Exercicis: Moment lineal i impuls

Una pilota de tennis de $0,06\ \text{kg}$ surt del servei a $50\ \text{m/s}$.

1. a) Escriu la definició del moment lineal, $\vec{p} = m \cdot \vec{v}$, i indica la seva unitat en el Sistema Internacional.
2. b) Calcula el mòdul del moment lineal de la pilota.

Un camió de $3000\ \text{kg}$ circula a $10\ \text{m/s}$ i una motocicleta amb el seu conductor, de $200\ \text{kg}$ en total, circula a $20\ \text{m/s}$. La figura compara tots dos vehicles.

1. a) Calcula el moment lineal de cada vehicle.
2. b) Quantes vegades és més gran el moment lineal del camió que el de la motocicleta?
3. c) Explica per què el camió, tot i que va més a poc a poc, és molt més difícil d'aturar.

En empènyer un carretó de supermercat s'exerceix una força mitjana de $20\ \text{N}$ durant $3\ \text{s}$.

1. a) Escriu la definició d'impuls mecànic, $\vec{I} = \vec{F} \cdot \Delta t$, i indica'n la unitat.
2. b) Calcula l'impuls que rep el carretó.

Una pilota de futbol de $0,4\ \text{kg}$, inicialment en repòs a terra, surt disparada a $15\ \text{m/s}$ en el servei inicial del partit.

1. a) Calcula el moment lineal de la pilota abans i després del xut.
2. b) Calcula la variació del moment lineal de la pilota, $\Delta \vec{p}$.

Dos patinadors sobre gel, inicialment en repòs i cara a cara, s'empenyen mútuament amb les mans i surten disparats en sentits oposats. L'esquema mostra la situació abans i després de l'empenta.

1. a) Quant val el moment lineal total del sistema format pels dos patinadors abans d'empènyer-se?
2. b) Tenint en compte que les forces exteriors sobre el sistema són menyspreables durant l'empenta, quant val el moment lineal total després? Enuncia el principi en què et bases.
3. c) Si un patinador té el doble de massa que l'altre, quin dels dos surt amb més velocitat? Raona la resposta.

L'impuls es mesura en $\text{N} \cdot \text{s}$ i el moment lineal en $\text{kg} \cdot \text{m/s}$.

1. a) Fent servir la definició de newton que es dedueix de $\vec{F} = m \cdot \vec{a}$, demostra que $1\ \text{N} \cdot \text{s} = 1\ \text{kg} \cdot \text{m/s}$.
2. b) Explica per què té sentit físic que l'impuls i la variació del moment lineal es mesurin en la mateixa unitat.

Una corredora de $60\ \text{kg}$ avança en línia recta cap a l'est a $3\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el mòdul del seu moment lineal.
2. b) Indica la direcció i el sentit del vector $\vec{p}$.
3. c) Què ha de passar perquè el seu moment lineal canviï? Relaciona-ho amb la força neta sobre la corredora.

En una partida de billar, la bola blanca colpeja una altra bola que estava en repòs.

1. a) Durant el xoc actuen forces molt intenses entre les boles, mentre que les forces exteriors (pes, normal i fregament amb el tapís) són comparativament menyspreables: quina magnitud es conserva per al sistema format per les dues boles?
2. b) Es conserva necessàriament la velocitat de cada bola? Explica la diferència entre conservar el moment lineal del sistema i conservar la velocitat de cada cos.

Un ciclista amb la seva bicicleta té una massa total de $80\ \text{kg}$ i circula a $54\ \text{km/h}$.

1. a) Expressa la velocitat en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula el moment lineal del conjunt.
3. c) Quin impuls cal comunicar-li, com a mínim, per aturar-lo? Indica'n el mòdul i el sentit.

En un partit de voleibol, una pilota de $0,25\ \text{kg}$ arriba a les mans d'una jugadora a $10\ \text{m/s}$ i surt retornada en sentit contrari a $20\ \text{m/s}$. El contacte amb les mans dura $0,05\ \text{s}$. L'esquema mostra la pilota abans i després del contacte.

1. a) Prenent com a positiu el sentit de sortida de la pilota, calcula la variació del seu moment lineal (compte amb els signes de les velocitats).
2. b) Aplica el teorema de l'impuls, $\vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}$, i calcula la força mitjana que la jugadora exerceix sobre la pilota.

Un carretó de laboratori de $2\ \text{kg}$, en repòs sobre un rail, rep un impuls de $10\ \text{N} \cdot \text{s}$ mitjançant un cop sec.

1. a) Aplicant $\vec{I} = \Delta \vec{p}$, calcula la velocitat que adquireix el carretó.
2. b) Quin impuls caldria comunicar-li perquè, partint del repòs, assolís el doble de velocitat? Raona la proporcionalitat entre impuls i velocitat final.

Als cotxes de xoc d'una fira, un cotxe de $2\ \text{kg}$ que avança a $3\ \text{m/s}$ n'encalça per darrere un altre de $4\ \text{kg}$ que està aturat, i queden enganxats després del xoc. L'esquema mostra la situació abans i després del xoc.

1. a) Calcula el moment lineal total del sistema abans del xoc.
2. b) Aplicant la conservació del moment lineal, calcula la velocitat amb què es mouen els dos cotxes enganxats.
3. c) Comprova que el moment lineal total després del xoc coincideix amb l'inicial.

Dos cotxes de xoc xoquen frontalment: un de $3\ \text{kg}$ que avança a $4\ \text{m/s}$ i un altre de $1\ \text{kg}$ que ve en sentit contrari, també a $4\ \text{m/s}$. Després del xoc queden enganxats.

1. a) Prenent com a positiu el sentit del cotxe més massiu, calcula el moment lineal total abans del xoc (compte amb els signes).
2. b) Calcula la velocitat del conjunt després del xoc i indica en quin sentit es mouen.
3. c) Explica què hauria passat si el moment lineal total abans del xoc hagués estat zero.

Un patinador de $60\ \text{kg}$, en repòs sobre el gel, llança horitzontalment una motxilla de $3\ \text{kg}$ a $10\ \text{m/s}$.

1. a) Quant val el moment lineal total del sistema patinador-motxilla abans del llançament?
2. b) Aplicant la conservació del moment lineal, calcula la velocitat amb què recula el patinador.
3. c) Relaciona aquest fenomen amb la propulsió dels coets.

Una pilota d'esquaix de $0,5\ \text{kg}$ arriba perpendicularment a la paret a $8\ \text{m/s}$ i rebota a $6\ \text{m/s}$ en sentit contrari. El contacte amb la paret dura $0,1\ \text{s}$.

1. a) Calcula la variació del moment lineal de la pilota (compte amb els signes de les velocitats).
2. b) Calcula la força mitjana que la paret exerceix sobre la pilota.
3. c) Per la llei d'acció i reacció, quina força exerceix la pilota sobre la paret durant el contacte? Indica'n el mòdul i el sentit.

Una astronauta de $80\ \text{kg}$ (vestit inclòs) està en repòs al costat de la seva nau, flotant a l'espai, i llança una eina de $2\ \text{kg}$ a $8\ \text{m/s}$ allunyant-la d'ella.

1. a) Quant val el moment lineal total del sistema abans del llançament?
2. b) Calcula la velocitat amb què recula l'astronauta.
3. c) Com pot aprofitar aquest mateix principi per tornar a la nau si ha quedat a la deriva? Proposa una maniobra i justifica-la.

Un vagó cisterna de $20000\ \text{kg}$ que avança a $4\ \text{m/s}$ per una via recta xoca amb dos vagons units entre si, de $10000\ \text{kg}$ cadascun, que estan aturats, i el conjunt queda enganxat després de la maniobra.

1. a) Calcula el moment lineal del sistema abans del xoc.
2. b) Calcula la velocitat del conjunt dels tres vagons després de l'enganxament.
3. c) Justifica, enunciant el principi corresponent i les condicions que es compleixen, per què es pot aplicar la conservació del moment lineal malgrat que el xoc deforma els enganxalls.

Un coet de focs d'artifici de $5\ \text{kg}$ es mou horitzontalment a $8\ \text{m/s}$ quan esclata en dos fragments. Un fragment de $3\ \text{kg}$ continua en el mateix sentit a $12\ \text{m/s}$. L'esquema mostra el coet abans d'esclatar i els dos fragments després.

1. a) Calcula el moment lineal del coet abans de l'explosió.
2. b) Aplicant la conservació del moment lineal, calcula la velocitat de l'altre fragment, de $2\ \text{kg}$.
3. c) Suposa ara que el fragment de $3\ \text{kg}$ sortís a $20\ \text{m/s}$: calcula de nou la velocitat del fragment de $2\ \text{kg}$ i interpreta el signe del resultat.

En una prova de xoc, un cotxe de $1200\ \text{kg}$ que circula a $72\ \text{km/h}$ impacta contra un mur i queda aturat en $0,1\ \text{s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Expressa la velocitat en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula la variació del moment lineal del cotxe durant el xoc.
3. c) Calcula la força mitjana que el mur exerceix sobre el cotxe.
4. d) Calcula el pes del cotxe i expressa la força del xoc com a «nombre de vegades el pes»: explica per què els xocs a aquesta velocitat són tan destructius.

Un conductor de $70\ \text{kg}$ circula a $54\ \text{km/h}$ i pateix un xoc frontal que atura el cotxe pràcticament a l'instant.

1. a) Expressa la velocitat en $\text{m/s}$ i calcula la variació del moment lineal del conductor.
2. b) L'airbag triga $0,15\ \text{s}$ a aturar el conductor: calcula la força mitjana que exerceix sobre ell.
3. c) Sense airbag, el cap del conductor, d'uns $5\ \text{kg}$, colpejaria el volant i s'aturaria en només $0,01\ \text{s}$: calcula la variació del moment lineal del cap i la força mitjana que suportaria, i compara-la amb la força que suportaria el cap si l'airbag l'aturés en $0,15\ \text{s}$.
4. d) En vista dels resultats, explica les dues funcions de l'airbag: què aconsegueix en augmentar el temps de frenada (relaciona-ho amb $\vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}$) i com reparteix la força sobre el cos.

Un operari de $60\ \text{kg}$ que neteja plàstics d'una llacuna està dret en una barca de $120\ \text{kg}$, tots dos en repòs sobre l'aigua. De sobte salta horitzontalment cap al moll amb una velocitat de $3\ \text{m/s}$.

1. a) Aplicant la conservació del moment lineal, calcula la velocitat amb què recula la barca.
2. b) Quant val el moment lineal total del sistema operari-barca abans i després del salt?
3. c) Explica per què la conservació del moment lineal deixa de ser útil per predir el moviment si l'operari es recolza al moll per saltar: continua sent el sistema operari-barca un sistema aïllat?

En un laboratori de balística es dispara horitzontalment una bala de $0,02\ \text{kg}$ a $400\ \text{m/s}$ contra un bloc de fusta de $1,98\ \text{kg}$ en repòs sobre una superfície horitzontal. La bala queda incrustada al bloc i el conjunt llisca fins a aturar-se. El coeficient de fregament entre el bloc i la superfície és $\mu = 0,4$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). L'esquema mostra l'instant abans de l'impacte i el conjunt lliscant després.

1. a) Aplica la conservació del moment lineal al xoc i calcula la velocitat del conjunt bala-bloc just després de l'impacte.
2. b) Calcula l'acceleració de frenada del conjunt (recorda que $F_r = \mu \cdot N$).
3. c) Calcula la distància que recorre el conjunt fins a aturar-se (utilitza $v^2 = 2 \cdot a \cdot x$).

Dos carretons de laboratori, de $1\ \text{kg}$ i $3\ \text{kg}$, estan en repòs i en contacte, amb una molla comprimida entre ells. En deixar anar la molla, el carretó de $1\ \text{kg}$ surt a $6\ \text{m/s}$. L'esquema mostra els carretons abans i després de deixar anar la molla.

1. a) Aplicant la conservació del moment lineal, calcula la velocitat amb què surt el carretó de $3\ \text{kg}$.
2. b) Comprova que el moment lineal total del sistema després de l'«explosió» continua sent zero.
3. c) Si es comprimeix més la molla i el carretó de $3\ \text{kg}$ surt a $3\ \text{m/s}$, a quina velocitat surt el de $1\ \text{kg}$?
4. d) Explica, a partir dels resultats, per què en una explosió el fragment lleuger sempre surt més ràpid que el pesant.

Una bola d'acer de $2\ \text{kg}$ que roda a $6\ \text{m/s}$ xoca frontalment amb una altra bola de $1\ \text{kg}$ que està en repòs. Després del xoc, la bola de $2\ \text{kg}$ continua en el mateix sentit a $2\ \text{m/s}$.

1. a) Aplicant la conservació del moment lineal, calcula la velocitat de la bola de $1\ \text{kg}$ després del xoc.
2. b) L'energia cinètica d'un cos és $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$: calcula l'energia cinètica total del sistema abans i després del xoc.
3. c) En vista de l'apartat anterior, classifica el xoc (elàstic o inelàstic) i explica el criteri que has utilitzat.

Repte del tema. Com dissenya l'enginyeria els sistemes d'absorció d'impactes? Converteix-te en pèrit de seguretat viària analitzant la física d'un xoc.

1. Presa de dades casolana: Determina la massa d'una pilota ($m \pm 0,1\text{ g}$). Deixa-la caure verticalment des de 5 alçades diferents entre $0,20\text{ m}$ i $1,00\text{ m}$ (incertesa de la cinta mètrica: $\pm 0,001\text{ m}$). Grava amb el mòbil per registrar amb precisió l'alçada de rebot de cada llançament.

2. Tractament de dades i gràfica: Construeix una taula amb les alçades, les velocitats abans i després del xoc ($v = \sqrt{2gh}$) i la variació del moment lineal $\Delta p = m(v_2 - (-v_1))$. Representa gràficament $\Delta p$ enfront de la velocitat d'impacte $v_1$ incorporant barres d'error estimades.

3. Impuls i proposta tècnica: Fes servir el vídeo a càmera lenta ($120$ o $240\text{ fps}$) per mesurar el temps de contacte $\Delta t$. Aplica el teorema de l'impuls ($I = F_{\text{mitjana}}\Delta t = \Delta p$) i la 2a llei de Newton per deduir la força mitjana de l'impacte. Repeteix deixant caure la pilota sobre un coixí i redacta un breu informe comparatiu que justifiqui l'ús de zones de deformació programada en vehicles.

Es valorarà:

• Rigor en la mesura experimental, càlcul d'incerteses i elaboració de taula i gràfica.

• Correcció científica en aplicar les lleis de la dinàmica, el moment lineal i l'impuls.

• Capacitat de transferència dels resultats a situacions reals de seguretat viària.