Exercicis: Interacció amb càrregues en moviment

Una càrrega elèctrica es troba en repòs dins d'un camp magnètic uniforme. El mòdul de la força de Lorentz és $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$.

1. a) Actua alguna força magnètica sobre ella? Justifica-ho amb la fórmula.
2. b) La càrrega es posa en moviment en la direcció exacta del camp ($\alpha = 0^\circ$). Canvia la resposta? Per què?

El mòdul de la força de Lorentz és $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ i la seva direcció ve donada pel producte vectorial $\vv{F} = q\cdot(\vv{v}\wedge\vv{B})$, que es determina amb la regla de la mà dreta. Un protó es mou horitzontalment cap a l'est dins d'un camp magnètic uniforme dirigit també horitzontalment cap al nord. La situació, vista des de dalt, es representa a la figura.

1. a) Determina la direcció i el sentit de la força sobre el protó.
2. b) Quin seria el sentit de la força si la partícula fos un electró? Justifica la diferència.

Un protó ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) es mou a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ en direcció perpendicular a un camp magnètic $B = 0,5\ \text{T}$. Calcula el mòdul de la força de Lorentz sobre ell, $F = q\cdot v\cdot B$.

La força de Lorentz sobre una càrrega en moviment és sempre perpendicular a la seva velocitat.

1. a) Tenint en compte que el treball depèn de la component de la força en la direcció del desplaçament, explica per què la força magnètica no fa treball sobre la càrrega.
2. b) Què li passa llavors al mòdul de la velocitat de la càrrega?
3. c) I a la seva energia cinètica?

Dos conductors rectilinis paral·lels porten corrents del mateix sentit.

1. a) Dibuixa al teu quadern el camp magnètic que crea el primer conductor en la posició del segon (regla de la mà dreta) i la força que aquest experimenta.
2. b) S'atreuen o es repel·leixen?
3. c) Què canvia si s'inverteix el sentit d'un dels corrents?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un electró ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra amb $v = 1\cdot10^{7}\ \text{m/s}$, perpendicularment, en un camp magnètic uniforme $B = 1\cdot10^{-3}\ \text{T}$, com es mostra a la figura.

El radi de la seva trajectòria circular és $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$. Calcula el seu valor i expressa'l en centímetres.

Una partícula carregada entra amb velocitat $\vv{v}$ perpendicular a un camp magnètic uniforme.

1. a) Explica per què la força de Lorentz actua com a força centrípeta i escriu la igualtat $q\cdot v\cdot B = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Aïlla el radi $r$ i comenta de quines magnituds depèn: augmenta o disminueix si la partícula va més ràpida? I si el camp és més intens?

A partir de l'expressió del mòdul de la força de Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B$ (cas perpendicular):

1. a) Aïlla $B$ i dedueix a quina combinació d'unitats del Sistema Internacional equival un tesla.
2. b) Fent servir que $1\ \text{C/s} = 1\ \text{A}$, expressa el tesla com a $\text{T} = \frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}$ i explica amb les teves paraules quin camp fa falta perquè una càrrega de $1\ \text{C}$ a $1\ \text{m/s}$ experimenti una força de $1\ \text{N}$.

Un protó ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra amb $v = 3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ en un camp magnètic uniforme $B = 0,8\ \text{T}$, formant un angle $\alpha = 30^\circ$ amb aquest. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el mòdul de la força de Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ ($\sen 30^\circ = 0,5$).
2. b) Per a quin angle seria màxima la força? I per a quin seria nul·la?

Un protó ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra amb $v = 5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, perpendicularment, en un camp magnètic uniforme $B = 0,2\ \text{T}$.

1. a) Calcula el radi de la seva trajectòria circular, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$, i expressa'l en centímetres.
2. b) Què passaria amb el radi si el protó entrés amb la meitat de velocitat? Raona-ho amb la fórmula.

Un electró ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) gira en un camp magnètic uniforme $B = 2\cdot10^{-3}\ \text{T}$, amb velocitat perpendicular al camp.

1. a) Iguala la força de Lorentz a la força centrípeta i, utilitzant $v = \frac{2\pi\cdot r}{T}$, demostra que el període de gir és $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$.
2. b) Calcula el seu valor.
3. c) El resultat no conté $v$ ni $r$: explica què significa això físicament.

En una demostració de laboratori, dos cables paral·lels separats $d = 10\ \text{cm}$ porten corrents del mateix sentit $I_1 = 20\ \text{A}$ i $I_2 = 30\ \text{A}$. La força per unitat de longitud entre ells és $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula la força per unitat de longitud.
2. b) Els cables s'atreuen o es repel·leixen? Justifica-ho.
3. c) Calcula la força total sobre un tram de $1\ \text{m}$ de cada cable.

Un conductor recte de $L = 40\ \text{cm}$, col·locat perpendicularment a un camp magnètic uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, porta un corrent $I = 5\ \text{A}$. La força magnètica sobre ell és $F = B\cdot I\cdot L$.

1. a) Calcula el seu mòdul.
2. b) Representa la situació al teu quadern i determina, amb la regla de la mà dreta, la direcció i el sentit de la força respecte al corrent i al camp.
3. c) Si el conductor formés $30^\circ$ amb el camp, la força seria $F = B\cdot I\cdot L\cdot\sen 30^\circ$; calcula-la.

En un espectròmetre de masses, un ió de $\text{He}^+$ ($m = 6,64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) descriu un arc circular de radi $r = 12\ \text{cm}$ en un camp $B = 0,5\ \text{T}$ perpendicular a la seva velocitat. La situació es representa a la figura.

1. a) Aïlla la velocitat de l'expressió $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) Calcula el seu valor en notació científica.

Un protó ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) i un electró ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$) entren amb la mateixa velocitat, perpendicularment, en el mateix camp magnètic uniforme.

1. a) Escriu el quocient $\frac{r_p}{r_e}$ dels radis de les seves trajectòries i calcula el seu valor.
2. b) Tenint en compte que $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, calcula també el quocient dels seus períodes i comenta quina partícula fa voltes més de pressa.

Un selector de velocitats té un camp elèctric $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ i un camp magnètic $B = 0,05\ \text{T}$, perpendiculars entre si i a la velocitat dels ions. Les forces elèctrica i magnètica es compensen quan $q\cdot E = q\cdot v\cdot B$.

1. a) Aïlla la velocitat dels ions que travessen el selector sense desviar-se i calcula-la.
2. b) Depèn aquesta velocitat de la càrrega o de la massa de l'ió? Comenta per a què serveix aquest dispositiu abans d'una regió de desviament.

Un espectròmetre de masses consta d'un selector de velocitats (camp elèctric $E = 5\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ i camp magnètic $B_1 = 0,1\ \text{T}$, perpendiculars) seguit d'una regió amb un altre camp magnètic $B_2 = 0,2\ \text{T}$, perpendicular a la velocitat, on els ions descriuen semicircumferències. Entren ions de carboni-12 i carboni-14, tots dos amb càrrega $q = e$ ($e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; unitat de massa atòmica $u = 1,66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$). L'esquema de l'aparell es mostra a la figura.

1. a) Calcula la velocitat amb què surten els ions del selector ($q\cdot E = q\cdot v\cdot B_1$).
2. b) Calcula el radi de la trajectòria de cada isòtop a la regió de desviació (pren les masses $12\cdot u$ i $14\cdot u$).
3. c) Els ions xoquen amb una placa fotogràfica a una distància del punt d'entrada igual al diàmetre de la seva semicircumferència: calcula la separació entre les dues marques que deixen.

Un protó ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra amb $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ en un camp magnètic uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, formant un angle de $60^\circ$ amb aquest, de manera que descriu una trajectòria helicoïdal ($\sen 60^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$). Observa l'esquema:

1. a) Descompon la velocitat en les seves components paral·lela i perpendicular al camp.
2. b) Calcula el radi de l'hèlix, determinat per la component perpendicular.
3. c) Calcula el període de gir, $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, i el pas d'hèlix (la distància que avança en la direcció del camp a cada volta).

Un ciclotró accelera deuterons ($m = 3,34\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) amb un camp magnètic $B = 1,2\ \text{T}$ perpendicular al pla de les trajectòries. L'esquema del ciclotró es mostra a la figura.

1. a) El generador altern s'ha de sincronitzar amb la freqüència de gir, $f = \frac{q\cdot B}{2\pi\cdot m}$; calcula-la i expressa-la en megahertzs.
2. b) Les partícules surten quan el seu radi arriba al radi de l'aparell, $R = 0,5\ \text{m}$; calcula la seva velocitat màxima amb $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
3. c) Calcula l'energia cinètica amb què surten els deuterons.

L'antiga definició d'amper (vigent fins al 2019) deia: un amper és la intensitat de corrent que, mantinguda en dos conductors paral·lels, rectilinis, de longitud infinita i separats $1\ \text{m}$ en el buit, produeix entre ells una força de $2\cdot10^{-7}\ \text{N}$ per cada metre de conductor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Escriu l'expressió de la força per unitat de longitud quan tots dos conductors porten el mateix corrent, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I^2}{2\pi\cdot d}$.
2. b) Substitueix $d = 1\ \text{m}$ i $\frac{F}{L} = 2\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$ i comprova que s'obté $I = 1\ \text{A}$.
3. c) Comenta les dificultats pràctiques d'aquesta definició (conductors «infinits», mesurar forces tan petites) enfront de la definició actual, que fixa el valor de la càrrega elemental.

Una vareta horitzontal de $L = 50\ \text{cm}$ i massa $m = 25\ \text{g}$ es troba en un camp magnètic horitzontal uniforme $B = 0,5\ \text{T}$, perpendicular a la vareta. Es vol que la força magnètica sobre la vareta, $F = B\cdot I\cdot L$, compensi exactament el seu pes (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). La situació es representa a la figura.

1. a) Planteja la condició d'equilibri entre la força magnètica i el pes, i calcula el corrent necessari.
2. b) Determina, amb la regla de la mà dreta, quina orientació relativa han de tenir el corrent i el camp perquè la força sigui vertical cap amunt.
3. c) Raona què passaria si el corrent augmentés un $10\ \%$: es mouria la vareta? Cap a on i amb quina força neta inicial?

Les línies d'alta tensió transporten el corrent d'anada i de tornada per cables paral·lels. Dos d'aquests, separats $d = 2\ \text{m}$, porten $I = 800\ \text{A}$ en sentits oposats ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Indica, justificant-ho amb la regla de la mà dreta, si la força entre els cables és d'atracció o de repulsió.
2. b) Calcula la força per unitat de longitud entre ells, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$.
3. c) En un curtcircuit el corrent pot assolir $10^{4}\ \text{A}$; calcula la nova força per unitat de longitud i explica per què els cables han d'anar fermament ancorats a les torres.

Els cinturons de Van Allen atrapen partícules carregades en el camp magnètic terrestre, molt més feble que els camps de laboratori. Un electró ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) es mou a $v = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ a la regió equatorial, on $B = 3\cdot10^{-5}\ \text{T}$, amb velocitat perpendicular al camp.

1. a) Calcula el radi de la seva trajectòria, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) En latituds properes als pols el camp és el doble, $B = 6\cdot10^{-5}\ \text{T}$; calcula-hi el radi.
3. c) Relaciona els resultats amb el fet que les trajectòries de les partícules atrapades s'«enrotllin» més estretament en acostar-se als pols.

Un protó ($m_p$, $q_p = e$) i una partícula alfa ($m_\alpha = 4\cdot m_p$, $q_\alpha = 2\cdot e$) entren amb la mateixa velocitat, perpendicularment, en el mateix camp magnètic uniforme.

1. a) Calcula el quocient $\frac{r_\alpha}{r_p}$ dels radis de les seves trajectòries.
2. b) Calcula el quocient $\frac{T_\alpha}{T_p}$ dels seus períodes de gir.
3. c) Repeteix el quocient de radis suposant que totes dues partícules entren amb la mateixa energia cinètica (utilitza $v = \sqrt{\frac{2\cdot E_c}{m}}$ en l'expressió del radi) i comenta si un espectròmetre de masses podria separar-les en cadascun dels dos casos.