Exercicis: Estabilitat i càlcul

Enuncia les dues condicions d'equilibri estàtic d'un sòlid rígid en el pla ($\sum F = 0$ i $\sum M = 0$) i explica amb les teves paraules què garanteix cadascuna: quin moviment impedeix la primera i quin la segona.

Explica la diferència entre un suport fix (encastament), un suport articulat i un suport mòbil (rodet): quins moviments permet cadascun i quines reaccions pot donar. Posa un exemple real de cadascun en construcció.

La figura mostra una gelosia triangular de $6\ \text{m}$ de llum amb una càrrega de $900\ \text{N}$ aplicada a $2\ \text{m}$ del suport A. Calcula les reaccions $R_A$ i $R_B$ als suports aplicant les condicions d'equilibri, i comprova que la suma de forces verticals és nul·la.

Explica quina relació hi ha entre el centre de gravetat d'un cos i la seva estabilitat davant del bolcament: per què una furgoneta alta bolca abans que un esportiu baix en el mateix revolt i quin paper juga l'amplada de la base de sustentació.

Defineix el moment d'una força respecte d'un punt ($M = F \cdot d$) explicant què és el braç de palanca $d$, i indica les seves unitats en el Sistema Internacional. Quan és nul el moment d'una força encara que la força no sigui zero?

Per afluixar una femella s'aplica una força de $150\ \text{N}$ al final d'una clau de $0{,}25\ \text{m}$, perpendicular a la clau. Calcula el moment aplicat i explica per què amb un tub allargador de $0{,}5\ \text{m}$ s'aconsegueix afluixar-la amb la meitat de força.

En una biga amb un suport articulat i un suport mòbil, explica per què el suport mòbil només dóna reacció vertical: quin moviment horitzontal allibera i què passaria si tots dos suports fossin articulats i la biga es dilatés per calor.

Les barres d'una gelosia es modelen com a articulades als nusos. Explica què implica aquesta hipòtesi (les barres només transmeten esforç axial, no moments) i per què simplifica el càlcul de tota l'estructura.

Una biga de $4\ \text{m}$ està recolzada als seus extrems A i B i suporta una càrrega de $1\,200\ \text{N}$ al seu punt mitjà. Sense fer números encara, raona per simetria quant valdran les reaccions; després calcula-les formalment amb $\sum M_A = 0$ i $\sum F_y = 0$ i comprova que coincideixen amb la teva predicció.

Una biga de $4\ \text{m}$ recolzada als seus extrems A i B rep dues càrregues: $800\ \text{N}$ a $1\ \text{m}$ d'A i $400\ \text{N}$ a $3\ \text{m}$ d'A. Calcula les reaccions als suports i explica per què $R_A$ surt més gran que $R_B$ encara que la càrrega total es reparteixi entre tots dos.

Un cartell de $30\ \text{kg}$ penja de l'extrem d'un braç horitzontal de $1{,}5\ \text{m}$ encastat a la paret. a) Calcula el moment que el pes del cartell produeix a l'encastament (pren $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). b) Explica quines reaccions (força i moment) ha de donar la paret per mantenir l'equilibri. c) Raona per què el braç se sol reforçar amb un tirant inclinat.

Una biga de $5\ \text{m}$, recolzada als seus extrems, suporta una càrrega uniformement distribuïda de $400\ \text{N/m}$, com es mostra a la figura. a) Substitueix la càrrega distribuïda per la seva resultant puntual equivalent (valor i punt d'aplicació). b) Calcula les reaccions als suports. c) Comenta per què, per simetria, el resultat es podia preveure sense càlcul.

Un balancí de $4\ \text{m}$ està recolzat al seu centre. Una nena de $30\ \text{kg}$ s'asseu a $1{,}5\ \text{m}$ de l'eix. a) Calcula el moment que produeix (pren $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). b) A quina distància de l'eix s'ha d'asseure el seu germà de $45\ \text{kg}$ per equilibrar-lo? c) Explica què passa si el germà s'apropa a l'eix.

Un prestatge de $1{,}2\ \text{m}$ descansa sobre dues esquadres situades una a cada extrem, i suporta una caixa de $20\ \text{kg}$ col·locada a $0{,}3\ \text{m}$ de l'esquadra esquerra. Calcula la càrrega que suporta cada esquadra (pren $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$) i raona cap a on cal moure la caixa per equilibrar totes dues esquadres.

Una força de $500\ \text{N}$ estira d'un ancoratge formant $30^\circ$ amb l'horitzontal. Calcula les seves components horitzontal i vertical i el moment que produeix respecte d'un punt situat $2\ \text{m}$ per sota de l'ancoratge (considera només la component horitzontal, que és la que gira respecte a aquest punt). Explica per què descompondre és imprescindible quan la força no és perpendicular.

Una grua giratòria de taller té una columna amb braç de $2\ \text{m}$ i carrega fins a $250\ \text{kg}$ a l'extrem. a) Calcula el moment a la base de la columna (pren $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). b) Explica quins dos sistemes fan servir aquestes grues per resistir aquest moment (ancoratge de la base i contrapès o mènsula superior) i quina comprovació faries sobre els cargols de l'ancoratge.

Una nau industrial utilitza encavallades simètriques de $12\ \text{m}$ de llum i $3\ \text{m}$ de cantell al carener. A l'hivern suporta una sobrecàrrega de neu descendent de $12\ \text{kN}$ distribuïda en els nusos superiors, mentre que en un temporal de vent pateix una força de succió ascendent neta de $18\ \text{kN}$. Analitza el comportament de les diagonals centrals: a) Determina el signe de l'esforç (tracció o compressió) en aquestes diagonals sota ambdues hipòtesis de càrrega. b) Justifica per què la fallada catastròfica per inestabilitat elàstica (vinclament) és molt més probable durant el temporal de vent que durant la nevada, encara que la magnitud de la càrrega sigui similar, i proposa una modificació de disseny en la gelosia per evitar-ho sense augmentar la secció d'acer.

Un equip tècnic ha dissenyat l'estructura articulada de suport per a uns panells solars formada per quatre nusos coplanaris disposats en quadrilàter. Per rigiditzar-la, un operari ha col·locat dos tensors de cable d'acer fins a totes dues diagonals. a) Aplica la condició de rigidesa estàtica per a gelosies planes ($b = 2n - 3$) i discuteix si l'estructura és isostàtica, hiperestàtica o un mecanisme. b) Sabent que els cables només admeten tracció i col·lapsen a compressió per vinclament immediat, prediu quin tensor entrarà en càrrega i quin quedarà destensat segons actuï vent d'esquerra o de dreta. c) Rebat l'afirmació d'un company que diu: «Podem substituir els dos cables per una sola barra rígida d'acer per estalviar peces, i l'estructura suportarà el vent en ambdues direccions sense problemes». Justifica què passaria amb aquesta barra sota cada sentit del vent.

Una grua pòrtic de taller té una massa de $1\,200\ \text{kg}$ (el centre de gravetat de la qual se situa en el seu eix de simetria), una llum entre suports de $4\ \text{m}$ i una alçària de $3{,}5\ \text{m}$. La grua disposa d'un voladís de $1{,}2\ \text{m}$ cap a l'exterior en un dels seus costats per carregar camions. El carro transporta una càrrega suspesa de $800\ \text{kg}$ a l'extrem d'aquest voladís ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). a) Demostra si la grua és estable enfront de la bolcada quan la càrrega està a l'extrem del voladís i calcula el coeficient de seguretat a la bolcada ($C_s = M_{\text{estabilitzador}} / M_{\text{bolcada}}$). b) Un operari proposa dues opcions per elevar el coeficient de seguretat a un mínim de $1{,}8$: afegir un contrapès a la pota oposada o eixamplar la distància entre suports a $5\ \text{m}$. Determina la massa mínima del contrapès requerida en la primera opció i raona quina de les dues solucions resulta més adequada tècnicament i funcionalment en un taller amb espai limitat.

Una encavallada simètrica per a un pont de vianants de $8\ \text{m}$ de llum i $2\ \text{m}$ de cantell està formada per quatre mòduls quadrats de $2\ \text{m} \times 2\ \text{m}$ amb diagonals a $45^\circ$. Suporta una càrrega puntual vertical de $12\ \text{kN}$ transmesa per una plataforma en el nus inferior situat a $2\ \text{m}$ del suport esquerre (suport simple). a) Determina les reaccions als suports. b) Utilitzant el mètode de les seccions (Ritter), calcula l'esforç axial al cordó superior central i a la diagonal més propera al suport esquerre. c) Si el cordó superior treballa a compressió i la diagonal a tracció, justifica per què el cordó superior requereix un perfil amb més moment d'inèrcia que la diagonal, malgrat que el valor absolut de l'esforç axial sigui comparable, indicant el fenomen tensional que condiciona el seu dimensionament.

Una prestatgeria autoportant de $3\ \text{m}$ d'alçària i $0{,}8\ \text{m}$ de profunditat té una massa pròpia de $50\ \text{kg}$ (c.d.g. al seu centre geomètric). S'emmagatzemen palets de $200\ \text{kg}$ a la balda superior ($h = 2{,}8\ \text{m}$). El coeficient de fregament estàtic amb el terra de formigó és $\mu = 0{,}35$. Un carretó colpeja accidentalment la prestatgeria a mitja alçària ($h = 1{,}5\ \text{m}$) amb una força horitzontal $F_h$. Pren $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$. a) Determina analíticament què passarà primer a mesura que augmenti $F_h$: la prestatgeria lliscarà o bolcarà? Calcula el valor crític de $F_h$ per a cada mode de fallada. b) Si s'ancora la base posterior de la prestatgeria al terra amb perns d'expansió, prediu com canvia el mode de fallada i calcula la força de tracció que ha de suportar cadascun dels dos perns posteriors per resistir una empenta horitzontal accidental de $1\,500\ \text{N}$ a la part superior ($h = 3\ \text{m}$).

Una marquesina publicitària de $60\ \text{kg}$ està suportada per una biga horitzontal de $2\ \text{m}$ articulada a la paret i un tirant de cable d'acer que uneix l'extrem exterior de la biga amb un punt de la paret a una alçària $h$ sobre l'articulació ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). a) Expressa la tensió del tirant $T(h)$ i la força de compressió sobre la biga $N(h)$ en funció de l'alçària d'ancoratge $h$. b) Interpreta què els passa asimptòticament a tots dos esforços si per limitacions d'espai es redueix l'alçària $h$ cap a zero ($h \to 0$), i explica per què un angle petit entre tirant i biga resulta inviable estructuralment. c) Si el cable disponible suporta una tensió admissible màxima de $1\,200\ \text{N}$, calcula l'alçària mínima $h_{\text{mín}}$ a la qual es pot fixar el tirant a la paret sense perill de trencament.

En l'estructura d'un edifici, un pilar central suporta un axil de $600\ \text{kN}$ i un pilar perimetral contigu suporta $250\ \text{kN}$. L'estudi geotècnic determina que la tensió admissible del terreny és $\sigma_{\text{adm}} = 0{,}25\ \text{MPa}$ ($250\ \text{kN/m}^2$). Un contractista proposa executar dues sabates aïllades quadrades idèntiques d'$1{,}8\ \text{m} \times 1{,}8\ \text{m}$ sota tots dos pilars per agilitzar l'obra. a) Avalua quantitativament si la proposta compleix amb la tensió admissible en tots dos suports. b) Justifica per què la proposta del contractista, fins i tot si totes dues pressions estiguessin per sota del límit, generaria un greu risc de patologia per assentaments diferencials entre pilars adjacents. c) Dissenya les dimensions en planta ($a \times a$) de cada sabata perquè la pressió transmesa al terra sigui homogènia i igual al $80\,\%$ de la tensió admissible del terreny.

Una porteria reglamentària de futbol sala ($3\ \text{m}$ d'amplada, $2\ \text{m}$ d'alçària i $1\ \text{m}$ de fons a la base inferior) té una massa total de $45\ \text{kg}$, amb el seu centre de gravetat situat a $0{,}35\ \text{m}$ per darrere del pla frontal de la porteria. Un jugador de $75\ \text{kg}$ es penja del centre del travesser, situant el seu centre de gravetat a $0{,}3\ \text{m}$ per davant del pla frontal de la porteria ($g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$). a) Demostra matemàticament que la porteria bolcarà calculant el balanç de moments respecte a l'eix de bolcada frontal. b) Es decideix estabilitzar-la mitjançant un llast col·locat a la barra horitzontal posterior de la base (a $1\ \text{m}$ del front). Calcula la massa mínima del llast per garantir un coeficient de seguretat a la bolcada $C_s \ge 1{,}5$. c) Una empresa proposa substituir el llast per un perllongament horitzontal de la base cap endavant. Determina quina longitud hauria de tenir aquest perllongament per assolir el mateix coeficient de seguretat ($C_s \ge 1{,}5$) sense afegir cap pes addicional.