Exercicis: Introducció a la cosmologia i l'astrofísica

El model del Big Bang és el marc científic acceptat per descriure l'origen i l'evolució de l'univers. L'esquema representa l'expansió de l'univers des del Big Bang fins a l'actualitat.

1. a) Explica amb les teves paraules què afirma aquest model sobre l'origen de l'univers.
2. b) Indica l'edat aproximada de l'univers i expressa-la en notació científica, en anys.
3. c) Cita dues observacions experimentals que donen suport al model del Big Bang.

La llei de Hubble-Lemaître relaciona la velocitat d'allunyament $v$ d'una galàxia amb la seva distància $d$ mitjançant $v = H_0 \cdot d$, amb $H_0 = 70\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$. La gràfica representa aquesta llei i assenyala la galàxia de l'enunciat.

1. a) Calcula la velocitat d'allunyament d'una galàxia situada a $20\ \text{Mpc}$ de nosaltres.
2. b) Explica què significa que aquesta velocitat sigui positiva: s'acosta o s'allunya la galàxia?

L'any llum ($\text{al}$) és la distància que recorre la llum en el buit durant un any. Dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; $1\ \text{any} = 3,156\cdot10^{7}\ \text{s}$.

1. a) Calcula quant val $1\ \text{al}$ en metres, amb notació científica i tres xifres significatives.
2. b) Expressa el resultat en quilòmetres.

Ordena de menor a major les distàncies següents i justifica l'ordenació fent servir la notació científica:

1. a) la distància mitjana de la Terra a la Lluna, $3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$
2. b) la unitat astronòmica, $1\ \text{UA} = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$
3. c) el radi de la Terra, $6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$
4. d) un any llum, $1\ \text{al} = 9,46\cdot10^{15}\ \text{m}$
5. e) un pàrsec, $1\ \text{pc} = 3,086\cdot10^{16}\ \text{m}$

El Sistema Solar és el nostre entorn còsmic més proper. L'esquema mostra la seva estructura, amb els vuit planetes sense anomenar.

1. a) Escriu els vuit planetes en ordre creixent de distància al Sol.
2. b) Classifica'ls en planetes rocosos i planetes gasosos, i indica entre quins es troba el cinturó d'asteroides.
3. c) Quina és l'estrella del Sistema Solar i quina fracció de la massa total del sistema concentra, aproximadament?

El nostre Sistema Solar forma part d'una galàxia, la Via Làctia.

1. a) Indica quin tipus de galàxia és la Via Làctia i quants estels conté, aproximadament, expressat com a potència de deu.
2. b) Descriu on se situa el Sol dins de la galàxia: al centre, en un braç o a la vora?
3. c) Explica amb les teves paraules la diferència entre el Sistema Solar i la Via Làctia.

El destí final d'un estel depèn sobretot de la seva massa inicial.

1. a) Ordena les etapes vitals d'un estel com el Sol: gegant vermella, nebulosa, nana blanca, seqüència principal.
2. b) Indica què li passa, en canvi, a un estel molt més massiu que el Sol al final de la seva vida.
3. c) Anomena les dues possibles restes finals d'aquests estels molt massius.

La recerca en cosmologia i astrofísica ha impulsat tecnologies que avui fem servir diàriament.

1. a) Els sensors CCD de les càmeres dels telèfons mòbils es van desenvolupar originalment per a l'astronomia. Cita una altra tecnologia quotidiana relacionada amb la recerca espacial o amb la física fonamental i explica'n la connexió.
2. b) Explica per què els països inverteixen en telescopis i observatoris encara que no produeixin un benefici econòmic immediat.

Una galàxia del cúmul de la Verge es troba a $150\ \text{Mpc}$ de la Via Làctia. Dades: $H_0 = 70\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Aplica la llei de Hubble-Lemaître, $v = H_0 \cdot d$, per calcular la seva velocitat d'allunyament, en $\text{km/s}$.
2. b) Expressa aquesta velocitat com a fracció de la velocitat de la llum i comenta si a aquesta velocitat serien apreciables els efectes relativistes.

Pròxima Centauri és l'estel més proper al Sol: es troba a $4,24\ \text{al}$. Dada: $1\ \text{al} = 9,46\cdot10^{12}\ \text{km}$.

1. a) Expressa aquesta distància en quilòmetres, amb notació científica.
2. b) Quant de temps triga la seva llum a arribar a la Terra?
3. c) Si en aquest estel tingués lloc avui una flamarada espectacular, la podríem observar aquesta mateixa nit? Raona la resposta.

Sírius, l'estel més brillant del cel nocturn, es troba a $2,64\ \text{pc}$ del Sol. Dades: $1\ \text{pc} = 3,26\ \text{al}$; $1\ \text{al} = 9,46\cdot10^{12}\ \text{km}$.

1. a) Expressa la distància a Sírius en anys llum.
2. b) Expressa-la en quilòmetres, amb notació científica.
3. c) Quant de temps trigaria a arribar a Sírius un senyal de ràdio enviat avui des de la Terra?

El pàrsec es defineix a partir de la paral·laxi anual: un estel està a $1\ \text{pc}$ si la seva paral·laxi val un segon d'arc. A la pràctica es fa servir la relació $d\ (\text{pc}) = \frac{1}{p}$, amb la paral·laxi $p$ mesurada en segons d'arc. La missió Gaia va mesurar per a un estel una paral·laxi de $0,02''$. Dada: $1\ \text{pc} = 3,26\ \text{al}$. L'esquema mostra la geometria de la paral·laxi anual (la figura no està a escala).

1. a) Calcula la distància a aquest estel en pàrsecs.
2. b) Converteix el resultat a anys llum.
3. c) Raona per què aquest mètode només serveix per a estels relativament propers: què li passa a la paral·laxi quan l'estel està molt lluny?

Una estimació senzilla de l'edat de l'univers és l'anomenat «temps de Hubble», $t_0 \approx \frac{1}{H_0}$. Dades: $H_0 = 70\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$; $1\ \text{Mpc} = 3,086\cdot10^{19}\ \text{km}$; $1\ \text{any} = 3,156\cdot10^{7}\ \text{s}$.

1. a) Expressa $H_0$ en unitats de $\text{s}^{-1}$.
2. b) Calcula $t_0 = \frac{1}{H_0}$ en segons.
3. c) Expressa el resultat en anys i compara'l amb l'edat acceptada de l'univers, $1,38\cdot10^{10}\ \text{anys}$.

La galàxia d'Andròmeda (M31) es troba a uns $2,5\cdot10^{6}\ \text{al}$ de la Via Làctia. Dada: $1\ \text{pc} = 3,26\ \text{al}$.

1. a) Expressa aquesta distància en pàrsecs i en megapàrsecs.
2. b) Quant de temps ha trigat a arribar-nos la llum amb què avui observem Andròmeda?
3. c) Explica a què ens referim quan diem que en astronomia «mirar lluny és mirar al passat».

El Sol irradia una potència de $3,9\cdot10^{26}\ \text{W}$, obtinguda en la fusió d'hidrogen en heli, procés en el qual una petita part de la massa es converteix en energia segons $E = m \cdot c^2$. Dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; $1\ \text{any} = 3,156\cdot10^{7}\ \text{s}$.

1. a) Calcula la massa que el Sol converteix en energia cada segon.
2. b) Calcula la massa convertida en un any.
3. c) Comenta el resultat: et sembla que el Sol s'està «consumint» a un ritme preocupant? Per què?

El desplaçament cap al roig de l'espectre d'una galàxia indica que s'allunya de nosaltres a $2100\ \text{km/s}$. Dades: $H_0 = 70\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$; $1\ \text{pc} = 3,26\ \text{al}$. La figura compara l'espectre de referència, mesurat al laboratori, amb l'observat en aquesta galàxia.

1. a) Utilitza la llei de Hubble-Lemaître per calcular a quina distància es troba, en $\text{Mpc}$.
2. b) Expressa aquesta distància en anys llum.
3. c) Explica què li passa a la longitud d'ona de la llum quan la font s'allunya de l'observador i per què diem que l'espectre «s'enrogeix».

La sonda Voyager 1, llançada el 1977, és l'objecte construït per l'ésser humà més allunyat de la Terra: es troba a unes $160\ \text{UA}$ del Sol i s'allunya a $17\ \text{km/s}$. Dades: $1\ \text{UA} = 1,5\cdot10^{8}\ \text{km}$; $1\ \text{al} = 9,46\cdot10^{12}\ \text{km}$; $1\ \text{any} = 3,156\cdot10^{7}\ \text{s}$.

1. a) Expressa la seva distància actual en quilòmetres i en anys llum.
2. b) Suposant que mantingués la seva velocitat constant, calcula quants anys trigaria a assolir una distància de $1\ \text{al}$ del Sol.
3. c) En vista del resultat, justifica per què els viatges tripulats interestel·lars no són viables amb la tecnologia actual.

Dues galàxies es troben a $100\ \text{Mpc}$ i a $300\ \text{Mpc}$ de nosaltres, respectivament. Dades: $H_0 = 70\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la velocitat d'allunyament de cadascuna segons la llei de Hubble-Lemaître.
2. b) A quina distància es trobaria una galàxia la velocitat d'allunyament de la qual fos $\frac{c}{4} = 7,5\cdot10^{4}\ \text{km/s}$?
3. c) El 1998, les observacions de supernoves llunyanes van mostrar que aquestes galàxies estan més lluny del que prediu una expansió a ritme constant. Explica quina conclusió es va extreure sobre l'expansió de l'univers i quin component misteriós es va proposar per explicar-la.

S'estima que el Sol romandrà a la seqüència principal uns $10^{10}\ \text{anys}$ en total, irradiant una potència de $3,9\cdot10^{26}\ \text{W}$. Dades: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; massa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; $1\ \text{any} = 3,156\cdot10^{7}\ \text{s}$.

1. a) Calcula l'energia total que irradiarà el Sol durant tota la seva etapa a la seqüència principal.
2. b) Fent servir $E = m \cdot c^2$, calcula la massa equivalent a aquesta energia.
3. c) Troba quina fracció de la massa del Sol representa aquesta massa i comenta per què el Sol no s'apagarà de manera brusca «per falta de combustible».
4. d) Descriu breument què li passarà al Sol des que esgoti l'hidrogen del seu nucli fins al seu estat final.

Els rellotges atòmics dels satèl·lits GPS s'avancen uns $38\ \mu\text{s}$ al dia respecte als rellotges a la superfície terrestre, per efectes combinats de la relativitat especial i de la relativitat general. Dada: $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) El GPS determina la posició mesurant el temps que triga a arribar el senyal de ràdio, que viatja a la velocitat de la llum. Calcula l'error de distància que suposa un error de temps de $38\ \mu\text{s}$.
2. b) Si no es corregissin els efectes relativistes, estima l'error de posició acumulat en un dia i comenta si el GPS continuaria sent útil per a la navegació.
3. c) Utilitza aquest exemple per argumentar per què la física teòrica més abstracta (relativitat, física quàntica) té un impacte directe en la tecnologia quotidiana.

Les mesures actuals de la constant de Hubble no coincideixen entre si: el fons còsmic de microones (satèl·lit Planck) suggereix $H_0 = 67\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$, mentre que les supernoves de galàxies properes (telescopis Hubble i James Webb) donen $H_0 = 73\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{Mpc}^{-1}$. Dades: $1\ \text{Mpc} = 3,086\cdot10^{19}\ \text{km}$; $1\ \text{any} = 3,156\cdot10^{7}\ \text{s}$. La gràfica esquematitza les dues mesures de $H_0$.

1. a) Calcula el «temps de Hubble», $t_0 \approx \frac{1}{H_0}$, en anys, per a cadascun dels dos valors.
2. b) Troba la diferència entre totes dues edats estimades de l'univers.
3. c) Aquesta discrepància es coneix com a «tensió de Hubble». Explica per què preocupa els cosmòlegs i què podria implicar sobre el model cosmològic estàndard.

La Via Làctia té un diàmetre d'uns $10^{5}\ \text{al}$ i la galàxia d'Andròmeda es troba a $2,5\cdot10^{6}\ \text{al}$ de nosaltres. Dades: $1\ \text{al} = 9,46\cdot10^{15}\ \text{m}$; diàmetre del Sol $d_S = 1,4\cdot10^{9}\ \text{m}$.

1. a) Calcula quants «diàmetres galàctics» caben en la distància que separa la Via Làctia d'Andròmeda.
2. b) Construeix un model a escala: si representéssim la Via Làctia com un plat de $20\ \text{cm}$ de diàmetre, a quina distància col·locaries el plat que representa Andròmeda?
3. c) Calcula quina mida tindria el Sol en aquest mateix model, expressa-la en notació científica i comenta què conclous sobre com de «buit» està l'univers.

Un forat negre és la resta final dels estels molt massius. La seva «frontera» és l'horitzó d'esdeveniments, el radi del qual (radi de Schwarzschild) ve donat per $R_S = \frac{2 \cdot G \cdot M}{c^2}$. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$; massa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el radi de Schwarzschild del Sol, és a dir, la mida a la qual caldria comprimir-lo perquè es convertís en un forat negre.
2. b) Sense repetir tot el càlcul, raonant per proporcionalitat, troba el radi de Schwarzschild d'un romanent estel·lar de $25\ M_S$.
3. c) Explica quines etapes travessa un estel de $25\ M_S$ des de la seqüència principal fins a formar aquest forat negre.

Un grup d'alumnes analitza les dades de tres galàxies obtingudes amb un telescopi escolar:

• galàxia 1: distància $10\ \text{Mpc}$, velocitat d'allunyament $700\ \text{km/s}$

• galàxia 2: distància $25\ \text{Mpc}$, velocitat d'allunyament $1750\ \text{km/s}$

• galàxia 3: distància $40\ \text{Mpc}$, velocitat d'allunyament $2800\ \text{km/s}$

La gràfica representa les dades de les tres galàxies.

1. a) Calcula el quocient $\frac{v}{d}$ per a cada galàxia i comprova que és aproximadament constant.
2. b) Identifica quina magnitud representa aquest quocient i dona el seu valor amb les seves unitats.
3. c) Prediu la velocitat d'allunyament d'una quarta galàxia situada a $60\ \text{Mpc}$.
4. d) Explica per què aquesta proporcionalitat és una evidència de l'expansió de l'univers i no pas que les galàxies «fugin» de nosaltres movent-se per l'espai.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Repte del tema. Com mesurem l'univers si no hi podem viatjar? Converteix-te en astrofísic i reprodueix el fonament de les «espelmes estàndard» per comprendre l'expansió còsmica.

1. Mesurament casolà: En una habitació a les fosques, col·loca una bombeta puntual i mesura amb l'app gratuïta Phyphox (sensor de llum del teu mòbil) la il·luminació $E$ a 5 distàncies $r$ diferents (entre $0,20\text{ m}$ i $1,00\text{ m}$). Anota les incerteses instrumentals associades ($\pm\Delta r$, $\pm\Delta E$).

2. Tractament de dades: Elabora una taula amb els teus valors ($r$, $1/r^2$, $E$). Representa $E$ enfront d'$1/r^2$, traça la recta d'ajust i calcula el seu pendent amb la seva incertesa per contrastar la llei de l'invers del quadrat del flux lluminós.

3. Connexió cosmològica: Consulta al web oficial de l'ESA o NASA dades de distància i brillantor de dues supernoves tipus Ia reals. Raona per què conèixer la seva lluminositat permet mesurar distàncies extragalàctiques i sustentar la llei de Hubble-Lemaître.

4. Producte final: Lliura un informe breu (dues pàgines) que integri la taula, la gràfica analitzada i la teva justificació cosmològica.

Es valorarà:

• Rigor experimental en la presa de mesures casolanes i el tractament d'incerteses.

• Qualitat tècnica de la taula i la representació gràfica amb linealització adequada.

• Coherència en la justificació física de les espelmes estàndard en la cosmologia actual.