Exercicis: Funcions lògiques i disseny de circuits

Les etapes del disseny d'un circuit digital estan desordenades: (a) dibuixar el circuit amb portes, (b) escriure la taula de veritat, (c) llegir l'enunciat i identificar entrades i sortides, (d) escriure la funció lògica, (e) simplificar la funció. Ordena-les i explica amb una frase què es fa en cadascuna.

Explica què representa cada fila d'una taula de veritat i què vol dir que la sortida valgui 1 només en algunes files, basant-te en aquest cas: un pilot s'encén quan hi ha fum (H = 1) i l'alarma està activada (A = 1).

Què és una funció lògica? Llegeix aquestes dues i explica'n el significat amb paraules: $S = A \cdot B$ i $S = A + B$. Quina porta implementa cadascuna?

Un cotxe pita si la porta està oberta (P = 1) i el contacte està tret (C = 1). Identifica les entrades i la sortida del sistema i escriu-ne la funció lògica amb lletres.

Relaciona cada expressió amb la porta que la implementa: $S = A \cdot B$, $S = A + B$ i $S = \overline{A}$. Explica a més què significa la ratlla sobre la lletra en l'última expressió.

Explica què significa simplificar una funció lògica i dona dues raons per les quals convé simplificar abans de muntar el circuit.

Un circuit porta una porta NOT a l'entrada A i després una porta AND que rep aquest senyal i l'entrada B. Escriu la funció lògica del circuit i explica quina situació detecta (quina combinació d'entrades activa la sortida).

La figura resumeix el procés de disseny d'un circuit digital, però hi falta una etapa. Indica quina és i explica què s'obté en acabar-la i d'on surt aquesta informació.

Una alarma de cotxe ha de sonar quan una porta està oberta (P = 1) i la clau està treta del contacte (C = 1). Escriu la taula de veritat completa i, a partir de les files amb sortida 1, escriu la funció lògica.

En una taula de veritat de dues entrades, la sortida S val 1 quan A = 1 i B = 0, i també quan A = 1 i B = 1. Escriu la funció com a suma de productes i raona a quina funció molt més senzilla equival.

La figura mostra un circuit de dues portes i la seva taula de veritat, amb la sortida d'una fila sense completar. Calcula aquest valor analitzant el circuit i escriu la funció lògica del conjunt.

Tres sensors de fum (A, B i C) vigilen una nau i l'alarma ha de saltar quan almenys dos d'ells detecten fum alhora. Escriu la taula de veritat completa del sistema.

La funció $S = A \cdot B + A \cdot \overline{B}$ s'activa si «A i B» o si «A i no B». Explica per què equival simplement a $S = A$ i què s'estalvia en el circuit en adonar-se'n.

En un circuit, A i B entren en una porta AND; C passa per una NOT; els dos resultats entren en una OR que dona S. Escriu la funció lògica i calcula el valor de S per a A = 1, B = 0 i C = 0.

Es vol un avís que soni quan el dipòsit està baix (N = 1) o quan la bomba està parada (B = 1) amb el programador en marxa (M = 1). Escriu la taula de veritat amb les tres entrades i la funció lògica.

Comprova, escrivint les dues taules de veritat, que $S = A \cdot (A + B)$ equival a $S = A$. Explica quina conseqüència pràctica té aquest resultat a l'hora de muntar el circuit.

En el sistema d'ejecció d'emergència d'una càpsula aeroespacial s'utilitzen tres sensors independents de sobrepressió ($A$, $B$ i $C$). Per evitar trets accidentals per la fallada aïllada d'un sensor, el mecanisme d'ejecció ($S = 1$) s'ha d'activar únicament si almenys dos dels tres sensors coincideixen a marcar sobrepressió.

Un informe preliminar proposa la funció simplificada $S = A \cdot B + C$, assegurant que compleix les especificacions amb només dues portes lògiques.

1. a) Refuta formalment la validesa d'aquesta proposta: identifica quina combinació concreta de les entrades provocarà un tret erroni de l'ejecció i explica les conseqüències per a la tripulació.
2. b) Obtén la taula de veritat correcta i dedueix la funció lògica mínima com a suma de productes.
3. c) Dissenya el circuit indicant el tipus i nombre mínim de portes lògiques de 2 entrades necessàries, i prediu com respondria el sistema si el sensor $C$ patís una avaria permanent que el deixés bloquejat en nivell baix ($C = 0$).

Un company ha muntat el circuit combinacional de la figura creient que la sortida $S$ dependria de la combinació de totes dues variables ($A$ i $B$). En comprovar la taula de funcionament al laboratori, sospita que alguna cosa no encaixa.

1. a) Dedueix el valor que falta a la taula per a la combinació $A = 1, B = 0$ i escriu la funció lògica no simplificada que descriu exactament l'esquema de portes de la figura.
2. b) Demostra algebraicament i experimentalment (a partir de la taula) per què una de les dues variables no té influència real sobre la sortida $S$, i indica quina simplificació radical admet aquest circuit a la pràctica.
3. c) Prediu què passaria si intercanvies la posició de totes dues portes lògiques (la AND al lloc de la OR, i la OR al lloc de la AND): canviaria la taula de veritat resultant? Justifica formalment la teva resposta.

El sistema de seguretat d'una nau industrial compta amb tres sensors digitals: obertura de porta ($P = 1$), obertura de finestra ($V = 1$) i interruptor d'armat del sistema ($A = 1$ quan està activada la vigilància). L'alarma ($S = 1$) ha de sonar si s'obre la porta o la finestra, però únicament quan el sistema es trobi armat.

Un instal·lador connecta els sensors segons l'expressió $S = P + V \cdot A$, argumentant que «com que la porta és l'accés principal, ha de tenir connexió directa a l'avisador».

1. a) Identifica amb quina combinació de les entrades fallarà la instal·lació del tècnic i explica el greu problema de seguretat o de falses alarmes que provocarà a la nau.
2. b) Elabora la taula de veritat que modela de manera exacta les especificacions sol·licitades i obtén la funció canònica com a suma de mintermes.
3. c) Simplifica la funció resultant aplicant les propietats de l'àlgebra de Boole i descriu el circuit electrònic òptim indicant quines portes lògiques concretes i quantes entrades requereix cadascuna.

El sistema de reg automàtic d'un parc municipal ($S = 1$ per obrir l'electrovàlvula) respon a la funció lògica $S = A \cdot \overline{B} + C$, on les entrades corresponen a:

• $A$: sensor d'humitat del sòl ($A = 1$ si la terra està eixuta).

• $B$: sensor de previsió meteorològica ($B = 1$ si es preveu pluja en les properes hores).

• $C$: polsador manual del personal de jardineria ($C = 1$ si s'activa el reg forçat).

1. a) Interpreta el significat tècnic de la funció: en quines condicions concretes rega el parc en mode automàtic ($C = 0$)? Justifica per què la variable $B$ ha de figurar negada en l'expressió.
2. b) Dibuixa o descriu la connexió detallada del circuit lògic que implementa aquesta funció indicant quines portes lògiques bàsiques (NOT, AND, OR) es necessiten.
3. c) Si una avaria elèctrica deixa el polsador manual permanentment activat ($C = 1$), prediu què passarà amb el reg i raona si les lectures d'humitat i previsió meteorològica continuaran tenint algun efecte sobre el consum d'aigua.
4. d) Determina què passaria si, per contra, el sensor de pluja pateix un curtcircuit i queda bloquejat a $B = 1$: en quina única situació regarà el parc?

Un grup d'alumnes munta al taller el circuit de seguretat per a l'accionament d'una cisalla motoritzada ($S = 1$ activa el motor). Utilitzen dos senyals: polsador d'home mort ($A = 1$ premut) i barrera fotoelèctrica buidada ($B = 1$). Introdueixen $A$ i $B$ en una porta AND, i porten la sortida d'aquesta a una porta OR juntament amb el propi senyal directe d'$A$. El grup defensa que «la porta OR afegeix un nivell extra de seguretat perquè comprova el polsador dues vegades».

1. a) Escriu la funció lògica que modela el muntatge realitzat i elabora la seva taula de veritat completa.
2. b) Demostra formalment, mitjançant les lleis de l'àlgebra de Boole, quina simplificació radical admet la funció i rebat l'afirmació del grup explicant quins components físics sobren per complet.
3. c) Avalua les conseqüències per a la seguretat laboral: si un operari posa la mà interrompent la barrera fotoelèctrica ($B = 0$) mentre manté premut $A$, s'aturarà el motor de la cisalla? Justifica la teva resposta a partir de l'anàlisi del circuit.

Dues empreses liciten per fabricar en sèrie el sistema d'alarma d'una flota de vehicles ($S = 1$ activa la sirena) a partir de tres senyals: contacte d'encesa apagat ($A = 1$), sensor d'impacte ($B = 1$) i sensor volumètric de cabina ($C = 1$).

• L'empresa Alfa proposa el circuit: $S_1 = A \cdot B + A \cdot C$

• L'empresa Beta proposa el circuit: $S_2 = A \cdot (B + C)$

Un perit de l'asseguradora sosté que el disseny d'Alfa és més fiable perquè «si s'avaria la porta AND que processa el sensor d'impacte $B$, el vehicle continuarà protegit davant del sensor volumètric $C$ gràcies a la segona porta AND independent».

1. a) Demostra algebraicament l'equivalència funcional de tots dos circuits indicant la propietat matemàtica aplicada.
2. b) Avalua de manera crítica l'afirmació del perit: en el circuit de Beta, si fallés el senyal del sensor $B$, deixaria de sonar l'alarma davant del senyal de $C$? Justifica si realment existeix un avantatge real de redundància en la proposta d'Alfa enfront de la de Beta.
3. c) Quantifica el nombre i tipus de portes lògiques de 2 entrades necessàries per a cada disseny i justifica raonadament quin dels dos projectes s'ha de triar per a una producció massiva de vehicles tenint en compte costos de fabricació i nombre de components.

Es vol dissenyar el sistema d'il·luminació intel·ligent d'un passadís comunitari a partir de tres senyals: detector de moviment ($M = 1$), sensor crepuscular de nit ($N = 1$) i interruptor manual de manteniment ($I = 1$). El llum ($L = 1$) s'ha d'encendre automàticament quan sigui de nit i es detecti moviment, o bé en qualsevol moment si s'acciona l'interruptor manual.

1. a) Elabora la taula de veritat del sistema i dedueix la funció lògica simplificada $L(M, N, I)$.
2. b) La comunitat de veïns sol·licita afegir un «mode vacances» mitjançant un interruptor mestre $V$ ($V = 1$ mode vacances actiu). En aquest mode s'ha d'anul·lar completament l'encesa automàtica nocturna per estalviar energia si hi ha corrents d'aire, però l'interruptor manual $I$ ha de continuar encenent el llum per necessitat del personal de seguretat. Dedueix la nova funció $L_{vac}(M, N, I, V)$ justificant la modificació sense necessitat de construir una taula de 16 files.
3. c) En el circuit inicial (sense mode vacances), els veïns avisen que el llum roman encès contínuament les 24 hores del dia sense que ningú premi l'interruptor $I$ ni hi hagi ningú al passadís. Dedueix raonadament quines dues avaries físiques independents en les entrades del circuit podrien estar originant aquesta fallada.

Un estudiant dissenya el sistema d'alarma d'un habitatge combinant dos sensors: contacte magnètic de porta ($A = 1$ si està oberta, $A = 0$ si està tancada) i radar de moviment volumètric ($B = 1$ si detecta presència). Per assegurar-se de cobrir totes les situacions, escriu a la seva memòria tècnica:

«L'alarma ($S = 1$) s'ha de disparar si hi ha moviment amb la porta oberta ($A \cdot B$), i també si hi ha moviment amb la porta tancada ($\overline{A} \cdot B$). Per tant, la funció és $S = A \cdot B + \overline{A} \cdot B$, que implementaré amb dues portes AND, una NOT i una OR».

1. a) Demostra per simplificació algebraica i mitjançant la taula de veritat corresponent quina és la funció lògica mínima real del sistema.
2. b) Explica el significat físic del resultat matemàtic obtingut: aporta el sensor de porta $A$ alguna informació útil per activar la sirena? Quins components del muntatge inicial sobren?
3. c) Prediu què li passaria al sistema de l'estudiant si el sensor de porta $A$ s'espatlla i queda permanentment desconnectat (nivell lògic erroni): deixaria de sonar l'alarma davant d'un intrús o es veuria compromesa la seguretat respecte al circuit simplificat? Justifica la teva resposta.