Exercicis: Equacions i gràfiques del moviment

La gràfica $x$-$t$ d'un mòbil és una línia horitzontal a $x = 5\ \text{m}$ durant $10\ \text{s}$. Es mostra a la figura.

1. a) Com està el mòbil durant aquest temps?
2. b) Quant val la seva velocitat? Justifica-ho a partir del pendent de la gràfica.

La gràfica $x$-$t$ d'un vianant és una recta que passa pels punts $(0, 2)$ i $(4, 10)$, amb $x$ en metres i $t$ en segons. Es mostra a la figura.

1. a) Calcula el pendent de la recta i indica quina magnitud representa.
2. b) Escriu l'equació de posició del vianant.

La gràfica $v$-$t$ d'un ciclista és una línia horitzontal a $v = 6\ \text{m/s}$ des de $t = 0$ fins a $t = 5\ \text{s}$. Es mostra a la figura.

1. a) Quin tipus de moviment descriu?
2. b) Calcula la distància recorreguda utilitzant l'àrea sota la gràfica.

La gràfica $v$-$t$ d'un cotxe és una recta que uneix els punts $(0, 0)$ i $(4, 12)$, amb $v$ en $\text{m/s}$ i $t$ en segons. Es mostra a la figura.

1. a) Calcula el pendent de la recta i indica quina magnitud representa.
2. b) Quin és el seu valor amb la unitat corresponent?

Completa les frases següents sobre les gràfiques del moviment:

1. a) El pendent d'una gràfica $x$-$t$ representa la $\dots$
2. b) El pendent d'una gràfica $v$-$t$ representa l'$\dots$
3. c) L'àrea sota una gràfica $v$-$t$ representa la $\dots$ recorreguda.

La gràfica $a$-$t$ d'un mòbil és una línia horitzontal a $a = 2\ \text{m/s}^2$ des de $t = 0$ fins a $t = 6\ \text{s}$, com es mostra a la figura.

Si el mòbil parteix del repòs, calcula la seva velocitat al cap de $6\ \text{s}$ utilitzant l'àrea sota la gràfica $a$-$t$.

Un company et mostra dues gràfiques $x$-$t$: en la primera, la posició creix seguint una recta inclinada; en la segona, la posició creix seguint una corba cada vegada més pronunciada. Es mostren a la figura.

1. a) Quina correspon a un moviment uniforme i quina a un d'accelerat?
2. b) Explica, en cada cas, què li passa a la velocitat.

La gràfica $v$-$t$ d'un cotxe és una recta que uneix els punts $(0, 20)$ i $(5, 0)$, amb $v$ en $\text{m/s}$ i $t$ en segons. Es mostra a la figura.

1. a) El cotxe accelera o frena? Justifica-ho.
2. b) Calcula la seva acceleració a partir del pendent.

La gràfica $x$-$t$ d'una excursió a peu té tres trams rectes: de $(0, 0)$ a $(10, 50)$, de $(10, 50)$ a $(15, 50)$ i de $(15, 50)$ a $(25, 0)$, amb $x$ en metres i $t$ en segons. Es mostra a la figura.

1. a) Calcula la velocitat de cada tram.
2. b) Interpreta cada tram: què fan els excursionistes en cadascun?
3. c) Quant dura l'excursió completa?

La gràfica $v$-$t$ d'un cotxe té tres trams: de $(0, 0)$ a $(10, 20)$, de $(10, 20)$ a $(30, 20)$ i de $(30, 20)$ a $(40, 0)$, amb $v$ en $\text{m/s}$ i $t$ en segons. Es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'acceleració de cada tram.
2. b) Calcula la distància recorreguda en cada tram mitjançant les àrees (triangles i rectangle) sota la gràfica.
3. c) Quina és la distància total?

Mesurant la posició d'un carretó de laboratori s'obtenen aquestes dades: a $t = 0\ \text{s}$, $x = 3\ \text{m}$; a $t = 1\ \text{s}$, $x = 5\ \text{m}$; a $t = 2\ \text{s}$, $x = 7\ \text{m}$; a $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Representa els punts en una gràfica $x$-$t$ a la teva llibreta i comprova que estan alineats.
2. b) Dedueix l'equació de posició del carretó.
3. c) Prediu la seva posició quan $t = 10\ \text{s}$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La posició d'un mòbil, en unitats del Sistema Internacional, és $x = 10 - 3 \cdot t$.

1. a) Calcula la seva posició a $t = 0\ \text{s}$, $t = 1\ \text{s}$ i $t = 2\ \text{s}$.
2. b) Descriu la gràfica $x$-$t$: és ascendent o descendent? Què indica el pendent negatiu?
3. c) Calcula en quin instant passa per l'origen, arrodonint a un decimal.

La gràfica $v$-$t$ d'un cotxe és una recta que uneix els punts $(0, 5)$ i $(6, 17)$, amb $v$ en $\text{m/s}$ i $t$ en segons. Es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'acceleració.
2. b) Escriu l'equació de la velocitat i calcula $v$ quan $t = 3\ \text{s}$.
3. c) Calcula la distància recorreguda en els $6\ \text{s}$ dividint l'àrea sota la gràfica en un rectangle i un triangle.

En una gràfica $x$-$t$ conjunta, el mòbil A segueix la recta $x_A = 4 \cdot t$ i el mòbil B la recta $x_B = 20 + t$, en unitats del Sistema Internacional.

1. a) Dibuixa les dues rectes al teu quadern.
2. b) Què significa el punt on es tallen?
3. c) Calcula l'instant i la posició de tall, arrodonits a un decimal.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La gràfica $a$-$t$ d'un mòbil que parteix del repòs és: $a = 3\ \text{m/s}^2$ de $t = 0$ a $t = 4\ \text{s}$, i $a = 0$ de $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$. Es mostra a la figura.

1. a) Calcula la velocitat als $4\ \text{s}$ fent servir l'àrea sota la gràfica $a$-$t$.
2. b) Quina velocitat porta als $10\ \text{s}$? Justifica-ho.
3. c) Dibuixa al teu quadern la gràfica $v$-$t$ corresponent.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La gràfica $v$-$t$ d'una ciclista té tres trams rectes que uneixen els punts $(0, 0)$, $(5, 10)$, $(15, 10)$ i $(20, 0)$, amb $v$ en $\text{m/s}$ i $t$ en segons.

1. a) Descriu amb paraules el que fa la ciclista en cada tram.
2. b) Calcula la distància total recorreguda mitjançant les àrees sota la gràfica.

La gràfica $v$-$t$ d'un tren de metro entre dues estacions és: accelera de $0$ a $15\ \text{m/s}$ en $30\ \text{s}$, manté $15\ \text{m/s}$ durant $60\ \text{s}$ i frena fins a aturar-se en $15\ \text{s}$. Es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'acceleració de cada tram.
2. b) Calcula la distància de cada tram i la distància total entre les estacions.
3. c) Calcula la velocitat mitjana del trajecte, arrodonida a un decimal.

En mesurar la posició d'un carret que baixa per un pla inclinat s'obté: a $t = 0\ \text{s}$, $x = 0\ \text{m}$; a $t = 1\ \text{s}$, $x = 1\ \text{m}$; a $t = 2\ \text{s}$, $x = 4\ \text{m}$; a $t = 3\ \text{s}$, $x = 9\ \text{m}$.

1. a) Comprova que les dades compleixen la relació $x = t^2$ i, comparant-la amb $x = \frac{1}{2} a \cdot t^2$, dedueix l'acceleració del carret.
2. b) Prediu la seva posició quan $t = 5\ \text{s}$.
3. c) Calcula quant avança en cada segon ($0$-$1\ \text{s}$, $1$-$2\ \text{s}$, $2$-$3\ \text{s}$) i explica, a partir d'aquests valors, per què la gràfica $x$-$t$ és una corba i no una recta.

En una mateixa gràfica $v$-$t$, el cotxe A és una línia horitzontal a $v = 20\ \text{m/s}$ i el cotxe B és una recta que surt de l'origen amb acceleració $a = 4\ \text{m/s}^2$, com es mostra a la figura. Tots dos parteixen del mateix punt alhora.

1. a) Calcula l'instant en què les dues línies de la gràfica es creuen.
2. b) Calcula la distància que ha recorregut cada cotxe fins a aquest instant, fent servir les àrees. Estan junts?
3. c) Calcula l'instant en què B atrapa realment A igualant les equacions de posició.
4. d) Explica la diferència entre «encreuament de les gràfiques $v$-$t$» i «atrapament»: què és igual en cada cas?

La gràfica $v$-$t$ d'un mòbil té dos trams: una recta de $(0, 0)$ a $(4, 8)$ i una horitzontal a $v = 8\ \text{m/s}$ de $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$, amb $v$ en $\text{m/s}$.

1. a) Calcula la distància recorreguda en cada tram.
2. b) Calcula la posició a $t = 2\ \text{s}$, $t = 4\ \text{s}$ i $t = 10\ \text{s}$ (pren l'origen com a posició inicial).
3. c) Amb aquests valors, descriu la forma de la gràfica $x$-$t$: quin tram és corb i quin tram és recte? Justifica-ho.

La gràfica $x$-$t$ d'un mòbil és una recta que uneix els punts $(0, 50)$ i $(10, 0)$, amb $x$ en metres i $t$ en segons. Es mostra a la figura.

1. a) Escriu la seva equació de posició.
2. b) Explica què signifiquen la posició inicial i el signe del pendent.
3. c) Calcula la posició quan $t = 14\ \text{s}$ i explica el significat físic del fet que sigui negativa.
4. d) En quin instant es troba a $x = -50\ \text{m}$?

La gràfica $x$-$t$ d'un passeig és: una recta de $(0, 0)$ a $(4, 40)$ i una altra de $(4, 40)$ a $(8, 0)$, amb $x$ en metres i $t$ en segons. Es mostra a la figura.

1. a) Calcula la velocitat de cada tram.
2. b) Calcula la distància total recorreguda i el desplaçament total.
3. c) Calcula la velocitat mitjana (desplaçament entre temps) i la rapidesa mitjana (distància entre temps).
4. d) Explica per què una de les dues surt zero i l'altra no.

Un mòbil parteix del repòs. La seva gràfica $a$-$t$ és: $a = 4\ \text{m/s}^2$ de $t = 0$ a $t = 5\ \text{s}$, i $a = -2\ \text{m/s}^2$ de $t = 5\ \text{s}$ a $t = 15\ \text{s}$. Es mostra a la figura.

1. a) Calcula la velocitat màxima que aconsegueix i en quin instant.
2. b) Calcula la velocitat als $15\ \text{s}$.
3. c) Dibuixa al teu quadern la gràfica $v$-$t$ i calcula la distància total recorreguda mitjançant la seva àrea.
4. d) Descriu amb paraules el moviment complet.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un company dibuixa una gràfica $x$-$t$ en què un tram és una línia vertical i afirma que representa un canvi de posició instantani.

1. a) Explica per què una gràfica $x$-$t$ no pot tenir un tram vertical: què implicaria sobre la posició del mòbil en un mateix instant i sobre la seva velocitat?
2. b) Pel mateix motiu, raona si la gràfica $x$-$t$ pot «retrocedir» cap a l'esquerra en l'eix del temps.
3. c) Dibuixa al teu quadern una gràfica $x$-$t$ correcta per a aquesta situació: una persona surt de casa, s'atura una estona a parlar amb un veí i torna a casa. Justifica la forma de cada tram.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Repte del tema. Dissenya un informe cinemàtic integrant moviments del teu entorn diari:

1. Caiguda lliure: Mesura una alçària fixa ($h \approx 2,00 \pm 0,01\text{ m}$) i cronometra $5$ caigudes d'un objecte petit. Tabula els temps, troba la mitjana i la incertesa ($\bar{t} \pm \Delta t$), calcula experimentalment el valor de $g$ mitjançant $h = \frac{1}{2}gt^2$ i representa la gràfica $y-t$ que prediu el model $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ amb el teu valor de $g$.

2. MRU i frenada (MRUA): Mesura a Google Maps la distància d'un trajecte que acostumis a fer en bici o patinet. Modela un tram intermedi a velocitat constant $v$ (MRU) i una desacceleració final fins a aturar-te amb acceleració $a$ (MRUA). Escriu les seves equacions de moviment $x(t)$ i $v(t)$.

3. Rotació (MCU): Per a les rodes ($R = 0,32\text{ m}$) girant a aquesta velocitat $v$, determina la velocitat angular $\omega$, el període $T$ i l'acceleració centrípeta $a_c$.

Presenta els resultats en un informe breu amb les teves dades, càlculs i gràfiques.

Es valorarà:

• Rigor en la presa de mesures casolanes, estimació de la incertesa i traçat gràfic.

• Correcció en el plantejament de les equacions i unitats del SI per a MRU, MRUA, caiguda lliure i MCU.

• Anàlisi crítica de les possibles fonts d'error i claredat en les conclusions.