzar el lliurament?

Un enginyer informàtic vol formar codis numèrics de sis xifres utilitzant exactament els dígits següents en cada codi: $2, 2, 3, 3, 3, 4$. Quants codis diferents pot programar el sistema?

Un grup format per $3$ nois i $3$ noies se seuran en una fila de $6$ butaques per veure un concert. De quantes maneres ho poden fer si s'han de seure de manera que els sexes queden estrictament alternats (noi-noia-noi... o noia-noi-noia...)?

Una furgoneta de repartiment de Correus s'ha de desplaçar pel traçat en quadrícula del districte de l'Eixample de Barcelona. Surt d'un magatzem i ha d'arribar a un punt de lliurament situat a 4 illes cap a l'est i 3 illes cap al nord. La furgoneta sempre segueix trajectes de longitud mínima, i es desplaça exclusivament cap a l'est ($E$) o cap al nord ($N$) en cada tram.

1. a) Modela aquesta situació mitjançant permutacions amb repetició justificant per què cada ruta possible equival a una seqüència de lletres de longitud fixa i calcula el nombre total de camins mínims diferents.
2. b) Si la intersecció situada a 2 illes a l'est i 1 illa al nord de l'origen està completament tallada per obres municipals, calcula quants camins mínims queden disponibles que evitin passar obligatòriament per aquesta cruïlla. Justifica el procediment que has seguit.

Una baralla d'entrenament per a càlcul mental conté 8 cartes en total. Dues d'elles són de color vermell, i la resta són cartes blaves i cartes verdes. En disposar totes les cartes en fila sobre la taula, es comprova que es poden formar exactament 420 ordenacions diferents atenent únicament a la seqüència de colors.

1. a) Planteja una equació combinatòria que relacioni el nombre de cartes blaves ($a$) i el nombre de cartes verdes ($v$) amb el total d'ordenacions possibles.
2. b) Dedueix quantes cartes blaves i quantes cartes verdes componen la baralla. Justifica per què apareixen dues solucions numèriques simètriques i explica el seu significat pràctic.

Troba el valor del nombre natural $x$ que satisfà la següent equació, justificant matemàticament la teva resposta: $P_x = 30 \cdot P_{x-2}$.

Quantes paraules diferents, amb sentit o sense, es poden formar reordenant totes les lletres de la paraula "ESTADISTICA" de manera que obligatòriament comencin per la lletra $E$ i acabin per la lletra $A$?

Vuit diplomàtics es reuneixen en una cimera internacional i s'han de seure al voltant d'una gran taula rodona. Dos dels representants estan fortament enemistats i el protocol exigeix que no se seuin l'un al costat de l'altre. De quantes maneres diferents es poden acomodar a la taula complint aquesta restricció?

A la prestatgeria d'una biblioteca escolar es van a col·locar en fila $4$ llibres diferents de Matemàtiques, $3$ llibres diferents de Física i $2$ llibres diferents de Química. Si la bibliotecària exigeix que els llibres de la mateixa matèria han de romandre sempre junts formant un bloc, de quantes maneres diferents es poden ordenar al prestatge?

Un robot autònom es desplaça per una quadrícula logística des del node $A$ fins al node $B$ avançant exclusivament cap a la dreta i cap avall. A causa d'unes reparacions a terra, el node $C$ està bloquejat i el robot no hi pot passar. Quantes trajectòries vàlides existeixen per completar el recorregut?

Calcula quina és la suma total de tots els nombres enters de $4$ xifres diferents que es poden formar utilitzant exclusivament els dígits $1, 2, 3$ i $4$.

Si es generen totes les paraules possibles, amb sentit o sense, permutant les lletres de la paraula "LIBRO" i després s'ordenen estrictament de forma alfabètica (com en un diccionari), quina posició ocuparà exactament la paraula "LIBRO" en aquesta llista?

Simplifica les fraccions algebraiques i resol la següent equació que conté factorials, trobant el valor de $x$: $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - \frac{x!}{(x-2)!} = 14$.

En un simposi científic organitzat al CSIC participen 6 ponents: 3 especialistes en física i 3 en matemàtiques. Intervindran de manera consecutiva en una mateixa sala i el comitè organitzador exigeix que no hi hagi dos físics intervenint seguits. Per determinar quantes programacions vàlides hi ha, dos estudiants plantegen camins diferents:

• La Lucía proposa el mètode del complementari: «Calculem totes les ordenacions possibles dels 6 ponents i restem aquelles en què els físics apareixen junts».

• En Sergio proposa el mètode dels buits: «Col·loquem primer els 3 matemàtics en fila, identifiquem els buits disponibles entre ells i als extrems, i hi ubiquem els físics».

1. a) Analitza totes dues propostes i explica amb precisió per què l'estratègia de la Lucía resulta summament complexa i propensa a l'error en aquest cas concret (assenyala quins casos solapats o diferents hauria de distingir en intentar restar).
2. b) Desenvolupa completament l'estratègia d'en Sergio descomponent els factors mitjançant permutacions, calcula el resultat final i conclou justificant per què aquest mètode és més segur i eficient.

En una cimera diplomàtica celebrada a Toledo s'organitza un sopar per a 8 mandataris en una taula circular de 8 seients, on únicament es té en compte la posició relativa dels comensals entre si. El servei de protocol imposa dues restriccions simultànies:

1. Els mandataris d'Espanya i Portugal han d'asseure's junts obligatòriament, l'un al costat de l'altre.

2. Els mandataris de França i Alemanya han d'asseure's en posicions diametralment oposades (enfrontats directament a través del centre de la taula).

Dissenya una estratègia rigorosa per comptar les configuracions possibles fixant un comensal com a referència per trencar la simetria circular, analitza detalladament quantes posicions compatibles queden per al bloc hispanolusità i per a la resta de delegacions, i dedueix el nombre total de maneres vàlides d'asseure els 8 mandataris.