Exercicis: La llei de la gravitació universal

Dues boles d'acer de $1\ \text{kg}$ cadascuna estan col·locades de manera que els seus centres disten $1\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

Aplica la llei de la gravitació universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, amb $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, i calcula la força amb què s'atreuen. Et sembla una força gran o petita? Comenta-ho.

En la llei de la gravitació universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:

1. a) Indica què representa cada lletra ($F$, $G$, $M$, $m$ i $r$) i en quina unitat es mesura en el Sistema Internacional.
2. b) El valor de $G$ és $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un nombre molt petit. Explica quina conseqüència té això per a la força entre objectes de massa normal.

Dos companys de classe, de $60\ \text{kg}$ i $70\ \text{kg}$ de massa, estan asseguts de manera que els seus cossos disten $1\ \text{m}$ de mitjana. Calcula la força d'atracció gravitatòria entre ells ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) i expressa-la en notació científica.

Dos cossos s'atreuen amb una força $F$, com mostra la gràfica de la força en funció de la distància.

Sense canviar les masses, els allunyem fins que la distància entre ells sigui el doble. Mirant la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, quant valdrà ara la força? Justifica-ho.

Dos asteroides s'atreuen amb una força $F$.

1. a) Si un d'ells tingués el doble de massa, quina seria la nova força?
2. b) I si tots dos tinguessin el doble de massa?

Raona ambdues respostes amb la fórmula de la gravitació universal.

Calcula la força amb què la Terra atrau una persona de $50\ \text{kg}$ situada a la seva superfície, com es mostra a la figura.

Dades: massa de la Terra $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, radi terrestre $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ i $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Compara el resultat amb el seu pes, $P = m\cdot g$ amb $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: què observes?

Un llibre i la prestatgeria on està recolzat s'atreuen gravitatòriament, igual que la Terra i la Lluna. Tanmateix, mai veiem que el llibre es mogui cap a la prestatgeria. Pensant en el valor de $G$, en les masses dels objectes i en la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, explica per què no notem l'atracció gravitatòria entre els objectes quotidians.

Quan et cau un bolígraf, la Terra l'atrau cap avall; però, segons la llei de la gravitació universal, el bolígraf també atrau la Terra amb una força del mateix valor.

1. a) Per què només veiem moure's el bolígraf i no la Terra pujant a la seva trobada?
2. b) Raona-ho tenint en compte les masses d'ambdós cossos i l'acceleració que la mateixa força produeix en cadascun.

Calcula la força d'atracció gravitatòria entre la Terra i la Lluna, com es mostra a la figura.

Dades: massa de la Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa de la Lluna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distància mitjana entre els seus centres $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ i $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Expressa el resultat en notació científica, arrodonint a dues xifres decimals.

El Sol manté la Terra en òrbita atraient-la. Calcula aquesta força amb les dades següents: massa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa de la Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distància mitjana entre els seus centres $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ i $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Després, compara el resultat amb la força Terra–Lluna, d'uns $2\cdot10^{20}\ \text{N}$: quantes vegades més gran és?

Dos petroliers bessons, de $10^{6}\ \text{kg}$ de massa cadascun, fondegen amb els seus centres de massa separats $100\ \text{m}$.

1. a) Calcula la força gravitatòria amb què s'atreuen ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara aquesta força amb la que fa falta per arrossegar un full de paper per la taula, de l'ordre de $0,01\ \text{N}$. Notaran els vaixells aquesta atracció? Justifica-ho.

Dos cossos s'atreuen amb una força $F$.

1. a) Si la distància entre ells es triplica, en quin factor canvia la força?
2. b) Si, a més de triplicar la distància, es duplica cadascuna de les dues masses, en quin factor canvia la força total?

Justifica cada apartat amb la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.

Un satèl·lit geoestacionari de $1000\ \text{kg}$ orbita a una distància del centre de la Terra de $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la força amb què la Terra l'atrau (massa de la Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara aquesta força amb el pes del satèl·lit quan era a la superfície, $P = m\cdot g$ amb $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: quantes vegades menor és, aproximadament?

Dues esferes metàl·liques idèntiques, col·locades amb els seus centres a $2\ \text{m}$ de distància, s'atreuen amb una força de $6,67\cdot10^{-5}\ \text{N}$.

1. a) Escriu la llei de la gravitació universal anomenant $m$ a la massa de cada esfera (totes dues són iguals!).
2. b) Aïlla $m$ de la fórmula i calcula la massa de cada esfera ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).

Un satèl·lit de $500\ \text{kg}$ és a la superfície de la Terra, on el planeta l'atrau amb una força de $4900\ \text{N}$, com es mostra a la figura.

1. a) Raonant amb el factor $\frac{1}{r^2}$ de la llei de gravitació, amb quina força l'atraurà la Terra quan orbiti a una distància del centre del planeta igual al doble del radi terrestre?
2. b) Si el radi de la Terra és $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, a quina alçada sobre la superfície estarà aleshores el satèl·lit?

Calcula la força gravitatòria entre una persona de $80\ \text{kg}$ i un camió de $5000\ \text{kg}$ aparcat a $10\ \text{m}$ de distància ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$). Després, calcula el pes d'un mosquit de $2\ \text{mg}$ de massa ($P = m\cdot g$, amb $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; compte amb les unitats) i compara ambdues forces. Quina conclusió treus sobre l'atracció gravitatòria entre objectes quotidians?

Deduirem el valor de $g$ a la superfície de la Terra a partir de la llei de la gravitació universal.

1. a) Escriu la força que la Terra exerceix sobre un cos de massa $m$ de dues maneres: com a $F = m\cdot g$ i com a $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Iguala les dues expressions, simplifica la massa $m$ i aïlla $g$.
3. c) Calcula el seu valor amb $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ i $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Quin valor tan conegut obtens?

Dues masses fixes, de $100\ \text{kg}$ i $400\ \text{kg}$, estan separades $3\ \text{m}$. Volem col·locar una tercera massa a la línia que les uneix, entre totes dues, de manera que la força gravitatòria neta sobre ella sigui zero, com es mostra a la figura.

1. a) Si $x$ és la distància de la tercera massa a la de $100\ \text{kg}$, escriu la igualtat entre les dues forces que actuen sobre ella.
2. b) Resol l'equació i calcula $x$ (pista: simplifica primer $G$ i la tercera massa, i després pren arrels quadrades).
3. c) Depèn el resultat del valor de la tercera massa? I de $G$? Comenta-ho.

A quina distància del centre de la Terra la força gravitatòria sobre un cos es redueix a la meitat de la que sent a la superfície?

1. a) Planteja la igualtat utilitzant que la força disminueix amb $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Aïlla $r$ en funció del radi terrestre $R_T$ (t'apareixerà un $\sqrt{2}$).
3. c) Amb $R_T = 6370\ \text{km}$, calcula a quina alçada sobre la superfície cal pujar, en quilòmetres. Creus que un avió comercial, que vola a uns $10\ \text{km}$ d'alçada, nota aquesta disminució? Raona la resposta.

El Sol atrau la Lluna, i també ho fa la Terra. Calcula les dues forces sobre la Lluna amb aquestes dades: massa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa de la Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, massa de la Lluna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distància Sol–Lluna $\approx 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, distància Terra–Lluna $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ i $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Quantes vegades més gran és l'atracció del Sol sobre la Lluna que la de la Terra?
2. b) Si el Sol estira la Lluna amb més força, per què la Lluna continua girant al voltant de la Terra en lloc de sortir cap al Sol? Pista: pensa quins altres cossos atrau també el Sol al mateix temps.

Un exoplaneta rocós té el quàdruple de massa que la Terra i el doble de radi, com es mostra a la figura.

1. a) Utilitzant $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, raona en quin factor canvia la gravetat a la seva superfície respecte de la terrestre.
2. b) Quant pesaria allà una astronauta de $60\ \text{kg}$ (pren la gravetat terrestre com a $9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) I si el planeta tingués el quàdruple de massa però el mateix radi que la Terra? Calcula el nou pes de l'astronauta.

Newton va comprovar la seva llei comparant la caiguda dels objectes a la superfície amb el moviment de la Lluna.

1. a) Calcula la força que la Terra exerceix sobre un cos de $1\ \text{kg}$ a la seva superfície ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula la força que exerciria sobre aquest mateix cos si estigués a la distància de la Lluna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Comprova que la segona força és unes $3600$ vegades menor i relaciona aquest nombre amb el quocient entre les dues distàncies, que és d'uns $60$. Quina llei queda confirmada?

Imagina que la Terra es comprimís fins a quedar-se amb la meitat de radi, conservant tota la seva massa.

1. a) Raonant amb $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, en quin factor canviaria la gravetat a la seva superfície?
2. b) Quant pesaria aleshores una persona de $70\ \text{kg}$? (Pren la $g$ actual com a $9,8\ \text{m/s}^2$.)
3. c) Comenta una conseqüència que tindria aquest canvi per a la vida en aquest món.

Una nau viatja en línia recta de la Terra a la Lluna. Hi ha un punt del trajecte en què les atraccions gravitatòries de totes dues es compensen, com es mostra a la figura.

1. a) Si $x$ és la distància de la nau al centre de la Terra, planteja la igualtat entre les forces que la Terra i la Lluna exerceixen sobre la nau (distància Terra–Lluna: $3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$).
2. b) Comprova numèricament que la igualtat es compleix per a $x \approx 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$.
3. c) Aquest punt està a un $90\ \%$ del camí total. Explica, pensant en les masses de la Terra i de la Lluna, per què està tan a prop d'aquesta.