Exercicis: Energia mecànica i tipus de moviment

L'energia potencial gravitatòria d'una massa $m$ a una distància $r$ del centre d'un planeta de massa $M$ és $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$. La figura mostra la gràfica d'$E_p$ en funció de $r$.

1. a) Explica quin conveni d'origen d'energies s'adopta en aquesta expressió: en quina posició val zero l'energia potencial?
2. b) Amb aquest conveni, raona per què l'energia potencial d'un satèl·lit lligat a la Terra és sempre negativa.

Una sonda de $m = 800\ \text{kg}$ es troba a $r = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centre de la Terra. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la seva energia potencial gravitatòria, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$, i expressa-la en notació científica.
2. b) Explica el significat físic del signe negatiu del resultat.

Un satèl·lit es troba primer a $r_1 = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centre de la Terra i després passa a $r_2 = 1,4\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Sense fer càlculs numèrics, raona amb la fórmula $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$ en quina de les dues posicions la seva energia potencial és més gran.
2. b) En quina de les dues posicions està el satèl·lit més lligat a la Terra? Justifica-ho a partir del signe i del valor d'$E_p$.

La velocitat d'escapament des de la superfície d'un planeta de massa $M$ i radi $R$ és $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$. Dades de la Terra: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la velocitat d'escapament des de la superfície terrestre.
2. b) Expressa el resultat en $\text{km/s}$.

Dades de la Lluna: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ i $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula la velocitat d'escapament des de la superfície de la Lluna amb $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$.
2. b) Sabent que a la Terra és d'uns $11,2\ \text{km/s}$, raona per què enlairar-se de la Lluna requereix molta menys energia que enlairar-se de la Terra.

Un satèl·lit en òrbita circular al voltant de la Terra té una energia cinètica $E_c = 2\cdot10^{9}\ \text{J}$. En òrbita circular es compleix $E_p = -2\cdot E_c$ i $E_m = E_c + E_p$. L'esquema resumeix les tres energies:

1. a) Calcula la seva energia potencial i la seva energia mecànica.
2. b) Comprova que l'energia mecànica és negativa i explica què significa això per al moviment del satèl·lit.

Tres sondes espacials tenen, respecte al Sol, energies mecàniques $E_{m,A} = -3\cdot10^{9}\ \text{J}$, $E_{m,B} = 0\ \text{J}$ i $E_{m,C} = +2\cdot10^{9}\ \text{J}$. La figura mostra els tres tipus de trajectòria possibles al voltant del Sol:

1. a) Indica quin tipus de trajectòria segueix cadascuna (tancada, parabòlica o hiperbòlica) i justifica-ho a partir del signe de la seva energia mecànica.
2. b) Quina d'elles s'acabarà allunyant del Sol indefinidament arribant a l'infinit amb velocitat nul·la?

Dades de Mart: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$ i $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula la velocitat d'escapament des de la superfície de Mart amb $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$.
2. b) Depèn la velocitat d'escapament de la massa del cos que escapa? Raona la teva resposta a partir de la fórmula, pensant en dues naus, una de $10^{3}\ \text{kg}$ i una altra de $10^{5}\ \text{kg}$.

L'Estació Espacial Internacional, de massa $m = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, orbita a uns $400\ \text{km}$ d'alçada, és a dir, a $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ del centre de la Terra. La velocitat d'un satèl·lit en òrbita circular és $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la seva velocitat orbital.
2. b) Calcula la seva energia cinètica i la seva energia potencial, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
3. c) Calcula la seva energia mecànica i comprova que compleix $E_m = -E_c$.

Un satèl·lit d'investigació té una energia potencial $E_{p,0} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$ quan és a la superfície terrestre. Dades: $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. La figura mostra la gràfica d'$E_p(r)$:

1. a) Planteja l'equació $E_p(r) = \frac{E_{p,0}}{2}$ i calcula a quina distància del centre de la Terra l'energia potencial del satèl·lit val la meitat que a la superfície.
2. b) A quina alçada sobre la superfície correspon aquesta distància? Expressa el resultat com a múltiple del radi terrestre.

Una nau ja està en òrbita a una alçada igual a un radi terrestre, és a dir, a $r = 2\cdot R_T$ del centre de la Terra, amb $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la velocitat d'escapament des d'aquesta posició, $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M_T}{r}}$.
2. b) Sabent que des de la superfície és $11,2\ \text{km/s}$, calcula el quocient entre les dues velocitats i relaciona aquest factor amb la distància al centre de la Terra.

Un satèl·lit de $m = 1000\ \text{kg}$ passa d'una òrbita circular de radi $r_1 = 7\cdot10^{6}\ \text{m}$ a una altra de radi $r_2 = 1,4\cdot10^{7}\ \text{m}$, el doble. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la seva energia mecànica a cada òrbita, $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Raona, a partir del resultat, si a l'òrbita més alta el satèl·lit està més o menys lligat a la Terra.
3. c) Calcula la seva velocitat orbital a cada cas amb $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$ i comprova que en pujar d'òrbita el satèl·lit es mou més a poc a poc.

Una sonda de $m = 800\ \text{kg}$ es troba a $r = 10^{9}\ \text{m}$ del centre de la Terra allunyant-se amb una velocitat de $v = 4\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la seva energia cinètica en aquesta posició.
2. b) Calcula la seva energia potencial gravitatòria.
3. c) Determina la seva energia mecànica i indica, justificant-ho, si la sonda escaparà de l'atracció terrestre o acabarà tornant.

Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; Mart: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$ i $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$; la velocitat d'escapament terrestre és $11,2\ \text{km/s}$.

1. a) Calcula la velocitat d'escapament des de la superfície de Mart i expressa-la en $\text{km/s}$.
2. b) Quantes vegades més gran és la velocitat d'escapament terrestre que la marciana?
3. c) L'energia cinètica mínima d'escapament és $E_c = \frac{1}{2}\cdot m\cdot v_e^2$: raona, fent servir els resultats anteriors, quantes vegades més energia per quilogram cal per escapar de la Terra que de Mart.

Un meteorit es troba molt lluny de la Terra, pràcticament en repòs, i cau cap a ella. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Planteja la conservació de l'energia mecànica entre l'infinit (on $E_c = 0$ i $E_p = 0$) i la superfície terrestre.
2. b) Calcula la velocitat amb què arriba a la superfície.
3. c) Explica per què el resultat coincideix numèricament amb la velocitat d'escapament terrestre.

Un satèl·lit de navegació descriu una òrbita circular de radi $r = 2,96\cdot10^{7}\ \text{m}$ al voltant de la Terra i la seva energia mecànica és $E_m = -2,69\cdot10^{9}\ \text{J}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Aïlla la massa del satèl·lit de l'expressió $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$ i calcula-la.
2. b) Calcula la seva energia potencial tenint en compte que $E_p = 2\cdot E_m$.
3. c) Calcula la seva energia cinètica.

Des de la superfície terrestre es llança verticalment una sonda de dimensions petites amb velocitat inicial $v_0 = 5\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, sense empenta posterior (llançament balístic). Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observa l'esquema:

1. a) Planteja la conservació de l'energia mecànica entre la superfície i el punt d'alçada màxima (on la velocitat és nul·la).
2. b) Calcula la distància màxima al centre de la Terra que assoleix la sonda i l'alçada sobre la superfície corresponent.
3. c) Raona, a partir de l'equació plantejada, què passa amb l'alçada màxima quan $v_0$ s'aproxima a la velocitat d'escapament, $11,2\ \text{km/s}$.
4. d) Explica per què no seria correcte resoldre el problema amb l'expressió $E_p = m\cdot g\cdot h$ suposant $g$ constant.

Una sonda surt de la superfície terrestre amb velocitat $v_0 = 1,2\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, superior a la velocitat d'escapament ($11,2\ \text{km/s}$). Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Comprova numèricament que $v_0$ és més gran que la velocitat d'escapament terrestre.
2. b) Aplica la conservació de l'energia mecànica per calcular la velocitat amb què la sonda arribarà a l'infinit (velocitat residual).
3. c) Indica quin tipus de trajectòria descriu la sonda respecte a la Terra i justifica-ho a partir del signe de la seva energia mecànica.

Un petit cos celeste s'acosta a la Lluna amb una velocitat, quan encara n'és molt lluny, de $v_\infty = 2\cdot10^{3}\ \text{m/s}$. Dades de la Lluna: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ i $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Aplica la conservació de l'energia mecànica per calcular la velocitat amb què impactarà contra la superfície lunar.
2. b) Compara el resultat amb el d'un cos que caigués des del repòs (velocitat d'escapament lunar, $2,37\ \text{km/s}$) i expressa el quocient entre les dues velocitats.
3. c) La Lluna no té atmosfera: explica per què a la Lluna pràcticament qualsevol cos que s'hi acosta acaba impactant, mentre que a la Terra molts meteoroides no arriben a terra.

La sonda Voyager 1 va abandonar el Sistema Solar aprofitant el moviment orbital dels planetes. Dades del Sol: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; distància mitjana Terra-Sol: $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula la velocitat d'escapament de l'atracció del Sol des d'una distància igual al radi de l'òrbita terrestre.
2. b) Calcula la velocitat orbital de la Terra al voltant del Sol suposant la seva òrbita circular, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_S}{r}}$.
3. c) Determina quina velocitat addicional necessita una sonda que ja acompanya la Terra en la seva òrbita per escapar del Sol, i explica per què convé llançar-la en la direcció i sentit del moviment orbital terrestre.

Un satèl·lit de $m = 600\ \text{kg}$ descriu una òrbita el·líptica de transferència amb semieix major $a = 2,45\cdot10^{7}\ \text{m}$ al voltant de la Terra. L'energia mecànica d'una òrbita el·líptica és $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot a}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. L'òrbita es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'energia mecànica del satèl·lit en aquesta òrbita.
2. b) Calcula l'energia mecànica que tindria en una òrbita circular de radi igual a $a$ i compara tots dos resultats.
3. c) Fent servir la conservació de l'energia mecànica i l'expressió de $E_p$, raona en quin punt de l'el·lipse (perigeu, el més proper a la Terra, o apogeu, el més allunyat) la velocitat del satèl·lit és màxima.

Dos satèl·lits, de masses $m_1 = 500\ \text{kg}$ i $m_2 = 2000\ \text{kg}$, comparteixen la mateixa òrbita circular de radi $r = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ al voltant de la Terra. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la velocitat orbital, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, i explica per què és la mateixa per a tots dos satèl·lits tot i que les seves masses són diferents.
2. b) Calcula l'energia cinètica i l'energia mecànica de cada satèl·lit.
3. c) Si els dos satèl·lits s'acoblessin formant un únic cos en la mateixa òrbita, raona què passaria amb la seva velocitat orbital i amb l'energia mecànica total del conjunt.

El cometa Halley, de massa aproximada $m = 2\cdot10^{14}\ \text{kg}$, passa pel punt més allunyat de la seva òrbita (afeli), a $r = 5,24\cdot10^{12}\ \text{m}$ del Sol, amb una velocitat de $9,1\cdot10^{2}\ \text{m/s}$. L'objecte interestel·lar 1I/'Oumuamua, de massa estimada $m = 10^{8}\ \text{kg}$, es mou molt lluny del Sol a $2,6\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, on l'energia potencial solar és pràcticament nul·la. Dades: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcula l'energia mecànica del Halley respecte al Sol i classifica la seva trajectòria.
2. b) Calcula l'energia mecànica d''Oumuamua i classifica la seva trajectòria.
3. c) Relaciona els resultats amb les observacions: el Halley torna al Sol cada $76$ anys aproximadament, mentre que 'Oumuamua, que ens va visitar el 2017, no tornarà mai.

La velocitat orbital d'un satèl·lit en òrbita circular rasant (radi $r \approx R$) és $v_{orb} = \sqrt{\frac{G\cdot M}{R}}$, i la velocitat d'escapament des de la superfície és $v_e = \sqrt{\frac{2\cdot G\cdot M}{R}}$. Observa l'esquema:

1. a) Demostra que $v_e = \sqrt{2}\cdot v_{orb}$ i calcula tots dos valors per a la Terra ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Un coet amb el motor encès de manera sostinguda pot escapar de la Terra sense assolir mai els $11,2\ \text{km/s}$: explica per què el concepte de velocitat d'escapament es refereix únicament a un llançament balístic (impuls inicial únic, sense empenta posterior) i què passa energèticament quan el motor continua aportant energia durant l'ascens.