Exercicis: Satèl·lits i cossos celestes

L'Estació Espacial Internacional (ISS) orbita a una alçària de $400\ \text{km}$ sobre la superfície terrestre. La velocitat orbital d'un satèl·lit en òrbita circular és $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa de la Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i radi terrestre $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. L'esquema mostra l'òrbita de l'estació (sense escala):

1. a) Expressa el radi de l'òrbita, $r = R_T + h$, en metres.
2. b) Calcula la velocitat orbital de la ISS, en $\text{m/s}$, i expressa-la en $\text{km/s}$.

La Lluna, el satèl·lit natural de la Terra, orbita a una distància mitjana entre centres de $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la seva velocitat orbital amb $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, en $\text{m/s}$.
2. b) Compara-la amb la velocitat orbital de la ISS, uns $7,7\ \text{km/s}$: quin dels dos cossos orbita més ràpid i per què?

La velocitat orbital circular d'un satèl·lit és $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.

1. a) Raona, a partir de l'expressió, si un satèl·lit més allunyat del centre de la Terra orbita més ràpid o més a poc a poc que un de proper.
2. b) Si el radi de l'òrbita es multiplica per $4$, què li passa a la velocitat orbital? Justifica-ho amb l'expressió.

Un satèl·lit d'observació descriu una òrbita circular de radi $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ amb una velocitat orbital de $7,67\ \text{km/s}$.

1. a) Escriu l'expressió del període en funció del radi i de la velocitat, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$.
2. b) Calcula el període en segons i expressa'l en minuts.

Els satèl·lits de comunicacions Hispasat són geoestacionaris.

1. a) Explica què significa que un satèl·lit sigui geoestacionari.
2. b) Indica les tres condicions que ha de complir la seva òrbita: forma, pla que la conté i període.
3. c) Raona per què un satèl·lit geoestacionari no pot quedar-se «quiet» sobre la vertical d'Espanya (latitud $40^\circ$), sinó sobre l'equador.

En una òrbita rasant (molt baixa) el radi orbital és aproximadament el radi terrestre, $r \approx R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la velocitat orbital rasant amb $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T}}$, en $\text{km/s}$.
2. b) Comprova que s'obté pràcticament el mateix valor amb $v = \sqrt{g\cdot R_T}$ i explica, a partir de $g = \frac{G\cdot M_T}{R_T^2}$, per què ambdues expressions coincideixen.

La Lluna orbita la Terra a una distància mitjana $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ amb una velocitat orbital de $1,02\ \text{km/s}$.

1. a) Calcula el seu període orbital amb $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, en segons.
2. b) Expressa'l en dies i compara'l amb la durada d'una lunació (unes quatre setmanes).

Les antenes parabòliques de televisió per satèl·lit s'instal·len fixes, apuntant sempre al mateix punt del cel.

1. a) Explica, utilitzant les característiques de l'òrbita geoestacionària, per què no cal que l'antena persegueixi el satèl·lit.
2. b) Esmenta dues aplicacions dels satèl·lits geoestacionaris i raona quin avantatge hi aporta que el satèl·lit sembli immòbil.

El telescopi espacial Hubble descriu una òrbita circular a $540\ \text{km}$ d'alçària. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula la seva velocitat orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T + h}}$.
2. b) Calcula el seu període orbital, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, i expressa'l en minuts.

L'Estació Espacial Internacional completa una òrbita en $T = 92\ \text{min}$.

1. a) Calcula quantes òrbites completes fa al voltant de la Terra en un dia ($24\ \text{h}$).
2. b) Raona quantes sortides i quantes postes de Sol contemplen els astronautes cada dia.
3. c) Si l'estació orbités a més alçària, faria més o menys òrbites al dia? Raona la resposta amb la tercera llei de Kepler.

Un satèl·lit geoestacionari ha de tenir un període $T = 24\ \text{h}$. Combinant $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ amb $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$ s'obté $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa l'esquema (sense escala):

1. a) Expressa el període en segons.
2. b) Calcula $r^3$ i, extraient l'arrel cúbica, el radi de l'òrbita geoestacionària.
3. c) Calcula l'alçària sobre la superfície, $h = r - R_T$, i expressa-la en $\text{km}$.

Els satèl·lits del sistema europeu de navegació Galileo tenen un període orbital de $14\ \text{h}$. Utilitza $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$ amb $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Expressa el període en segons i calcula el radi de l'òrbita.
2. b) Calcula l'alçària dels satèl·lits sobre la superfície terrestre.
3. c) Calcula la seva velocitat orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$.

A la superfície terrestre $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$, però la gravetat disminueix amb l'alçària segons $g = \frac{G\cdot M_T}{r^2}$. La ISS orbita amb $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el valor de $g$ a l'òrbita de la ISS.
2. b) Expressa'l com a percentatge del valor en superfície.
3. c) Amb aquest resultat, explica per què no és correcte afirmar que a la ISS «no hi ha gravetat» i què significa que l'estació i els seus tripulants es trobin en caiguda lliure contínua.

Fobos, la més gran de les llunes de Mart, orbita a només $r = 9,38\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centre del planeta. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i massa de Mart $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la seva velocitat orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_M}{r}}$.
2. b) Calcula el seu període, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, i expressa'l en hores.
3. c) Mart gira sobre si mateix en $24,6\ \text{h}$, en el mateix sentit en què orbita Fobos. Raona si Fobos, vist des de la superfície marciana, surt per l'est o per l'oest.

El satèl·lit espanyol d'observació de la Terra PAZ descriu una òrbita circular a $514\ \text{km}$ d'alçària. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcula la seva velocitat orbital.
2. b) Calcula el seu període i expressa'l en minuts.
3. c) Calcula quantes voltes completes a la Terra fa cada dia.

Compara la velocitat orbital de la ISS ($r_{ISS} = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) amb la de la Lluna ($r_L = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$) al voltant de la Terra.

1. a) Demostra, a partir de $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, que el quocient de velocitats és $\frac{v_{ISS}}{v_L} = \sqrt{\frac{r_L}{r_{ISS}}}$.
2. b) Calcula aquest quocient amb les dades de l'enunciat.
3. c) Explica, amb l'ajuda de la llei de la gravitació universal, per què els cossos més allunyats orbiten més a poc a poc.

Un satèl·lit artificial descriu una òrbita circular de radi $r$ al voltant de la Terra, de massa $M_T$.

1. a) Justifica que l'única força que actua sobre el satèl·lit és la gravitatòria i que fa el paper de força centrípeta; escriu l'equació $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Dedueix-ne la velocitat orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, i el període, $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{r^3}{G\cdot M_T}}$. Comenta per què la massa $m$ del satèl·lit no apareix en els resultats.
3. c) Aplica les expressions a un satèl·lit meteorològic en òrbita polar a $850\ \text{km}$ d'alçària i calcula la seva velocitat i el seu període. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

Un operador de telecomunicacions col·locarà un satèl·lit geoestacionari sobre l'equador. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ i període de rotació terrestre $T = 24\ \text{h}$.

1. a) Partint de $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$ i de $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$, dedueix l'expressió $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
2. b) Calcula el radi de l'òrbita i l'alçària sobre la superfície.
3. c) Calcula la velocitat del satèl·lit en la seva òrbita i explica per què, movent-se a aquesta velocitat, sembla immòbil vist des de terra.

En les missions Apol·lo, el mòdul de comandament romania en una òrbita lunar circular a $110\ \text{km}$ d'alçària mentre el mòdul lunar descendia a la superfície. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa de la Lluna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ i radi lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa l'esquema (sense escala):

1. a) Calcula el radi de l'òrbita del mòdul de comandament.
2. b) Calcula la seva velocitat orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_L}{r}}$, i expressa-la en $\text{km/s}$.
3. c) Calcula el seu període, en hores, i estima quantes voltes completes a la Lluna feia l'astronauta que es quedava a bord cada dia.

Per a futures missions tripulades a Mart s'estudia col·locar satèl·lits de comunicacions «areoestacionaris», és a dir, estacionaris respecte al terra marcià. Dades: Mart gira en $T = 24,6\ \text{h}$; massa de Mart $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; radi de Mart $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Raona quin període orbital han de tenir aquests satèl·lits.
2. b) Calcula el radi de l'òrbita areoestacionària amb $r^3 = \frac{G\cdot M_M\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
3. c) Calcula la seva alçària sobre la superfície de Mart i compara-la amb els $3,6\cdot10^{4}\ \text{km}$ de l'òrbita geoestacionària terrestre, explicant a què es deu la diferència.

Suposa que la Terra tingués la meitat de la seva massa actual, però conservés el seu radi i el seu període de rotació de $24\ \text{h}$. Dades: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; el radi geoestacionari actual és $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Raona, a partir de $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$, si el radi de l'òrbita geoestacionària seria més gran, més petit o igual que l'actual.
2. b) Calcula el nou radi geoestacionari tenint en compte que, com que $r^3$ és proporcional a $M_T$, el nou radi és $r' = r\cdot(1/2)^{1/3}$.
3. c) Continuaria sent el període de $24\ \text{h}$? Canviaria la velocitat orbital del satèl·lit? Justifica totes dues respostes.

Un estudiant escriu en un examen: «un satèl·lit geoestacionari està en repòs, perquè no es mou respecte al terra terrestre; per tant, no necessita velocitat orbital ni té acceleració».

1. a) Identifica els dos errors del raonament.
2. b) Calcula la velocitat orbital real d'un satèl·lit geoestacionari ($r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, $T = 24\ \text{h}$), en $\text{km/s}$.
3. c) Calcula la seva acceleració centrípeta, $a_c = \frac{v^2}{r}$, i indica quina força la proporciona.

La tercera llei de Kepler també s'aplica als satèl·lits artificials. Dades: ISS ($r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$, $T = 92\ \text{min}$) i Lluna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $T = 27,3$ dies). L'esquema compara totes dues òrbites (sense escala):

1. a) Expressa tots dos períodes en segons i calcula el quocient $\frac{T^2}{r^3}$ per a l'ISS i per a la Lluna, en unitats del Sistema Internacional.
2. b) Comprova que tots dos quocients coincideixen (llevat d'arrodoneixements) i explica per què ha de ser així.
3. c) Utilitza aquest valor comú per predir el període d'un satèl·lit que orbiti amb $r = 2,0\cdot10^{7}\ \text{m}$ i expressa'l en hores.

Les constel·lacions d'internet per satèl·lit, com Starlink, empren milers de satèl·lits a $550\ \text{km}$ d'alçària, mentre que tres satèl·lits geoestacionaris són suficients per donar cobertura a gairebé tot el planeta. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. L'esquema compara les dues òrbites (sense escala):

1. a) Calcula la velocitat i el període orbital d'un satèl·lit Starlink.
2. b) Calcula el quocient entre el seu període i el d'un satèl·lit geoestacionari ($24\ \text{h}$) i raona, amb la tercera llei de Kepler, per què els satèl·lits baixos «passen» tan de pressa sobre un observador.
3. c) Explica per què una òrbita baixa exigeix una constel·lació de milers de satèl·lits per donar cobertura contínua, mentre que en òrbita geoestacionària en són suficients tres.

Repte del tema. Podem contrastar la mecànica orbital des de casa fent servir satèl·lits reals? La teva missió és elaborar un informe científic que validi la 3a llei de Kepler a partir de la teva pròpia estimació de la gravetat.

1. Mesura casolana: Construeix un pèndol simple amb un fil i una femella. Mesura el període $T$ per a 4 longituds diferents ($L \pm 0,002\text{ m}$) cronometrant 10 oscil·lacions (incertesa $\pm 0,2\text{ s}$). Tabula les dades, representa $T^2$ enfront de $L$ i obtén $g$ amb la seva incertesa per estimar la massa terrestre: $M_T = g R_T^2 / G$ (amb $R_T \approx 6,37 \cdot 10^6\text{ m}$).

2. Cerca de satèl·lits: Consulta al web de l'ESA o NASA l'altitud i el període orbital de tres satèl·lits en òrbites circulars: ISS, un satèl·lit Galileo i el Meteosat. Suma $R_T$ a l'altitud per calcular els seus radis orbitals $r$.

3. Tractament de dades i gràfica: Elabora una taula amb $r^3$ i $T^2$ per als satèl·lits. Representa la gràfica $T^2$ enfront de $r^3$ i compara el pendent obtingut amb el valor teòric $\frac{4\pi^2}{G M_T}$ calculat amb la teva $g$ experimental.

4. Informe final: Redacta un informe breu raonant les discrepàncies trobades i justificant per què un satèl·lit geoestacionari s'ha de situar a una altitud concreta.

Es valorarà:

• Rigor en la presa de mesures casolanes i tractament experimental d'incerteses.

• Exactitud en les dades satel·litàries i en la representació gràfica de la llei de Kepler.

• Coherència física en la discussió crítica dels resultats i fonts d'error.