Exercicis: Les lleis de la dinàmica

Un AVE circula per un tram recte a velocitat constant de $300\ \text{km/h}$.

1. a) Quant val l'acceleració del tren en aquest tram?
2. b) Aplicant la primera llei de la dinàmica, quant val la força neta (resultant) que actua sobre el tren?
3. c) Si l'empenta dels motors val $5 \cdot 10^{4}\ \text{N}$, quant val la força de fregament total que s'oposa a l'avanç? Justifica-ho.

Al laboratori s'aplica una força neta de $24\ \text{N}$ a un carretó de dinàmica de $3\ \text{kg}$ que es mou sobre un carril horitzontal.

1. a) Escriu l'expressió del principi fonamental de la dinàmica, $\sum \vec{F} = m \cdot \vec{a}$, i aïlla l'acceleració.
2. b) Calcula el valor de l'acceleració del carretó.

Un operari deixa un contenidor de $10\ \text{kg}$ sobre una rampa de càrrega que forma $30^\circ$ amb l'horitzontal (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 30^\circ = 0,5$ i $\cos 30^\circ \approx 0,87$). La figura mostra el contenidor sobre la rampa.

1. a) Calcula el pes del contenidor.
2. b) Calcula la component del pes paral·lela a la rampa, $P_x = P \cdot \sen 30^\circ$.
3. c) Calcula la component perpendicular, $P_y = P \cdot \cos 30^\circ$, i indica quina força del pla l'equilibra.

Un caixó de $5\ \text{kg}$ descansa sobre el terra horitzontal d'un taller. El coeficient de fregament entre el caixó i el terra és $\mu = 0,4$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la força normal que el terra exerceix sobre el caixó.
2. b) Calcula la força de fregament quan el caixó llisca, $F_r = \mu \cdot N$.
3. c) Si s'empeny el caixó amb una força horitzontal de $20\ \text{N}$, es mourà amb velocitat constant? Raona la resposta.

Un bat colpeja una pilota de beisbol exercint sobre ella una força de $200\ \text{N}$ cap endavant. L'esquema mostra l'instant del cop.

1. a) Enuncia la llei d'acció i reacció.
2. b) Quina força exerceix la pilota sobre el bat? Indica'n el mòdul, la direcció i el sentit.
3. c) Explica per què, sent les dues forces del mateix mòdul, la pilota surt disparada i el bat amb prou feines canvia de moviment.

Una làmpada de $4\ \text{kg}$ penja en repòs d'un cable fixat al sostre (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra la làmpada penjada del cable.

1. a) Dibuixa al teu quadern les forces que actuen sobre la làmpada i indica quin cos exerceix cadascuna.
2. b) Calcula la tensió del cable.
3. c) Si el cable només resisteix una tensió màxima de $100\ \text{N}$, quina és la massa màxima de làmpada que es pot penjar?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El motor d'un patinet elèctric exerceix una força neta de $40\ \text{N}$. L'esquema compara les dues situacions.

1. a) Calcula l'acceleració quan circula només el patinet, de $20\ \text{kg}$ de massa.
2. b) Calcula l'acceleració quan transporta una motxilla i la massa total és de $40\ \text{kg}$.
3. c) Explica, a partir de $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}$, per què en duplicar la massa l'acceleració es redueix a la meitat.

Sobre un caixó de $4\ \text{kg}$ del moll de càrrega actuen dues forces horitzontals en la mateixa línia: $30\ \text{N}$ cap a la dreta i $18\ \text{N}$ cap a l'esquerra. La figura mostra el caixó amb totes dues forces.

1. a) Calcula la força neta sobre el caixó, indicant-ne el sentit.
2. b) Calcula l'acceleració del caixó.
3. c) Quina força addicional caldria aplicar perquè el caixó es mogués amb velocitat constant? Justifica-ho amb la primera llei de la dinàmica.

Un operari empeny un carretó de taller de $8\ \text{kg}$ amb una força horitzontal de $52\ \text{N}$. El coeficient de fregament amb el terra és $\mu = 0,5$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra les forces que actuen sobre el carretó.

1. a) Calcula la força normal i la força de fregament.
2. b) Calcula la força neta horitzontal sobre el carretó.
3. c) Calcula la seva acceleració.

En un experiment de laboratori es deixa caure un carretó de $2\ \text{kg}$ per un pla inclinat $30^\circ$, amb fregament negligible (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 30^\circ = 0,5$ i $\cos 30^\circ \approx 0,87$).

1. a) Calcula les components del pes paral·lela i perpendicular al pla.
2. b) Calcula l'acceleració del carretó.
3. c) Si parteix del repòs, calcula el temps que triga a recórrer $10\ \text{m}$ pel pla i la velocitat que porta al final (utilitza $x = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$ i $v = a \cdot t$).

Un trineu de rescat de $40\ \text{kg}$ baixa per un pendent nevat de $37^\circ$ amb un coeficient de fregament $\mu = 0,5$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ i $\cos 37^\circ \approx 0,8$). La figura mostra el trineu al pendent amb les forces que actuen sobre ell.

1. a) Calcula la component del pes paral·lela al pendent.
2. b) Calcula la normal i la força de fregament.
3. c) Calcula l'acceleració del trineu i comprova que no depèn de la seva massa: baixaria amb la mateixa acceleració un trineu carregat que un de buit? Raona per què.

Per arrossegar un carretó de jardí de $10\ \text{kg}$ s'estira una corda amb una força de $100\ \text{N}$ que forma $37^\circ$ amb l'horitzontal. El coeficient de fregament amb el terra és $\mu = 0,25$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ i $\cos 37^\circ \approx 0,8$). La figura mostra el carretó i la corda.

1. a) Descompon la força de la corda en les seves components horitzontal i vertical.
2. b) Tenint en compte que la corda «aixeca» una mica el carretó, calcula la força normal i la força de fregament.
3. c) Calcula la força neta horitzontal i l'acceleració del carretó.

En una politja ideal del laboratori pengen dues masses, $m_1 = 3\ \text{kg}$ i $m_2 = 5\ \text{kg}$, unides per una corda inextensible (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). Com que la corda és inextensible, totes dues masses es mouen amb la mateixa acceleració $a$, i la tensió $T$ és la mateixa en tota la corda. La figura mostra el muntatge de la politja.

1. a) Dibuixa al teu quadern les forces que actuen sobre cada massa.
2. b) Escriu el principi fonamental per a cada massa: $T - m_1 \cdot g = m_1 \cdot a$ per a la que puja i $m_2 \cdot g - T = m_2 \cdot a$ per a la que baixa.
3. c) Suma les dues equacions per eliminar $T$ i calcula l'acceleració del sistema.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una locomotora de joguina de $2\ \text{kg}$ estira dos vagons, de $2\ \text{kg}$ i $4\ \text{kg}$, units per enganxalls, exercint una força de tracció de $24\ \text{N}$ (considera negligible el fregament). La composició del tren és, de cap a cua: locomotora, vagó de $2\ \text{kg}$ i vagó de $4\ \text{kg}$.

1. a) Calcula l'acceleració del conjunt.
2. b) Aplicant el principi fonamental només al vagó de $4\ \text{kg}$, que va l'últim, calcula la tensió de l'enganxall entre els dos vagons.
3. c) Calcula la tensió de l'enganxall entre la locomotora i el primer vagó i explica per què és més gran que la de l'apartat anterior.

Una persona de $60\ \text{kg}$ es pesa en una bàscula dins d'un ascensor (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra la persona sobre la bàscula.

1. a) Quant marca la bàscula amb l'ascensor en repòs?
2. b) L'ascensor arrenca cap amunt amb una acceleració de $1,5\ \text{m/s}^2$. Aplica el principi fonamental en la vertical, $N - P = m \cdot a$, i calcula el que marca la bàscula.
3. c) Ha variat el pes real de la persona? Explica quina magnitud és la que ha canviat.

Per moure una caixa de mudança de $20\ \text{kg}$ pel terra, el coeficient de fregament estàtic és $\mu_e = 0,5$ i el dinàmic, $\mu_d = 0,4$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la força horitzontal mínima necessària per posar la caixa en moviment.
2. b) Calcula la força horitzontal necessària per mantenir-la en moviment amb velocitat constant.
3. c) Explica, en vista dels resultats, per què costa més «arrencar» la caixa que mantenir-la movent-se.

Un paquet de $4\ \text{kg}$ llisca des de dalt d'una rampa d'un magatzem que forma $37^\circ$ amb l'horitzontal. El coeficient de fregament és $\mu = 0,25$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ i $\cos 37^\circ \approx 0,8$).

1. a) Dibuixa al teu quadern les forces que actuen sobre el paquet i calcula el valor de cadascuna.
2. b) Calcula l'acceleració amb què baixa.
3. c) Si la rampa fa $8\ \text{m}$ i el paquet parteix del repòs, calcula la velocitat amb què arriba a baix i el temps que triga (utilitza $v^2 = 2 \cdot a \cdot x$ i $v = a \cdot t$).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un bloc de $6\ \text{kg}$ està sobre una taula horitzontal, unit per una corda que passa per una politja ideal a un altre bloc de $4\ \text{kg}$ que penja. El coeficient de fregament entre el primer bloc i la taula és $\mu = 0,25$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra el muntatge.

1. a) Dibuixa al teu quadern les forces que actuen sobre cada bloc.
2. b) Calcula la força de fregament sobre el bloc de la taula.
3. c) Planteja el principi fonamental per a cada bloc, tenint en compte que tots dos tenen la mateixa acceleració $a$ i que la tensió $T$ és la mateixa en tota la corda, i calcula el valor de $a$.
4. d) Calcula la tensió de la corda.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un cotxe teledirigit de $2\ \text{kg}$ es mou en línia recta. La seva velocitat evoluciona així: de $t = 0$ a $t = 4\ \text{s}$ passa de $0$ a $8\ \text{m/s}$ uniformement; de $t = 4\ \text{s}$ a $t = 10\ \text{s}$ manté la velocitat de $8\ \text{m/s}$; de $t = 10\ \text{s}$ a $t = 14\ \text{s}$ frena uniformement fins a aturar-se.

1. a) Representa la gràfica velocitat-temps al teu quadern.
2. b) Calcula l'acceleració de cadascun dels tres trams.
3. c) Aplicant el principi fonamental, calcula la força neta sobre el cotxe en cada tram i indica'n el sentit.
4. d) En el segon tram la força neta és nul·la: explica si això significa que el motor no exerceix cap força.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Per determinar el coeficient de fregament entre un tauló i un bloc, s'inclina el tauló a poc a poc i s'observa que, quan forma $37^\circ$ amb l'horitzontal, el bloc baixa amb velocitat constant (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ i $\cos 37^\circ \approx 0,8$).

1. a) Dibuixa al teu quadern les forces sobre el bloc i explica per què la força neta és nul·la.
2. b) Escriu les equacions d'equilibri en la direcció del pla i en la direcció perpendicular.
3. c) Dedueix que en aquestes condicions $\mu = \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ i calcula el valor de $\mu$.
4. d) Prediu, amb el càlcul corresponent, l'acceleració que tindria el bloc en aquesta mateixa rampa si el coeficient de fregament fos $\mu = 0,5$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un carretó de $2\ \text{kg}$ és llançat cap amunt per un pla inclinat $37^\circ$ amb una velocitat inicial de $8\ \text{m/s}$. El coeficient de fregament dinàmic és $\mu_d = 0,25$ i l'estàtic, $\mu_e = 0,5$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ i $\cos 37^\circ \approx 0,8$). La figura mostra el carretó en l'instant del llançament.

1. a) Dibuixa al teu quadern les forces sobre el carretó mentre puja (compte: el fregament s'oposa al moviment) i calcula la seva acceleració.
2. b) Calcula la distància que recorre fins a aturar-se i el temps que triga (utilitza $v^2 = v_0^2 - 2 \cdot a \cdot x$ i $v = v_0 - a \cdot t$).
3. c) Un cop aturat a dalt, torna a baixar el carretó? Compara la component del pes paral·lela al pla amb la força de fregament estàtic màxima i raona la resposta.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En la màquina d'Atwood del laboratori es pengen les masses $m_1 = 2\ \text{kg}$ i $m_2 = 6\ \text{kg}$ d'una corda inextensible que passa per una politja ideal (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$).

1. a) Dibuixa al teu quadern les forces que actuen sobre cada massa.
2. b) Planteja el sistema de dues equacions amb les incògnites $a$ i $T$, i resol-lo: calcula l'acceleració del sistema i la tensió de la corda.
3. c) Comprova que la tensió és més gran que el pes de $m_1$ i menor que el pes de $m_2$, i explica per què ha de ser així mentre el sistema s'està accelerant.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un alumne calcula l'acceleració d'un bloc de $3\ \text{kg}$ que baixa sense fregament per un pla inclinat $30^\circ$ i escriu: «com que l'única força és el pes, $a = \frac{F}{m} = \frac{m \cdot g}{m} = g = 10\ \text{m/s}^2$» (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$ i $\sen 30^\circ = 0,5$).

1. a) Identifica els dos errors del raonament: quina força ha oblidat i quina component del pes és la que realment accelera el bloc.
2. b) Calcula l'acceleració correcta del bloc.
3. c) Calcula la força neta real sobre el bloc i compara-la amb el seu pes.

Un contenidor de $5\ \text{kg}$ està sobre una rampa de $37^\circ$ en un port de càrrega, unit per un cable que passa per una politja ideal a un contrapès de $5\ \text{kg}$ que penja verticalment. El coeficient de fregament entre el contenidor i la rampa és $\mu = 0,2$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$ i $\cos 37^\circ \approx 0,8$). La figura mostra el muntatge de la rampa amb el contrapès.

1. a) Dibuixa al teu quadern les forces que actuen sobre el contenidor i sobre el contrapès.
2. b) Calcula la component del pes del contenidor paral·lela a la rampa i la força de fregament, i raona en quin sentit es mou el sistema.
3. c) Calcula l'acceleració del sistema.
4. d) Calcula la tensió del cable.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.