Exercicis: Operacions amb matrius; multiplicació; potència

Donades les dimensions de les matrius següents:

• $A$ és una matriu d'ordre $2 \times 3$

• $B$ és una matriu d'ordre $3 \times 4$

• $C$ és una matriu d'ordre $4 \times 2$

Indica raonadament quins dels productes següents es poden realitzar i, en cas afirmatiu, especifica la dimensió de la matriu resultant:

1. a) $A \cdot B$
2. b) $B \cdot A$
3. c) $(A \cdot B) \cdot C$

Calcula el producte de les matrius $A$ i $B$ en l'ordre $A \cdot B$, sent:

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$

Una plataforma de streaming analitza el consum de dos usuaris durant el cap de setmana. La matriu $C$ representa les hores de sèries i pel·lícules consumides el dissabte (fila 1) i el diumenge (fila 2):

$C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$

Si el cost per hora de manteniment dels servidors per a sèries és de $0,5$ € i per a pel·lícules de $0,8$ €, representats per la matriu columna $P = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 0,8 \end{pmatrix}$, calcula el producte $C \cdot P$ i interpreta el significat dels elements de la matriu resultant.

Donada la matriu $M = \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ -3 & 7 \end{pmatrix}$, comprova que es compleix la propietat de l'element neutre realitzant les operacions:

1. a) $M \cdot I_2$
2. b) $I_2 \cdot M$

On $I_2$ és la matriu identitat d'ordre 2.

Sigui la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula les potències $A^2$ i $A^3$.

1. b) A la vista del resultat, podries deduir quina seria l'expressió de $A^n$ per a qualsevol nombre natural $n$?

Determina el valor del nombre real $x$ perquè es verifiqui la igualtat matricial següent:

$\begin{pmatrix} 1 & x \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$

Una botiga en línia d'accessoris informàtics registra la comanda d'un client: 3 ratolins sense fil a $12\ \text{€}$ cadascun, 5 cables USB-C a $6\ \text{€}$ cadascun i 2 suports de portàtil a $25\ \text{€}$ cadascun.

Representa les quantitats com una matriu fila $Q = (3 \quad 5 \quad 2)$ i els preus unitaris com una matriu columna $P$. Calcula el producte $Q \cdot P$ per obtenir l'import total de la comanda.

Donades les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, demostra que el producte de matrius no és commutatiu calculant:

1. a) $A \cdot B$
2. b) $B \cdot A$

Compara tots dos resultats.

En un examen de Matemàtiques II, l'Alejandro ha de calcular la matriu $(A+B)^2$, on $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. L'Alejandro fa el desenvolupament següent: «Com que $(A+B)^2 = A^2 + 2 \cdot A \cdot B + B^2$, calculo per separat $A^2$, $B^2$ i $2 \cdot A \cdot B$ i després els sumo».\na) Aplica la propietat distributiva per desenvolupar el producte $(A+B) \cdot (A+B)$ pas a pas i assenyala amb precisió l'error algebraic comès per l'Alejandro. Quina condició exacta haurien de verificar les matrius $A$ i $B$ perquè la fórmula que ha fet servir fos correcta?\nb) Comprova si les matrius $A$ i $B$ de l'enunciat compleixen aquesta condició i calcula el resultat correcte de $(A+B)^2$.

Donades les matrius $A = \begin{pmatrix} 10 & -1 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$:\na) Abans de fer cap càlcul per escrit:\n 1. Justifica quina dimensió tindrà la matriu producte $C = A \cdot B$.\n 2. Estima raonadament el signe i l'ordre de magnitud de l'element $c_{11}$ (esperes un valor proper a 0, al voltant de 40 o negatiu?). Justifica la teva estimació mental.\n 3. Observant únicament la segona fila de $A$ i la primera columna de $B$, anticipa el valor exacte de $c_{21}$ sense calcular la resta de la matriu i explica per què el zero facilita aquest càlcul immediat.\nb) Fes la multiplicació $C = A \cdot B$ pas a pas i comprova si les teves estimacions prèvies han estat encertades, explicant les possibles discrepàncies si n'hi hagués.

En una competició d'esports electrònics (eSports), la matriu $A$ recull la puntuació de dos equips (files) en tres jocs diferents (columnes). La matriu $B$ indica, per a cada joc (files), els punts de bonificació de dos tipus (columnes): la primera columna són els punts per victòria i la segona, els punts per consistència.

Donades les matrius:

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$

1. a) Calcula el producte $C = A \cdot B$.

1. b) Interpreta què representa l'element $c_{11}$ de $C$ tenint en compte que les files d'$A$ són els equips, les columnes d'$A$ i les files de $B$ són els jocs, i les columnes de $B$ són els tipus de bonificació (punts per victòria i punts per consistència).

Determina els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè les matrius següents $M$ i $N$ commutin, és a dir, que es compleixi la igualtat $M \cdot N = N \cdot M$:

$M = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $N = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & b \end{pmatrix}$

La xarxa de rodalies d'una ciutat connecta tres estacions ($A$, $B$ i $C$). La matriu d'adjacència $G$ representa els enllaços directes entre les estacions (on $g_{ij} = 1$ si hi ha enllaç directe de l'estació $i$ a la $j$):

$G = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Calcula $G^2$ i $G^3$. Explica, basant-te en el significat del producte de matrius d'adjacència, quantes formes diferents hi ha de viatjar des de l'estació $A$ fins a l'estació $B$ realitzant exactament dos transbords (és a dir, en 3 trajectes).

Donada la matriu quadrada $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$.
2. b) Basant-te en els resultats anteriors, conjectura una fórmula general per a $A^n$ on $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Demostra la fórmula obtinguda utilitzant el mètode d'inducció matemàtica.

Sigui la matriu $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula $M^2$. Com es diu aquest tipus de matrius?
2. b) Utilitza el resultat anterior per trobar, de forma raonada i sense realitzar multiplicacions llargues, el valor de la potència $M^{2025}$.

Donades les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula $(A+B)^2$.
2. b) Calcula $A^2 + 2AB + B^2$.
3. c) Compara tots dos resultats i justifica per què, en l'àlgebra de matrius, la identitat notable del binomi al quadrat no es compleix de forma general. Quina condició s'hauria de complir perquè fos certa?

Troba la matriu $X$ que satisfà la següent equació polinòmica matricial:

$X = A^2 - 5A + 2I$

Sent $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ i $I$ la matriu identitat d'ordre 2.

Si $A$ és una matriu quadrada d'ordre 3 tal que verifica la relació $A^2 - A + I = O$, on $I$ és la matriu identitat i $O$ és la matriu nul·la:

1. a) Expressa $A^3$ com una combinació lineal de $A$ i $I$.
2. b) Expressa $A^4$ en funció de $A$ i $I$.
3. c) Si $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, comprova si es compleix la condició inicial.

Una empresa logística de paqueteria urgent que opera a la península Ibèrica analitza els enviaments fets entre tres dels seus centres logístics principals: Madrid (1), Barcelona (2) i Sevilla (3).\n- La matriu $E$ representa el nombre de furgonetes enviades durant un dia entre aquests centres, on la fila $i$ indica el centre d'origen i la columna $j$ el centre de destinació:\n$$E = \begin{pmatrix} 0 & 12 & 8 \\ 10 & 0 & 5 \\ 9 & 6 & 0 \end{pmatrix}$$\n- La matriu $C$ detalla el consum mitjà de combustible en litres per trajecte (columna 1) i el temps mitjà en hores per trajecte (columna 2) segons la ciutat de destinació (files: 1 cap a Madrid, 2 cap a Barcelona, 3 cap a Sevilla):\n$$C = \begin{pmatrix} 45 & 5,5 \\ 55 & 6,0 \\ 40 & 4,5 \end{pmatrix}$$\na) Justifica per què té sentit matemàtic i operatiu fer el producte $P = E \cdot C$, indicant la dimensió de la matriu resultant $P$.\nb) Fes el producte $P = E \cdot C$ i interpreta quina informació real aporten els elements $p_{11}$ i $p_{32}$ per al responsable de logística.\nc) Si el preu mitjà del gasoil professional és d'$1,40$ €/litre, escriu l'operació matricial que permet obtenir la despesa diària total en combustible de les furgonetes que surten des del centre de Madrid i calcula'n l'import.

Donada la matriu quadrada $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$:\na) Planteja una matriu genèrica $B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}$ i obtén el sistema d'equacions que han de complir els seus elements perquè commuti amb $A$, és a dir, perquè $A \cdot B = B \cdot A$.\nb) Escriu la forma general de totes les matrius $B$ que commuten amb $A$ en funció del menor nombre possible de paràmetres lliures.\nc) Troba una matriu concreta $B$, que no sigui la matriu nul·la ni un múltiple escalar de la identitat $I$, que commuti amb $A$ i la traça de la qual (suma dels elements de la diagonal principal) sigui igual a 10.\nd) Comprova amb la matriu trobada a l'apartat c) que efectivament es verifica la igualtat $A \cdot B = B \cdot A$.

Donada la matriu quadrada d'ordre 3:

Calcula les potències $A^2$, $A^3$ i $A^4$. A partir dels resultats obtinguts, conjectura una fórmula general per a l'expressió de $A^n$ en funció de $n \in \mathbb{N}$ i demostra-la mitjançant el mètode d'inducció matemàtica.

En el desenvolupament d'un nou motor per a drons, un equip d'enginyers utilitza una matriu de transferència $M$ que relaciona les vibracions en tres punts estructurals. La matriu ve donada per:

on $a$ i $b$ són paràmetres reals no nuls.

1. a) Demostra que la matriu $M$ és nilpotent i determina el seu índex de nilpotència (el menor exponent $k$ tal que $M^k = O$).
2. b) Utilitza el resultat anterior per calcular de forma simplificada la matriu $S = I + M + M^2 + M^3 + \dots + M^{100}$, sent $I$ la matriu identitat d'ordre 3.

Una xarxa social analitza la difusió d'un contingut "viral" entre quatre grups d'usuaris ($G_1, G_2, G_3, G_4$). La probabilitat que un usuari del grup $i$ comparteixi el contingut amb el grup $j$ en una hora ve donada per la matriu d'adjacència ponderada $A$:

Si la matriu de transició és $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$. Interpreta què significa l'element $a_{11}$ de la matriu $A^4$ en el context de la difusió d'informació.
2. b) Determina la matriu $B = A + A^2 + A^3 + A^4$. Què representa aquesta matriu respecte a les connexions entre els grups?

Sigui $M$ una matriu quadrada d'ordre 2 que verifica l'equació polinòmica $M^2 - 5M + 6I = O$, on $I$ és la matriu identitat i $O$ és la matriu nul·la.

1. a) Si $M = \begin{pmatrix} 4 & x \\ 2 & y \end{pmatrix}$, troba els valors de $x$ i $y$ perquè es compleixi l'equació.
2. b) Utilitzant únicament la relació $M^2 = 5M - 6I$, expressa la matriu $M^4$ com una combinació lineal de $M$ i $I$ (és a dir, troba els escalars $\alpha$ i $\beta$ tals que $M^4 = \alpha M + \beta I$).

Considera el conjunt de matrius de la forma $A(x) = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{pmatrix}$, que representen girs d'angle $x$ en el pla.

1. a) Demostra raonadament que el producte de dues matrius d'aquest tipus compleix la propietat $A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$.
2. b) Basant-te en l'apartat anterior, troba l'expressió de $[A(x)]^n$ per a qualsevol $n \in \mathbb{N}$.
3. c) Determina els valors de $x \in [0, 2\pi)$ per als quals $[A(x)]^3 = I$.

Donades les matrius $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$:

1. a) Calcula els productes $AB$ i $BA$. Són commutables les matrius $A$ i $B$?
2. b) Calcula $(AB)^2$ i $A^2B^2$. Justifica per què els resultats són diferents a partir de les propietats del producte de matrius.
3. c) Troba la traça de la matriu $C = B^{30}$.

Un centre logístic d'Amazon utilitza una matriu $P$ per organitzar el flux de paquets entre tres molls de càrrega. La matriu de flux és $P = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 \\ 1/4 & 0 & 3/4 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}$.

Es diu que una matriu és estocàstica si la suma dels elements de cadascuna de les seves files és igual a 1.

1. a) Comprova que $P$ és una matriu estocàstica.
2. b) Demostra que el producte de dues matrius estocàstiques d'ordre 3 és també una matriu estocàstica.
3. c) Calcula $P^2$ i verifica si manté aquesta propietat.

Sigui la matriu $A = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 1 & k \end{pmatrix}$ amb $k \in \mathbb{R}$.

1. a) Calcula $A^2$, $A^3$ i $A^4$.

1. b) Determina l'expressió general de $A^n$.

1. c) En un sistema de computació quàntica, es requereix que una matriu d'operació compleixi que la suma de tots els seus elements sigui igual a 81 després de 3 iteracions (és a dir, a $A^3$). Si $k > 0$, determina el valor del paràmetre $k$ perquè això passi.

Per calcular la potència $n$-èsima de la matriu $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$ per a qualsevol $n \in \mathbb{N}$, dos estudiants proposen camins diferents:\n- Mètode 1 (Inducció i regularitat): La Lucía proposa calcular $A^2$, $A^3$ i $A^4$, deduir un patró posicional i conjecturar la fórmula general d'$A^n$.\n- Mètode 2 (Descomposició en matriu nilpotent): En Sergio descompon la matriu com a $A = I + N$, on $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ i $N = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}$, argumentant que si $N^2 = O$, la fórmula del binomi de Newton col·lapsa a només dos termes.\na) Desenvolupa el Mètode 2: comprova que $N^2 = O$, justifica detalladament per què és lícit aplicar el binomi de Newton al binomi $(I + N)^n$ (indicant quina propietat han de complir $I$ i $N$) i obtén l'expressió general d'$A^n$ en funció de $n$.\nb) Aplica el Mètode 1 calculant $A^2$ i $A^3$, i verifica que els resultats coincideixen amb la fórmula deduïda a l'apartat anterior.\nc) Avalua críticament tots dos mètodes: quin dels dos proporciona una justificació deductiva completa sense dependre de conjectures empíriques? Com faries servir el Mètode 2 per calcular de manera immediata $A^{2025}$?

Una matriu quadrada $M$ es diu que és idempotent si verifica que $M^2 = M$.\na) Demostra mitjançant inducció o aplicant reiteradament la propietat associativa del producte matricial que si $M^2 = M$, aleshores $M^n = M$ per a qualsevol nombre natural $n \ge 1$.\nb) Si $A$ és una matriu idempotent i es defineix la matriu $B = I - A$ (on $I$ és la matriu identitat del mateix ordre):\n 1. Demostra algebraicament que $B$ també és idempotent ($B^2 = B$).\n 2. Demostra que $A \cdot B = B \cdot A = O$, on $O$ és la matriu nul·la.\n 3. Explica quina conseqüència teòrica fonamental té aquest resultat sobre l'existència de divisors de zero en l'àlgebra de matrius respecte a l'àlgebra dels nombres reals.\nc) Construeix una matriu concreta $A$ d'ordre $2 \times 2$ que sigui idempotent ($A^2 = A$), no trivial ($A \ne I$ i $A \ne O$) i tal que cap dels seus quatre elements sigui igual a 0. Mostra la deducció algebraica dels seus elements i comprova explícitament mitjançant el producte que la teva matriu verifica $A^2 = A$.