Exercicis: El sòlid rígid i el moment d'una força

Per obrir una porta empenys perpendicularment a aquesta amb una força de $25\ \text{N}$ aplicada a $0,8\ \text{m}$ de les bisagres, com es mostra a la figura (vista des de dalt).

Calcula el moment de la força respecte a l'eix de les bisagres, $M = F \cdot d$, i indica la seva unitat en el Sistema Internacional.

Explica, recolzant-te en la fórmula del moment $M = F \cdot d$, dos fets quotidians: per què el pom d'una porta es col·loca al més lluny possible de les bisagres i per què una clau fixa més llarga permet afluixar femelles més collades amb la mateixa força.

En un carretó de jardí carregat de terra:

1. a) Identifica on són el fulcre, la potència i la resistència.
2. b) Indica quin element queda entre els altres dos i dedueix de quin gènere de palanca es tracta.

Dos nens juguen amb la porta giratòria d'un hotel. L'un l'empeny en sentit horari produint un moment de $12\ \text{N}\cdot\text{m}$ i l'altre l'empeny en sentit antihorari produint un moment de $12\ \text{N}\cdot\text{m}$.

1. a) Prenent com a positiu el sentit antihorari, assigna un signe a cada moment.
2. b) Calcula el moment total sobre la porta i indica si començarà a girar (la porta estava inicialment en repòs).

Un nen empeny un carrusel apuntant amb la seva força just cap a l'eix central, i per molt que empeny no aconsegueix fer-lo girar. La situació es mostra a la figura (vista des de dalt).

1. a) Explica, fent servir la definició de moment d'una força, per què el moment que produeix és nul.
2. b) Indica com hauria d'orientar la seva empenta per aconseguir el màxim moment amb la mateixa força.

Sobre el volant d'un cotxe actuen dues forces iguals i de sentits oposats, una a cada extrem d'un diàmetre: la suma de les forces és zero i, tanmateix, el volant gira.

1. a) Explica per què la condició $\sum \vec{F} = 0$ no n'hi ha prou per garantir l'equilibri d'un sòlid rígid.
2. b) Enuncia les dues condicions que ha de complir un sòlid rígid per estar en equilibri complet.

1. a) On és, aproximadament, el centre de gravetat d'un regle uniforme? Descriu com podries comprovar-ho recolzant-lo sobre un dit.
2. b) Explica què li passa a un objecte recolzat a terra quan la vertical que passa pel seu centre de gravetat cau fora de la seva base de sustentació, i posa un exemple quotidià.

En un gronxador de palanca, una nena de $40\ \text{kg}$ s'asseu a $1,5\ \text{m}$ de l'eix de gir i una altra de $30\ \text{kg}$ s'asseu a $2\ \text{m}$ de l'eix, al costat contrari, com es mostra a la figura.

Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el moment del pes de cada nena respecte a l'eix, indicant el sentit de gir que produeix cadascuna.
2. b) Comprova que la suma de moments és zero i dedueix si el gronxador està en equilibri.

En un gronxador de palanca, un nen de $45\ \text{kg}$ s'asseu a $1,6\ \text{m}$ de l'eix. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el moment del seu pes respecte a l'eix.
2. b) Calcula a quina distància de l'eix s'ha d'asseure, a l'altre costat, un nen de $40\ \text{kg}$ perquè el gronxador quedi en equilibri.

Un carretó d'obra porta una càrrega de $480\ \text{N}$ situada a $0,5\ \text{m}$ de l'eix de la roda, i l'operari subjecta els mànecs a $1,5\ \text{m}$ de l'eix, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la força vertical que ha de fer l'operari per mantenir el carretó en equilibri.
2. b) Compara aquesta força amb el pes de la càrrega i explica quin avantatge ofereix aquesta palanca.

Un trencanous fa sobre una nou una força resistent de $150\ \text{N}$ aplicada a $0,03\ \text{m}$ del fulcre, i la mà prem a $0,12\ \text{m}$ del fulcre.

1. a) Calcula el moment que fa la nou respecte al fulcre, en $\text{N}\cdot\text{m}$.
2. b) Calcula la força mínima que ha de fer la mà per trencar la nou.

Per afluixar la femella d'una roda cal un moment de $120\ \text{N}\cdot\text{m}$.

1. a) Calcula la força que cal fer amb una clau de $0,3\ \text{m}$ de longitud, empenyent perpendicularment.
2. b) Calcula la força necessària si s'allarga la clau amb un tub fins a $0,6\ \text{m}$.
3. c) Explica, a la vista dels resultats, per què els mecànics fan servir mànecs allargadors.

El vent empeny un panell solar portàtil amb una força de $50\ \text{N}$ aplicada a $0,9\ \text{m}$ del seu eix de gir i formant un angle de $30^\circ$ amb el braç del panell, com es mostra a la figura.

Quan la força no és perpendicular al braç, el moment val $M = F \cdot d \cdot \sen \alpha$ (fes servir $\sen 30^\circ = 0,5$).

1. a) Calcula el moment de la força del vent respecte a l'eix.
2. b) Raona per a quin angle d'incidència el moment seria màxim amb aquesta mateixa força.

Dos operaris fan girar el volant d'una vàlvula industrial empenyent en sentits oposats: l'un fa $40\ \text{N}$ a $0,5\ \text{m}$ de l'eix en sentit antihorari i l'altre fa $50\ \text{N}$ a $0,3\ \text{m}$ de l'eix en sentit horari.

1. a) Calcula el moment de cada força assignant signe positiu al sentit antihorari.
2. b) Calcula el moment resultant sobre el volant i indica en quin sentit girarà.

Una barra homogènia de $3\ \text{m}$ es fa servir com a gronxador de palanca: a l'extrem esquerre s'hi asseu una persona de $60\ \text{kg}$ i al dret una de $20\ \text{kg}$, com es mostra a la figura.

Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el pes de la barra.

1. a) Planteja la condició d'equilibri de moments respecte al punt de suport, anomenant $x$ la distància d'aquest punt a l'extrem esquerre.
2. b) Resol l'equació i calcula on s'ha de col·locar el suport.
3. c) Explica per què el punt de suport queda més a prop de la persona més pesant.

Un pescador sosté horitzontal la seva canya: el peix estira de l'extrem amb una força de $25\ \text{N}$ a $2\ \text{m}$ de la mà que fa de fulcre, i l'altra mà empeny cap amunt a $0,4\ \text{m}$ del fulcre.

1. a) Calcula la força que ha de fer la mà per mantenir la canya en equilibri.
2. b) Compara aquesta força amb la que fa el peix, identifica de quin gènere de palanca es tracta i explica què s'hi guanya a canvi de fer més força.

Una passarel·la uniforme de $5\ \text{m}$ i $80\ \text{kg}$ està recolzada horitzontalment sobre dos suports situats als seus extrems. Una persona de $60\ \text{kg}$ està dreta sobre la passarel·la, a $1\ \text{m}$ de l'extrem esquerre, com es mostra a la figura.

Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el pes de la passarel·la i el de la persona, i indica en quin punt actua cadascun.
2. b) Aplicant la condició d'equilibri de moments respecte al suport esquerre, calcula la força que exerceix el suport dret.
3. c) Aplicant $\sum \vec{F} = 0$, calcula la força que exerceix el suport esquerre.
4. d) Comprova el resultat verificant la condició de moments respecte al suport dret.

Un balancí té l'eix al centre. Al costat esquerre seu un nen de $30\ \text{kg}$ a $2\ \text{m}$ de l'eix; al costat dret hi ha un nen de $20\ \text{kg}$ a $2\ \text{m}$ de l'eix i un tercer nen a $1\ \text{m}$ de l'eix. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el moment total que produeix cada costat.
2. b) Calcula la massa del tercer nen perquè el balancí estigui en equilibri.
3. c) Proposa una altra combinació de massa i distància per al tercer nen que també doni equilibri, i explica què tenen en comú totes les solucions.

Una romana de peixateria té el ganxo de la mercaderia a $5\ \text{cm}$ del fulcre i fa servir una pesa corredissa de $0,5\ \text{kg}$, com es mostra a la figura.

Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el pes d'un peix de $2\ \text{kg}$ i el de la pesa corredissa.
2. b) Calcula a quina distància del fulcre s'ha de col·locar la pesa per equilibrar aquest peix.
3. c) Calcula la marca corresponent a un peix de $3,5\ \text{kg}$ i dedueix, comparant els apartats, per què les marques de la romana estan igualment espaiades.

1. a) Explica amb les teves paraules què és el centre de gravetat d'un cos.
2. b) Una furgoneta de repartiment circula amb diversos paquets pesants lligats a la baca del sostre. Explica, utilitzant el moment del pes i la posició del centre de gravetat, per què és menys estable en prendre revolts o circular per pendents laterals que si la càrrega anés a terra de l'habitacle.
3. c) En un «maul» de rugbi, els jugadors flexionen les cames i separen els peus. Interpreta aquesta postura en termes de centre de gravetat i base de sustentació.

Una persona sosté una manuella de $4\ \text{kg}$ amb l'avantbraç en horitzontal. La manuella està a $32\ \text{cm}$ de l'articulació del colze i el bíceps estira l'avantbraç a $4\ \text{cm}$ del colze, com es mostra a la figura.

Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el moment del pes de la manuella respecte al colze.
2. b) Calcula la força que ha d'exercir el bíceps per mantenir l'equilibri.
3. c) Compara aquesta força amb el pes de la manuella, explica per què el múscul fa molta més força que el pes sostingut i què es guanya a canvi amb aquesta palanca.

Per obrir el portal d'una nau industrial cal un moment de $24\ \text{N}\cdot\text{m}$ respecte a les frontisses, i el tirador està a $0,8\ \text{m}$ de l'eix. Utilitza $\sen 30^\circ = 0,5$.

1. a) Calcula la força mínima necessària si s'estira perpendicularment al portal.
2. b) Calcula la força necessària si s'estira formant $30^\circ$ amb el portal (el moment val llavors $M = F \cdot d \cdot \sen \alpha$).
3. c) Raona què passaria si s'estirés en direcció paral·lela al portal i conclou quin factor, a més del mòdul de la força i la distància, determina el moment.

Una grua torre d'obra aixeca una càrrega de $2000\ \text{kg}$ a $20\ \text{m}$ del màstil, i porta un contrapès de $5000\ \text{kg}$ a l'altre costat del màstil, com es mostra a la figura.

Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el moment de la càrrega respecte al màstil.
2. b) Calcula a quina distància del màstil s'ha de col·locar el contrapès per equilibrar aquest moment.
3. c) Si la càrrega es dupliqués, calcula la nova distància necessària del contrapès i explica què passaria si aquest no es pogués allunyar prou.

Un mòbil decoratiu, com els de Calder, té una barra horitzontal de $60\ \text{cm}$ amb una figura de $100\ \text{g}$ penjant de l'extrem esquerre i una altra de $150\ \text{g}$ de l'extrem dret. Pren $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ i menysprea el pes de la barra.

1. a) Calcula el pes de cada figura.
2. b) Planteja la condició d'equilibri de moments i calcula en quin punt de la barra cal lligar el fil que la subjecta al sostre perquè quedi horitzontal.
3. c) Indica on és el centre de gravetat del conjunt en relació amb el punt de subjecció i justifica per què el mòbil penja de manera estable.

Repte del tema. Dissenya i calibra una balança romana casolana per determinar la massa desconeguda d'un clauer aplicant els principis de l'estàtica.

1. Presa de dades: Recomba un regle de $30\text{ cm}$ sobre un llapis que actuï com a fulcre. Penja el clauer en cinc posicions diferents, mesurant cada distància al fulcre ($d \pm 0,1\text{ cm}$). Equilibra el regle en cada cas col·locant grups de monedes de $2\text{ €}$ (massa oficial segons el Banc d'Espanya: $8,50\text{ g}$) i mesurant la seva distància al fulcre.

2. Tractament gràfic: Construeix una taula amb les teves mesures i incerteses. Representa gràficament el moment de la força exercida per les monedes enfront de la distància $d$ i obtén, a partir del pendent de la recta d'ajust, el valor experimental de la massa del clauer.

3. Anàlisi vectorial: Elabora el diagrama de sòlid lliure identificant totes les forces vectorials concurrents i no concurrents (pesos i reacció normal del suport). Demostra quantitativament que en l'equilibri es compleixen simultàniament $\sum \vec{F} = \vec{0}$ i $\sum \vec{M} = \vec{0}$.

4. Informe: Redacta una proposta raonada que compari el teu resultat amb la massa obtinguda en una bàscula de cuina, justificant les discrepàncies.

Es valorarà:

• Rigor en la presa de mesures experimentals, expressió d'incerteses i ajust gràfic.

• Formulació i resolució vectorial correctes de les dues condicions d'equilibri del sòlid rígid.

• Capacitat crítica en contrastar els resultats teòrics amb els experimentals.