Exercicis: Les lleis del moviment planetari

Johannes Kepler va deduir tres lleis que descriuen el moviment dels planetes al voltant del Sol a partir de les observacions de Tycho Brahe.

1. a) Enuncia la primera llei de Kepler (llei de les òrbites).
2. b) Dibuixa al teu quadern una òrbita el·líptica i assenyala-hi els dos focus de l'el·lipse, la posició del Sol, el periheli (punt més proper al Sol) i l'afeli (punt més allunyat).
3. c) Indica què és el semieix major $a$ de l'òrbita i escriu la seva expressió en funció de les distàncies del periheli, $r_p$, i de l'afeli, $r_a$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

1. a) Enuncia la segona llei de Kepler (llei de les àrees).
2. b) Un planeta recorre la seva òrbita el·líptica passant pel periheli i per l'afeli. Aplica la llei de les àrees per raonar en quin d'aquests dos punts es mou més ràpid.
3. c) La velocitat areolar (àrea escombrada pel radi vector per unitat de temps) és constant perquè el moment angular del planeta es conserva. Explica qualitativament per què un radi vector més curt al periheli implica una velocitat més gran.

1. a) Enuncia la tercera llei de Kepler (llei dels períodes) i escriu la seva expressió matemàtica, $\frac{T^2}{a^3} = C$, indicant el significat de $T$ i de $a$.
2. b) La constant val $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, on $M$ és la massa del cos central. Raona si $C$ és la mateixa per a tots els planetes del sistema solar i si ho seria també per a les llunes de Júpiter.

La Terra passa pel periheli a una distància del Sol $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ i per l'afeli a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. La figura mostra l'òrbita amb ambdues distàncies (sense escala):

1. a) Calcula el semieix major de l'òrbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sabent que $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$ (unitat astronòmica: distància mitjana Terra–Sol), expressa el resultat en unitats astronòmiques i comenta el que observes.

Per als cossos que orbiten el Sol, si el període $T$ s'expressa en anys i el semieix major $a$ en unitats astronòmiques, la tercera llei de Kepler es redueix a $T^2 = a^3$. Mercuri orbita amb un semieix major $a = 0,387\ \text{UA}$.

1. a) Calcula el període orbital de Mercuri, en anys.
2. b) Expressa'l en dies terrestres ($1$ any $= 365,25$ dies).

Un asteroide del cinturó principal triga $T = 8$ anys a completar la seva òrbita al voltant del Sol. Per als cossos que orbiten el Sol es compleix $T^2 = a^3$, amb $T$ en anys i $a$ en unitats astronòmiques.

1. a) Aïlla el semieix major $a$ de l'expressió anterior.
2. b) Calcula el seu valor, en $\text{UA}$.

Un alumne afirma: «com que $\frac{T^2}{a^3} = C$ és una constant universal, el seu valor és el mateix per a la Terra al voltant del Sol que per a la Lluna al voltant de la Terra».

1. a) Raona per què l'afirmació és falsa, tenint en compte que $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, on $M$ és la massa del cos central.
2. b) Indica un conjunt de cossos per al qual sí que coincidiria la constant amb la de les llunes de Júpiter.

Dibuixa al teu quadern una òrbita el·líptica allargada amb el Sol situat en un dels seus focus.

1. a) Marca dos intervals de temps iguals, un de centrat en el periheli i un altre en l'afeli, i ombreja les àrees escombrades pel radi vector en ambdós trams.
2. b) D'acord amb la llei de les àrees, quina relació hi ha entre les dues àrees ombrejades?
3. c) Raona, a partir del dibuix, en quin tram el planeta recorre un arc més llarg en el mateix temps i què implica això sobre la seva velocitat.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Mart orbita el Sol amb un semieix major $a = 1,524\ \text{UA}$. Per als cossos que orbiten el Sol, $T^2 = a^3$ amb $T$ en anys i $a$ en unitats astronòmiques.

1. a) Calcula la durada de l'any marcià, en anys terrestres.
2. b) Expressa el resultat en dies ($1$ any $= 365,25$ dies).

Venus completa la seva òrbita al voltant del Sol en $T = 0,615$ anys. Per als cossos que orbiten el Sol, $T^2 = a^3$ amb $T$ en anys i $a$ en unitats astronòmiques; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el semieix major de l'òrbita de Venus, en $\text{UA}$.
2. b) Expressa'l en quilòmetres, utilitzant notació científica.

Un equip d'astrònoms descobreix un objecte amb un període orbital $T = 27$ anys. Per als cossos que orbiten el Sol, $T^2 = a^3$ amb $T$ en anys i $a$ en unitats astronòmiques.

1. a) Calcula el semieix major de la seva òrbita, en $\text{UA}$.
2. b) Compara'l amb l'òrbita de Neptú ($a \approx 30\ \text{UA}$): orbita l'objecte més a prop o més lluny del Sol que Neptú?

Kepler va comprovar la seva tercera llei amb les dades de diversos planetes. La Terra té $a = 1\ \text{UA}$ i $T = 1$ any; Júpiter té $a = 5,20\ \text{UA}$ i $T = 11,86$ anys.

1. a) Calcula el quocient $\frac{T^2}{a^3}$ per a la Terra, en $\text{anys}^2/\text{UA}^3$.
2. b) Calcula el mateix quocient per a Júpiter i comprova que coincideix amb l'anterior (llevat d'arrodoriments).
3. c) Explica per què aquest quocient només és idèntic per a cossos que orbiten el mateix cos central.

L'excentricitat d'una el·lipse és $e = \frac{c}{a}$, on $a$ és el semieix major i $c$ la distància del centre de l'el·lipse a un dels focus. Per a la Terra: $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ (periheli) i $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$ (afeli). Observa la geometria de l'òrbita a la figura (sense escala):

1. a) Calcula el semieix major, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calcula la distància focal, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, i l'excentricitat $e$ de l'òrbita terrestre.
3. c) Un valor $e = 0$ correspon a una circumferència i un valor proper a $1$, a una el·lipse molt allargada. Comenta la forma de l'òrbita terrestre segons el valor obtingut.

Per la conservació del moment angular, al periheli i a l'afeli es compleix $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$. La Terra passa pel periheli ($r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$) amb una velocitat de $30,3\ \text{km/s}$, i l'afeli és a $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. L'esquema mostra l'òrbita i les velocitats en ambdós punts (sense escala):

1. a) Aïlla la velocitat a l'afeli, $v_a$, de l'expressió anterior.
2. b) Calcula el seu valor, en $\text{km/s}$.
3. c) El periheli s'esdevé a primers de gener i l'afeli a primers de juliol. Indica en quin d'aquests mesos la Terra es desplaça més ràpid per la seva òrbita i relaciona-ho amb la segona llei de Kepler.

Ceres, el cos més gran del cinturó d'asteroides, té un període orbital de $T = 4,60$ anys. Per als cossos que orbiten el Sol, $T^2 = a^3$ amb $T$ en anys i $a$ en unitats astronòmiques; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el semieix major de l'òrbita de Ceres, en $\text{UA}$.
2. b) Expressa la seva distància mitjana al Sol en metres, utilitzant notació científica.

Un cometa té un semieix major doble que el d'un altre cometa del mateix sistema.

1. a) Demostra, a partir de $T^2 = a^3$, que si $a' = 2\cdot a$ aleshores $T' = \sqrt{8}\cdot T \approx 2,83\cdot T$.
2. b) Un asteroide orbita el Sol amb $a = 2\ \text{UA}$. Calcula el seu període, en anys.
3. c) Raona, sense fer nous càlculs, si un planeta situat a la meitat de distància del Sol que la Terra tindria un any més llarg o més curt que el terrestre.

Per a una òrbita circular de radi $r$, la tercera llei de Kepler es pot deduir de la llei de la gravitació universal. L'esquema mostra un planeta en òrbita circular amb la força que actua sobre seu:

1. a) Iguala la força gravitatòria, $F = \frac{G\cdot M\cdot m}{r^2}$, amb la força centrípeta del moviment circular, $F_c = \frac{m\cdot v^2}{r}$, i obtén la velocitat orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.
2. b) Substitueix $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$ en el resultat anterior i dedueix que $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}\cdot r^3$.
3. c) Identifica en l'expressió obtinguda la constant de la tercera llei de Kepler i explica de quines magnituds depèn.

La tercera llei de Kepler permet «pesar» el Sol. Dades: distància mitjana Terra–Sol $a = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$, període orbital terrestre $T = 365,25$ dies i $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. La figura representa l'òrbita terrestre amb les dades conegudes:

1. a) Expressa el període orbital en segons.
2. b) Aïlla la massa del Sol de l'expressió $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_S}$.
3. c) Calcula $M_S$ i compara el resultat amb el valor acceptat, $1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

El cometa Halley té un període de $T = 76$ anys i passa pel periheli a $r_p = 0,586\ \text{UA}$ del Sol. Per als cossos que orbiten el Sol, $T^2 = a^3$ amb $T$ en anys i $a$ en unitats astronòmiques. La figura mostra la seva òrbita allargada (sense escala):

1. a) Calcula el semieix major de la seva òrbita, en $\text{UA}$.
2. b) Tenint en compte que $a = \frac{r_p + r_a}{2}$, calcula la distància de l'afeli, $r_a$.
3. c) Aplicant la conservació del moment angular, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcula el quocient $\frac{v_p}{v_a}$ i explica per què el Halley només és observable des de la Terra durant uns mesos de cada $76$ anys.

La sonda Juno ha estudiat el sistema de Júpiter. La seva lluna Ió orbita el planeta amb un semieix major $a = 4,22\cdot10^{8}\ \text{m}$ i un període $T = 1,77$ dies. Dada: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Expressa el període d'Ió en segons.
2. b) Aïlla la massa de Júpiter de la tercera llei de Kepler, $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_J}$.
3. c) Calcula $M_J$ i compara-la amb el valor acceptat, $1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$.

La constant de la tercera llei de Kepler és $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, on $M$ és la massa del cos central. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, massa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, massa de la Terra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i semieix major de l'òrbita de la Lluna $a = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$.

1. a) Calcula, en unitats del Sistema Internacional, la constant $C$ per al sistema solar i per al sistema Terra–Lluna.
2. b) Raona a què es deu l'enorme diferència entre ambdós valors.
3. c) Utilitza la constant del sistema Terra–Lluna per predir el període orbital de la Lluna i expressa'l en dies.

Mercuri té l'òrbita planetària més excèntrica del sistema solar: $a = 0,387\ \text{UA}$ i $e = 0,206$. Les distàncies al Sol en el periheli i en l'afeli són $r_p = a\cdot(1 - e)$ i $r_a = a\cdot(1 + e)$.

1. a) Calcula $r_p$ i $r_a$, en $\text{UA}$.
2. b) Aplicant la conservació del moment angular, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calcula el quocient $\frac{v_p}{v_a}$.
3. c) Per a la Terra aquest quocient val $1,034$. Compara ambdós resultats i explica quin paper té l'excentricitat en la variació de la velocitat orbital.

Per viatjar de la Terra a Mart amb el menor consum de combustible s'utilitza una òrbita de transferència de Hohmann: una el·lipse amb el periheli en l'òrbita terrestre ($1\ \text{UA}$) i l'afeli en l'òrbita marciana ($1,524\ \text{UA}$). Per als cossos que orbiten el Sol, $T^2 = a^3$ amb $T$ en anys i $a$ en unitats astronòmiques. L'esquema mostra l'òrbita de transferència:

1. a) Calcula el semieix major de l'el·lipse de transferència.
2. b) Calcula el període complet d'aquesta el·lipse, en anys.
3. c) El viatge d'anada dura mig període. Calcula la seva durada en dies ($1$ any $= 365,25$ dies) i raona per què les missions a Mart només es poden llançar en determinades finestres que es repeteixen cada $26$ mesos.

Es descobreix un exoplaneta que orbita un estel de massa $M_E = 4\cdot M_S$ (quatre vegades la massa del Sol) amb un semieix major $a = 1\ \text{UA}$, igual que la Terra.

1. a) Partint de $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M}$, demostra que $\frac{T^2}{T_{Tierra}^2} = \frac{a^3}{a_{Tierra}^3}\cdot\frac{M_S}{M_E}$.
2. b) Calcula el període de l'exoplaneta, en anys terrestres.
3. c) Explica per què en aquest cas no es pot aplicar directament la relació simplificada $T^2 = a^3$ vàlida per al sistema solar.