Exercicis: Motors, generadors i transformadors

1. a) Explica la diferència fonamental entre un alternador i una dinamo: quin tipus de corrent produeix cadascun i quin element de connexió (anells lliscants o col·lector de delgues) la determina.
2. b) En quin fenomen físic es basen tots dos aparells?

En girar una espira amb velocitat angular constant en el si d'un camp magnètic uniforme es genera un corrent altern, com es mostra a la figura.

1. a) Explica, a partir de com varia el flux magnètic a través de l'espira, per què la fem canvia contínuament de valor.
2. b) Raona per què la fem canvia de signe cada mitja volta.

En una bicicleta amb dinamo, el llum s'encén en pedalar.

1. a) Explica com genera la dinamo el corrent que alimenta la bombeta.
2. b) Segons la llei de Lenz, el corrent induït s'oposa al gir de la dinamo: explica d'on surt, en darrera instància, l'energia que consumeix la bombeta i per què es nota més resistència en pedalar amb la dinamo connectada.

L'espira rectangular d'un motor de corrent continu està entre els pols d'un imant i és recorreguda per un corrent.

1. a) Dibuixa al teu quadern les forces magnètiques sobre els dos costats de l'espira perpendiculars al camp i explica per què formen un parell de forces que fa girar l'espira.
2. b) Quin paper té el col·lector de delgues? Què li passaria a l'espira en arribar al punt mort si no existís?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un transformador té dues bobines enrotllades sobre el mateix nucli de ferro. Explica, a partir de la llei de Faraday, per què en connectar el primari a un corrent continu constant no apareix cap tensió al secundari, mentre que en connectar-lo a corrent altern sí que n'apareix.

El primari d'un transformador té $N_1 = 1000$ espires i es connecta a $V_1 = 230\ \text{V}$. El secundari té $N_2 = 50$ espires.

1. a) Escriu la relació de transformació, $\frac{V_1}{N_1} = \frac{V_2}{N_2}$.
2. b) Calcula la tensió del secundari i indica si el transformador és elevador o reductor.

Es vol transformar la tensió de la xarxa, $230\ \text{V}$, en $12\ \text{V}$ per alimentar una maqueta.

1. a) Calcula la relació d'espires necessària, $\frac{N_1}{N_2}$.
2. b) Si el secundari té $30$ espires, quantes espires ha de tenir el primari?

Les companyies elèctriques transporten l'energia a tensions de centenars de quilovolts.

1. a) Escriu la relació entre potència, tensió i intensitat, $P = V \cdot I$, i explica per què, per transportar la mateixa potència, una tensió alta implica una intensitat baixa.
2. b) La potència perduda per efecte Joule als cables val $I^2 \cdot R$: explica per què és tan important que la intensitat transportada sigui petita.

L'alternador d'una petita central equival a una bobina de $200$ espires de $100\ \text{cm}^2$ que gira amb una freqüència de $50\ \text{Hz}$ en un camp de $0,5\ \text{T}$ (pren $\pi \approx 3,14$).

1. a) Calcula la velocitat angular de gir, $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$.
2. b) Calcula la fem màxima generada, $\varepsilon_0 = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$.
3. c) Escriu l'expressió $\varepsilon(t)$ suposant que a $t = 0$ el flux és màxim i la fem és nul·la.

Un trepant connectat a $230\ \text{V}$ consumeix una intensitat de $2\ \text{A}$ i lliura una potència mecànica útil de $400\ \text{W}$.

1. a) Calcula la potència elèctrica que absorbeix de la xarxa.
2. b) Calcula el seu rendiment, en tant per cent.
3. c) Cita dos mecanismes pels quals un motor real perd energia i explica'ls breument.

Un transformador ideal té $N_1 = 460$ espires al primari i $N_2 = 40$ al secundari. El primari es connecta a $230\ \text{V}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la tensió del secundari.
2. b) Pel circuit del secundari circulen $2,3\ \text{A}$: calcula la potència que lliura el transformador.
3. c) En un transformador ideal la potència del primari és igual a la del secundari: calcula la intensitat que el transformador pren de la xarxa.

Un tren elèctric de joguina funciona a $18\ \text{V}$ amb un corrent de $2,5\ \text{A}$, mitjançant un transformador ideal connectat a la xarxa de $230\ \text{V}$.

1. a) Calcula la relació d'espires del transformador.
2. b) Calcula la potència que consumeix el tren.
3. c) Calcula la intensitat que el transformador pren de la xarxa.

Un poble consumeix $50\ \text{kW}$ i la línia que l'alimenta té una resistència total de $2\ \Omega$.

1. a) Si el transport es fes a $1000\ \text{V}$, calcula la intensitat per la línia i la potència perduda en aquesta, i expressa aquesta pèrdua com a percentatge de la potència transportada.
2. b) Repeteix els càlculs suposant que el transport es fa a $10\ \text{kV}$.
3. c) Extreu una conclusió sobre per què interessa transportar l'energia a alta tensió.

En una central hidroelèctrica, l'aigua fa girar la turbina i aquesta arrossega el rotor de l'alternador amb una freqüència de $25\ \text{Hz}$ (pren $\pi \approx 3,14$). El bobinatge de l'alternador equival a $100$ espires de $0,2\ \text{m}^2$ que giren en un camp de $0,8\ \text{T}$.

1. a) Calcula la velocitat angular del rotor.
2. b) Calcula la fem màxima generada, $\varepsilon_0 = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$.
3. c) Descriu la cadena de transformacions d'energia des de l'aigua embassada fins a l'energia elèctrica que surt de la central.

L'espira d'un motor de joguina fa $10\ \text{cm}$ de llarg i $5\ \text{cm}$ d'ample, és recorreguda per un corrent de $3\ \text{A}$ i es troba en un camp de $0,4\ \text{T}$ perpendicular al seu eix de gir, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la força magnètica sobre cadascun dels costats llargs de l'espira, $F = I \cdot l \cdot B$.
2. b) Explica per què aquestes dues forces, de sentits oposats, formen un parell que fa girar l'espira en comptes de desplaçar-la.
3. c) Què passa amb el parell de forces quan el pla de l'espira és perpendicular al camp (punt mort) i com ho resol el col·lector de delgues?

Una central genera l'electricitat a $6\ \text{kV}$. Un transformador elevador la puja a $132\ \text{kV}$ per al transport i, ja a la ciutat, un altre transformador la baixa a $230\ \text{V}$ per al consum. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la relació d'espires $\frac{N_2}{N_1}$ del transformador elevador.
2. b) Calcula la relació d'espires $\frac{N_1}{N_2}$ del transformador reductor de la ciutat.
3. c) Explica per què l'elevador s'instal·la al costat de la central i el reductor al costat dels punts de consum, i no al revés.

Un parc eòlic genera $10\ \text{MW}$ i els transporta a $220\ \text{kV}$ per una línia que té una resistència total de $40\ \Omega$.

1. a) Calcula la intensitat que recorre la línia.
2. b) Calcula la potència dissipada a la línia i expressa-la com a percentatge de la potència generada.
3. c) Repeteix els càlculs suposant que el transport es fes a $25\ \text{kV}$.
4. d) Explica el doble paper que tenen els transformadors (i, per tant, el corrent altern) per fer viable el transport d'energia elèctrica a llarga distància.

La tensió domèstica de $230\ \text{V}$ és el valor eficaç d'un corrent altern de $50\ \text{Hz}$ el valor màxim del qual és $325\ \text{V}$ (pren $\pi \approx 3,14$ i $\sqrt{2} \approx 1,41$). La gràfica de la tensió en funció del temps es mostra a la figura.

1. a) Calcula la freqüència angular $\omega$ i escriu l'expressió de la fem en funció del temps, $\varepsilon(t) = \varepsilon_0 \cdot \sen(\omega \cdot t)$.
2. b) Comprova que el valor eficaç compleix la relació $\varepsilon_{\text{ef}} = \frac{\varepsilon_0}{\sqrt{2}}$.
3. c) Si l'alternador de la central treballa amb un camp de $0,6\ \text{T}$ i espires de $0,05\ \text{m}^2$, calcula quantes espires necessita el seu bobinatge per generar aquesta fem màxima, $\varepsilon_0 = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$.

En arrencar un motor de $12\ \text{V}$ que té una resistència interna de $0,5\ \Omega$, amb l'eix encara en repòs, la intensitat inicial val $24\ \text{A}$.

1. a) Comprova aquest valor aplicant la llei d'Ohm i explica per què en l'arrencada el motor es comporta com una simple resistència.
2. b) Quan el motor gira a ple règim, la rotació de les seves bobines en el camp genera una fem induïda de $10\ \text{V}$ (força contraelectromotriu): calcula la intensitat en règim, $I = \frac{V - \varepsilon'}{R}$.
3. c) Explica amb la llei de Lenz per què aquesta fem induïda té un signe oposat a la tensió d'alimentació.
4. d) Raona, tenint en compte els apartats anteriors, per què és perillós bloquejar l'eix d'un motor en marxa i què li passa al seu debanament.

El carregador d'un ordinador portàtil lliura $19\ \text{V}$ i $38\ \text{W}$ a l'ordinador, i el seu transformador té un rendiment del $95\%$. El carregador es connecta a la xarxa de $230\ \text{V}$.

1. a) Calcula la intensitat que circula pel secundari.
2. b) Calcula la potència que el carregador pren de la xarxa i la intensitat corresponent al primari.
3. c) Calcula la potència que es perd dins del carregador.
4. d) Explica les dues causes principals de pèrdues en un transformador real: els corrents de Foucault al nucli (per això es construeix amb xapes apilades i aïllades) i l'efecte Joule als debanaments.

Un cotxe elèctric de $1500\ \text{kg}$ circula a $72\ \text{km/h}$. En deixar anar l'accelerador, el seu motor passa a funcionar com a generador i recarrega la bateria (fre regeneratiu).

1. a) Expressa la velocitat en $\text{m/s}$ i calcula l'energia cinètica del cotxe.
2. b) Si el sistema recupera el $60\%$ d'aquesta energia, quanta energia torna a la bateria?
3. c) Durant la frenada, el bobinatge del motor ($300$ espires) pateix una variació de flux de $0,4\ \text{Wb/s}$ a cada espira: calcula la fem generada.
4. d) Explica amb la llei de Lenz per què el corrent induït frena el cotxe en comptes d'accelerar-lo.

La pastilla d'una guitarra elèctrica és un petit imant envoltat per una bobina de $2000$ espires de $1\cdot10^{-5}\ \text{m}^2$ cadascuna. En prémer la corda metàl·lica (nota La, de $440\ \text{Hz}$), el camp a través de la bobina oscil·la, amb una variació de $1\cdot10^{-3}\ \text{T}$ a cada quart de període. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la durada d'un quart de període de la vibració.
2. b) Calcula la fem mitjana induïda durant aquest interval, en mil·livolts.
3. c) Explica qualitativament com es genera el senyal elèctric que arriba a l'amplificador i raona per què la corda ha de ser d'un material ferromagnètic.

Un carregador sense fil té una bobina transmissora de $20$ espires alimentada a $12\ \text{V}$ amb corrent altern de $100\ \text{kHz}$; la bobina del telèfon té $15$ espires. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la tensió induïda a la bobina del telèfon suposant un acoblament ideal, amb la relació $\frac{V_1}{N_1} = \frac{V_2}{N_2}$.
2. b) Explica en què s'assembla aquest sistema a un transformador i quina diferència fonamental hi ha respecte a un de convencional quant al nucli.
3. c) Raona, a partir de la llei de Faraday, per què s'utilitza una freqüència tan alta en comptes dels $50\ \text{Hz}$ de la xarxa: què li passa a $\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ i a la mida necessària de les bobines?

Un article divulgatiu proposa «transportar l'electricitat directament a $230\ \text{V}$ per estalviar-se el cost dels transformadors». Una ciutat necessita una potència de $1\ \text{MW}$ i la línia tindria una resistència de $1\ \Omega$.

1. a) Calcula la intensitat que caldria transportar.
2. b) Calcula la potència que es perdria a la línia i compara-la amb la potència que es vol transportar.
3. c) Tenint en compte el resultat, explica per què la proposta és inviable i com la combinació de corrent altern i transformadors resol el problema.

Repte del tema. Com transforma la inducció electromagnètica la nostra vida diària, des de la xarxa elèctrica fins a la medicina? Converteix-te en consultor tècnic i elabora un informe resolent les fases següents:

1. Generació a la xarxa: Accedeix al web oficial de Red Eléctrica de España (RedOS), consulta en temps real la potència eòlica i hidràulica i explica com es genera la fem induïda ($\varepsilon = -\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$) en els seus alternadors.

2. Laboratori domèstic: Fes servir una app de magnetòmetre (com ara Phyphox) al teu mòbil per mesurar el camp magnètic $B$ que emet un transformador o placa de cuina a distàncies $d$ entre $5,0$ i $25,0\text{ cm}$ (intervals de $5,0\text{ cm}$). Assigna incerteses raonables (p. ex. $\Delta d = \pm 0,2\text{ cm}$ i $\Delta B$). Presenta una taula amb les teves mesures i representa gràficament $B$ enfront de $d$.

3. Aplicacions tecnològiques i salut: Analitza el paper dels corrents de Foucault a la cuina per inducció i compara'l amb el principi físic de la ressonància magnètica (RMN). Proposa una recomanació fonamentada de seguretat per a persones amb marcapassos.

4. Proposta final: Redacta un informe breu (màxim dues pàgines) integrant els teus càlculs, la gràfica i les teves conclusions sobre la seguretat electromagnètica.

Es valorarà:

• Rigor conceptual en formular i aplicar les lleis de Faraday i Lenz.

• Qualitat tècnica de l'experiment casolà (estimació d'incerteses, taula i gràfica).

• Justificació física precisa de les aplicacions tecnològiques i les alertes sanitàries.