Exercicis: Treball i potència

El treball que fa una força sobre un cos que es desplaça es calcula com a $W = F \cdot d \cdot \cos \alpha$, on $\alpha$ és l'angle que formen la força i el desplaçament. Estires un carret amb la mateixa força i durant la mateixa distància en tres casos: amb la corda horitzontal ($\alpha = 0^\circ$), formant $45^\circ$ i formant $90^\circ$ ($\cos 0^\circ = 1$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$; $\cos 90^\circ = 0$). La figura mostra els tres casos.

Ordena els tres treballs de major a menor i justifica-ho amb la fórmula.

Un operari empeny un palet amb una força horitzontal de $150\ \text{N}$ i el desplaça $8\ \text{m}$ pel terra del magatzem. Calcula el treball que fa.

Col·loques una caixa de llibres de $8\ \text{kg}$ al prestatge superior d'un armari, a $1,5\ \text{m}$ de terra (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quina força has de vèncer, com a mínim, per pujar-la?
2. b) Quin treball fas contra el pes?

El motor d'una cinta transportadora d'un centre de paqueteria fa un treball de $18000\ \text{J}$ en $60\ \text{s}$. La potència es calcula com a $P = W/t$. Calcula la potència del motor, en watts.

Un satèl·lit gira al voltant de la Terra en òrbita circular a velocitat constant, com es mostra a la figura. La força gravitatòria que la Terra exerceix sobre seu apunta cap al centre de l'òrbita, mentre que el seu desplaçament és tangent a la trajectòria.

1. a) Quin angle formen la força i el desplaçament?
2. b) Quant treball fa la gravetat sobre el satèl·lit a cada volta? Justifica-ho utilitzant el cosinus.

Un nen estira un carro amb una corda que forma $60^\circ$ amb l'horitzontal, exercint una força de $200\ \text{N}$, i l'arrossega $10\ \text{m}$ ($\cos 60^\circ = 0,5$), com es mostra a la figura.

Calcula el treball realitzat.

Classifica les unitats següents segons si mesuren treball (o energia) o potència, i explica el criteri que has fet servir:

1. a) $\text{J}$
2. b) $\text{W}$
3. c) $\text{N} \cdot \text{m}$
4. d) $\text{kWh}$
5. e) $\text{kW}$

Per arrossegar un piano $3\ \text{m}$ pel terra de l'escenari s'ha fet un treball de $900\ \text{J}$. Amb quina força mitjana horitzontal s'ha empès? Aïlla primer la força de la fórmula del treball.

Un muntanyenc i la seva motxilla sumen $75\ \text{kg}$ i ascendeixen $720\ \text{m}$ de desnivell en $1,5\ \text{h}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quina força venç en pujar?
2. b) Quin treball fa contra el pes?
3. c) Quina potència mitjana desenvolupa? Recorda passar el temps a segons.

L'Aitana talla la gespa empenyent el tallagespa amb una força de $80\ \text{N}$ aplicada sobre el manillar, que forma $30^\circ$ amb l'horitzontal ($\cos 30^\circ \approx 0,87$), i recorre $20\ \text{m}$ de prat, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el treball realitzat.
2. b) Quin treball hauria fet empenyent en horitzontal amb la mateixa força? A què es deu la diferència?

Un trepant té una potència de $600\ \text{W}$ i està funcionant $2\ \text{min}$ ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Expressa el temps en segons.
2. b) Calcula el treball (l'energia) que ha fet.
3. c) Expressa aquesta energia en $\text{kWh}$.

Un operari empeny un contenidor $12\ \text{m}$ pel terra d'una nau amb una força horitzontal de $80\ \text{N}$, mentre el fregament s'hi oposa amb $45\ \text{N}$, com es mostra a la figura. Recorda que el treball d'una força que s'oposa al desplaçament és negatiu ($\alpha = 180^\circ$, $\cos 180^\circ = -1$).

1. a) Calcula el treball que fa l'operari.
2. b) Calcula el treball que fa el fregament.
3. c) Quin és el treball net sobre el contenidor?

La bomba de depuració d'una piscina té una potència de $750\ \text{W}$ i funciona $8\ \text{h}$ al dia ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcula l'energia que consumeix al dia, en joules.
2. b) Expressa-la en $\text{kWh}$, la unitat en què factura la companyia elèctrica.

Una grua eleva una biga d'acer de $25\ \text{kg}$ fins a $12\ \text{m}$ d'alçària, a velocitat constant (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quina força exerceix el cable?
2. b) Quin treball fa la grua?

El motor d'un tendal de terrassa té una potència de $40\ \text{W}$ i triga $15\ \text{s}$ a recollir-lo.

1. a) Quin treball fa?
2. b) Si el tendal puja $1,5\ \text{m}$, quina força mitjana exerceix el motor?

Dos nens arrosseguen el mateix trineu $50\ \text{m}$ per la neu, com es mostra a la figura. El primer estira amb la corda horitzontal, amb una força de $60\ \text{N}$; el segon estira amb la corda formant $60^\circ$ amb l'horitzontal, amb una força de $100\ \text{N}$ ($\cos 60^\circ = 0,5$).

1. a) Calcula el treball de cadascun.
2. b) Qui fa més treball? Per què el segon no aprofita tota la seva força?

En una competició d'halterofília, una atleta aixeca un pes de $100\ \text{kg}$ des de terra fins a $2\ \text{m}$ d'alçària en $2\ \text{s}$, el manté quiet sobre el seu cap durant $3\ \text{s}$ i després camina $10\ \text{m}$ en horitzontal amb ell fins a sortir de la plataforma (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra les tres fases.

1. a) Quin treball fa contra el pes mentre l'aixeca?
2. b) Quina potència desenvolupa en aquest aixecament?
3. c) Fa treball contra el pes mentre el manté quiet? I mentre camina en horitzontal? Justifica totes dues respostes amb la definició de treball.

El cor humà fa un treball d'uns $1,2\ \text{J}$ a cada batec ($1\ \text{kWh} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcula la seva potència mitjana en repòs, amb $60$ batecs per minut.
2. b) Quanta energia bombeja en un dia sencer? Expressa-la en joules i en $\text{kWh}$.
3. c) Compara-la amb la potència d'una bombeta LED de $10\ \text{W}$ i comenta el resultat.

Un funicular de $2400\ \text{kg}$ amb els seus passatgers salva un desnivell de $500\ \text{m}$ en $10\ \text{min}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball que fa contra el pes.
2. b) Calcula la seva potència mitjana, en watts i en quilowatts.
3. c) Si fes el mateix trajecte en la meitat de temps, com canviarien el treball i la potència? Justifica-ho.

Un piragüista arrossega el seu caiac $40\ \text{m}$ per la sorra estirant d'una corda que forma $45^\circ$ amb l'horitzontal, amb una força de $50\ \text{N}$ ($\cos 45^\circ \approx 0,71$). El fregament amb la sorra s'hi oposa amb $20\ \text{N}$.

1. a) Calcula el treball que fa el piragüista.
2. b) Calcula el treball del fregament (recorda que és negatiu).
3. c) Quin és el treball net sobre el caiac? En què es nota aquest treball net?

Un totterreny de $1800\ \text{kg}$ puja un port guanyant $100\ \text{m}$ d'alçària en $2\ \text{min}$, a velocitat constant (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el treball realitzat contra el pes.
2. b) Calcula la potència útil emprada per pujar, en $\text{kW}$.
3. c) El motor del cotxe declara $150\ \text{kW}$ de potència: explica almenys dues raons per les quals la potència útil que has calculat és molt menor.

En un magatzem automatitzat, un robot puja paquets de $5\ \text{kg}$ a una prestatgeria de $6\ \text{m}$ d'alçària, a raó de $120$ paquets per hora (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Quin treball fa amb cada paquet?
2. b) Quin treball total fa en una hora?
3. c) Quina potència mitjana desenvolupa?
4. d) El motor del robot és de $500\ \text{W}$, bastant més del que has calculat: raona per què cal aquest marge.

Un repartidor arrossega un carret de paquets en dos trams. En el primer estira la corda, que forma $30^\circ$ amb l'horitzontal, amb una força de $40\ \text{N}$ durant $20\ \text{m}$ ($\cos 30^\circ \approx 0,87$); en el segon, la corda va horitzontal i estira amb $40\ \text{N}$ durant $15\ \text{m}$.

1. a) Calcula el treball a cada tram i el treball total.
2. b) Si inverteix $36\ \text{s}$ en tot el recorregut, quina potència mitjana desenvolupa?

Per carregar una caixa de $60\ \text{kg}$ en un camió, la plataforma del qual està a $1,2\ \text{m}$ de terra, pots pujar-la en vertical o empènyer-la per una rampa de $3\ \text{m}$ de llarg sense fregament (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra les dues opcions.

1. a) Calcula el treball necessari en cada cas i explica per què és el mateix.
2. b) Calcula la força que cal aplicar en cada cas.
3. c) Quin avantatge té la rampa? Quin és el seu «preu»?