Exercicis: Radicals

Expressa en forma de potència d'exponent fraccionari i simplifica al màxim l'expressió $\sqrt[6]{x^4 y^2 z^8}$, assumint que totes les variables representen nombres reals positius.

Extreu tots els factors possibles de l'interior del radical següent, simplificant l'expressió al màxim: $\sqrt[3]{108 a^5 b^7 c^3}$.

Redueix a índex comú els radicals $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ i $\sqrt[6]{30}$, i ordena'ls de menor a major justificant la teva resposta.

Fes les sumes i restes dels radicals semblants següents, extreient factors prèviament per poder simplificar el resultat: $5\sqrt{18} - 2\sqrt{50} + \sqrt{8}$.

Multiplica els radicals següents del mateix índex i extreu els factors possibles del resultat final: $\sqrt[4]{27a^2b^3} \cdot \sqrt[4]{3a^3b}$.

Calcula la potència del radical següent i simplifica el resultat extreient tots els factors possibles (assumeix variables positives): $(\sqrt[4]{8x^3y^2})^2$.

Simplifica la següent expressió aplicant la propietat de l'arrel d'una arrel i expressant el resultat amb un únic radical: $\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}$.

Determina si els radicals $\sqrt[4]{25x^2}$ i $\sqrt{5x}$ són equivalents per a qualsevol valor de $x > 0$. Justifica el teu procediment utilitzant exponents fraccionaris.

En un examen de Matemàtiques I, en Marcos ha de racionalitzar l'expressió $\frac{6}{\sqrt[3]{2}}$. Per resoldre-ho, escriu el procediment següent en el seu examen:

En veure que al denominador continua quedant una arrel, en Marcos conclou: «Aquesta fracció no es pot racionalitzar perquè l'índex és 3 i en multiplicar l'arrel per si mateixa mai s'elimina el radical».

1. a) Identifica l'error conceptual que ha comès en Marcos en triar el factor per racionalitzar i explica quina propietat de les potències va oblidar tenir en compte respecte a l'exponent necessari dins del radicand.
2. b) Corregeix l'exercici pas a pas, mostrant com s'ha de racionalitzar adequadament i simplificant al màxim el resultat final.

Considera el nombre real $N = \frac{1}{\sqrt{10} - 3}$.

1. a) Sense utilitzar calculadora ni calcular prèviament decimals exactes, estima de manera raonada l'ordre de magnitud de $N$: sabent que $3 < \sqrt{10} < 3,2$, raona si el denominador és un nombre proper a zero o més gran que 1 i dedueix si el valor de $N$ serà un nombre petit o sensiblement superior a 1.
2. b) Racionalitza l'expressió de $N$ multiplicant pel conjugat del denominador i simplifica completament el resultat.
3. c) Prenent l'aproximació $\sqrt{10} \approx 3,16$, troba el valor decimal de l'expressió simplificada i comprova si confirma la teva estimació inicial de l'apartat a).

Racionalitza el denominador de la següent expressió i simplifica el resultat final extreient factors si és possible: $\frac{6x}{\sqrt[5]{8x^2y^3}}$.

Racionalitza el denominador multiplicant per l'expressió conjugada i simplifica operant el numerador: $\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}$.

Efectua la següent operació combinada amb radicals de diferent índex, expressant el resultat final amb un únic radical simplificat: $\frac{\sqrt{2x} \cdot \sqrt[3]{4x^2}}{\sqrt[6]{8x^5}}$.

El període $T$ d'un pèndol simple ve donat per la fórmula física $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, on $L$ és la longitud de la corda i $g$ la gravetat. Si un enginyer necessita que el nou període sigui exactament $\sqrt{2} + 1$ vegades el període original, per quin factor exacte ha de multiplicar la longitud $L$ original? Expressa el teu raonament algebraicament desenvolupant el binomi al quadrat.

En un prisma rectangular, les longituds de les seves tres arestes concurrents mesuren exactament $\sqrt{2}$ m, $\sqrt{3}$ m i $\sqrt{5}$ m. Calcula el valor exacte de la diagonal espacial del prisma ($D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$) i el seu volum, expressant tots dos resultats en la seva forma radical més simple.

El tipus d'interès compost anual $r$ (expressat en tant per un) necessari perquè un capital inicial $C_0$ es converteixi en un capital final $C_n$ al cap de $n$ anys ve donat per $r = \sqrt[n]{\frac{C_n}{C_0}} - 1$. Calcula el valor exacte del tipus $r$ si una inversió multiplica el seu valor per $\frac{5}{2}$ en exactament 3 anys. Racionalitza el radical resultant en la teva resposta.

Desenvolupa la següent expressió utilitzant les identitats notables per al quadrat d'una resta i el producte de binomis, i agrupa els termes semblants: $(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

Segons la llei de Kleiber en biologia, la taxa metabòlica basal $R$ d'un mamífer escala amb la seva massa corporal $M$ segons la relació $R = k \sqrt[4]{M^3}$, on $k$ és una constant. Si un animal $A$ té una massa exactament $27$ vegades més gran que la d'un animal $B$, determina la raó exacta $\frac{R_A}{R_B}$ utilitzant propietats dels radicals i extreient factors.

Es vol construir una fracció amb radicals de la forma $\frac{k}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$, on $a$, $b$ i $k$ són nombres enters positius, amb $a > b$ i on cap dels dos radicands és un quadrat perfecte. S'exigeix que, després de racionalitzar i simplificar al màxim, el resultat obtingut sigui exactament $\sqrt{7} - \sqrt{3}$.

1. a) Desenvolupa algebraicament la racionalització de l'expressió general mitjançant el producte pel conjugat i dedueix quina relació numèrica exacta hi ha d'haver entre $k$, $a$ i $b$ perquè el denominador desaparegui completament i el numerador coincideixi amb el resultat exigit.
2. b) Proporciona una terna concreta de nombres enters $(a, b, k)$ que compleixi totes les condicions de l'enunciat.
3. c) Justifica de manera raonada si la solució $(a, b, k)$ que has donat és única o si hi ha infinites ternes de nombres enters que compleixin aquesta condició. En cas que n'hi hagi infinites, descriu la regla que les relaciona totes.

En una instal·lació experimental d'energia minieòlica a Albacete, la potència elèctrica $P$ (en watts, $\text{W}$) generada per un aerogenerador es modelitza mitjançant la fórmula $P = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot S \cdot v^3$, on $\rho$ és la densitat de l'aire a la zona ($\rho = 1,2\text{ kg/m}^3$), $S$ és l'àrea circular escombrada per les pales en $\text{m}^2$ ($S = \pi \cdot R^2$) i $v$ és la velocitat del vent en $\text{m/s}$.

Les dades tècniques del prototip indiquen que el radi de les seves pales és $R = \sqrt[4]{125}\text{ m}$ i els anemòmetres registren una velocitat mitjana del vent de $v = \sqrt[6]{125}\text{ m/s}$.

1. a) Expressa tant el radi $R$ com la velocitat $v$ en forma de potències de base 5 amb exponent fraccionari irreductible.
2. b) Expressa la densitat $\rho = 1,2$ com a fracció irreductible i substitueix tots els termes en la fórmula de la potència. Aplica exclusivament les propietats de les potències d'igual base per simplificar l'expressió i obtenir el valor exacte de $P$ com un nombre enter multiplicat per $\pi$, sense radicals ni denominadors.
3. c) Sabent que $1\text{ kW} = 1000\text{ W}$, calcula la potència generada en quilowatts prenent $\pi \approx 3,14$ i interpreta si el resultat té un ordre de magnitud raonable per a un dispositiu d'ús domèstic.

Simplifica al màxim la següent expressió amb radicals anidats, reduint-la a un únic radical i extreient tots els factors possibles (assumeix que les variables són reals positius):

$\sqrt[4]{\frac{x^3 y}{z} \sqrt[3]{\frac{z^2}{x y^2} \sqrt{\frac{x}{y}}}}$.

Racionalitza el denominador de la següent fracció que conté tres termes radicals i simplifica el resultat final: $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$.

Demostra algebraicament que el nombre irracional $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ és, en realitat, un nombre enter. Planteja l'equació $x^2$ i utilitza les identitats notables per resoldre'l.

En un pentàgon regular de costat $L = 2$ cm, la longitud de qualsevol diagonal $D$ està relacionada amb el costat mitjançant el nombre auri $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, complint $D = L \cdot \Phi$. Traça una diagonal horitzontal per dividir el pentàgon en un triangle isòsceles superior i un trapezi isòsceles inferior. Utilitzant el teorema de Pitàgores, calcula el valor exacte de l'altura total $h$ del pentàgon sumant les altures de totes dues figures. Expressa el resultat final de la forma més simplificada possible.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El factor de Lorentz en la teoria de la relativitat especial es defineix com a $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. Si una partícula subatòmica viatja a una velocitat $v = \frac{\sqrt{5}}{3}c$, calcula el valor exacte de $\gamma$. Posteriorment, determina a quina velocitat exacta $v$ (en funció de $c$) ha de viatjar perquè el factor sigui $\gamma = \sqrt{2} + 1$, racionalitzant el resultat si és necessari.

La tensió màxima $S$ suportada per la base d'una cúpula arquitectònica modelada mitjançant una secció cònica ve donada per l'expressió $S = \frac{P}{\sqrt{a^2 + b^2 - a\sqrt{b}}}$. Si la càrrega estructural és de $P = 14$ tones, amb paràmetres geomètrics $a = \sqrt{2}$ i $b = 8$, calcula el valor exacte de la tensió $S$ racionalitzant el resultat final.

Simplifica completament la següent expressió algebraica, operant les fraccions mitjançant un denominador comú i aplicant les propietats dels radicals conjugats:

$\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$.

Considera l'espiral de Teodor, construïda mitjançant triangles rectangles contigus. El primer triangle té catets iguals de longitud $a$. L'enèsim triangle té com a catets la hipotenusa del triangle anterior i un nou catet de longitud $a$. Si l'àrea del sisè triangle de la seqüència és exactament $A_6 = 12\sqrt{6}$ cm², calcula el valor exacte del paràmetre $a$ i, amb aquest, determina el perímetre exacte del tercer triangle de l'espiral simplificant els radicals.

Per calcular el valor numèric de l'expressió $E = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$, es poden seguir dues estratègies algebraiques:

• Mètode 1 (Racionalització individual): Racionalitzar cada sumand per separat multiplicant cada numerador i denominador pel conjugat del seu propi denominador, i sumar al final les expressions obtingudes.

• Mètode 2 (Comú denominador directe): Tractar l'expressió com una suma de fraccions amb diferent denominador, calculant el comú denominador de manera directa mitjançant el producte de tots dos denominadors i operant els numeradors creuats.

1. a) Desenvolupa completament tots dos mètodes pas a pas i comprova que s'arriba exactament al mateix nombre enter.
2. b) Compara tots dos camins: quin dels dos mètodes és més avantatjós i minimitza el nombre de productes de binomis? Justifica la teva elecció analitzant l'estructura dels denominadors involucrats.
3. c) Utilitza el mètode que has seleccionat com a més eficient a l'apartat b) per generalitzar el càlcul: dedueix una expressió simplificada per a $S(a, b) = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} + \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ (amb $a, b > 0$ i $a \neq b$), presentant-la com una única fracció algebraica sense arrels.

L'estàndard UNE-EN ISO 216, emprat a Espanya per a la normalització de formats de paper (sèrie DIN), estableix dues condicions per al plec base $\text{DIN A0}$: la seva àrea total ha de ser exactament $1\text{ m}^2$, i si el plec es talla per la meitat paral·lelament al seu costat menor, els dos rectangles resultants han de conservar exactament la mateixa proporció d'aspecte (semblança geomètrica) que el plec inicial.

1. a) Si anomenem $x$ al costat menor i $y$ al costat major d'un plec ($y > x$), demostra algebraicament que la condició de semblança després del tall obliga de manera única que la raó entre costats sigui $\frac{y}{x} = \sqrt{2}$. Explica per què una proporció racional estàndard (com ara $1,5$) impediria conservar la forma del document en reduir-lo.
2. b) A partir del sistema format per $\frac{y}{x} = \sqrt{2}$ i l'àrea $x \cdot y = 1$, dedueix algebraicament que l'amplada exacta del format $\text{DIN A0}$ és $x = \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\text{ m}$ i la seva llargada és $y = \sqrt[4]{2}\text{ m}$. Racionalitza l'expressió de l'amplada $x$ per expressar-la amb un radical al numerador i un enter al denominador.
3. c) Sabent que un full estàndard $\text{DIN A4}$ s'obté doblant quatre vegades consecutives el plec $\text{DIN A0}$, les seves dimensions són $x_4 = \frac{x}{4}$ i $y_4 = \frac{y}{4}$. Obtén l'expressió exacta del perímetre d'un full $\text{DIN A4}$ en metres, presentant-la com una única fracció racionalitzada amb denominador enter i el numerador de la qual tingui la forma $a\sqrt[4]{b} + c\sqrt[4]{d}$, havent extret tots els factors possibles.

Repte del tema. Auditoria energètica i de xarxa elèctrica.

1. Dades i conjunts: Entra al web de Red Eléctrica de España (REE-RedOS) i extreu la demanda elèctrica peninsular actual (en MW). Expressa el valor en W fent servir la notació científica, situa'l a la recta real i classifica'l en els conjunts numèrics ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$).

2. Errors i valor absolut: Arrodoneix la demanda mitjana a dues xifres significatives i troba l'error absolut i el relatiu comesos. Planteja mitjançant una inequació amb funció valor absolut, $|x - x_0| \le 0,05 \cdot x_0$, l'interval de tolerància del $5\,\%$ admisible per la xarxa, representant-lo sobre la recta real.

3. Complexos i funció racional: A GeoGebra, calcula la impedància total d'un transformador operant en forma polar: multiplica $Z_1 = 15_{45^\circ}\,\Omega$ per $Z_2 = 2_{-15^\circ}\,\Omega$ i divideix el resultat entre $Z_3 = 6_{30^\circ}\,\Omega$. Finalment, grafica el corrent elèctric en funció d'una resistència variable $R$ mitjançant la funció racional $I(R) = \frac{230}{R + 4,5}$ i descriu les seves asímptotes.

Elabora un breu informe amb les teves captures, càlculs i conclusions.

Es valorarà:

• Rigor en la notació científica, classificació en conjunts i càlcul d'errors.

• Correcta modelització de l'interval de tolerància mitjançant la funció valor absolut.

• Precisió en l'àlgebra de complexos en forma polar i anàlisi gràfica de la funció racional.