Exercícios: Probabilidade condicionada

Numa convenção de aficionados do mundo dos games, sorteia-se um console de última geração entre os participantes. Participam 120 pessoas de São Paulo, 80 de Rio de Janeiro e 50 de Belo Horizonte. Além disso, sabe-se que 60 % dos participantes totais são menores de 18 anos. Se um vencedor for escolhido ao acaso, calcule:

1. a) O espaço amostral associado à origem dos participantes.

1. b) A probabilidade de o vencedor ser de São Paulo.

1. c) A probabilidade de o vencedor ser maior de idade.

Um analista de redes sociais estuda o comportamento dos adolescentes em duas plataformas: TikTok ($T$) e Instagram ($I$). Depois de pesquisar uma turma do Ensino Médio, obtém que a probabilidade de um aluno usar TikTok é $P(T) = 0,75$, a de usar Instagram é $P(I) = 0,60$ e a de usar ambas as plataformas é $P(T \cap I) = 0,45$.

O diagrama de Venn reúne estes dados; as regiões marcadas com «?» são probabilidades que ainda não se conhecem.

Calcule a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso:

1. a) Use TikTok ou Instagram.
2. b) Use TikTok mas não Instagram ($T - I$).
3. c) Não use nenhuma das duas plataformas.

Em uma academia de idiomas, 40% dos estudantes estão matriculados no curso de Alemão ($A$). Dos estudantes matriculados em Alemão, 30% também frequentam aulas de conversação ($C$). Se for selecionado um estudante da academia ao acaso, determine:

1. a) A probabilidade de um aluno estar matriculado em Alemão e frequentar aulas de conversação.
2. b) Sabendo que um aluno está em Alemão, qual é a probabilidade de não frequentar aulas de conversação?

Sejam $A$ e $B$ dois eventos independentes associados a um experimento aleatório, tais que $P(A) = 0,4$ e $P(B) = 0,5$. Determine as seguintes probabilidades:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$

Foi realizado um estudo sobre a posse de animais de estimação em um grupo de 100 pessoas. Os resultados estão reunidos na seguinte tabela de contingência:

1. a) Complete a tabela de contingência.
2. b) Se escolhermos uma pessoa ao acaso, qual é a probabilidade de que ela tenha cachorro e gato?
3. c) Sabendo que a pessoa escolhida tem cachorro, qual é a probabilidade de que também tenha gato?

Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Retiram-se sucessivamente duas bolas com reposição (devolve-se a primeira antes de retirar a segunda). Represente a situação por meio de um diagrama de árvore e calcule:

1. a) A probabilidade de que ambas as bolas sejam brancas.
2. b) A probabilidade de que a primeira seja preta e a segunda branca.
3. c) A probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor.

Em um posto de saúde, estima-se que a probabilidade de um paciente ter gripe seja $P(G) = 0,15$. Sabe-se que, se um paciente tem gripe, a probabilidade de apresentar febre é de $0,90$, enquanto, se não tem gripe, a probabilidade de apresentar febre se reduz a $0,10$.

Se for escolhido um paciente ao acaso e ele apresentar febre, que nome recebe a probabilidade condicional $P(G|F)$ e qual teorema é usado habitualmente para calculá-la? (Não é necessário fazer o cálculo numérico final, apenas identificar os conceitos).

Dois dados equilibrados de seis faces são lançados simultaneamente. Calcule a probabilidade dos seguintes eventos:

1. a) Obter uma soma de pontos igual a 7.
2. b) Sabendo que no primeiro dado saiu um número par, qual é a probabilidade de que a soma seja 7?
3. c) Os eventos "soma igual a 7" e "primeiro dado par" são independentes? Justifique sua resposta comparando $P(S=7|Par)$ com $P(S=7)$.

Em uma escola foram coletados dados de 200 estudantes do 2º ano do Ensino Médio sobre dois eventos: $A$ (passar na prova de Matemática) e $B$ (frequentar habitualmente a biblioteca da escola). O registro mostra que 120 frequentam a biblioteca, 90 passam na prova e 60 fazem ambas as coisas.

O Marcos quer calcular a probabilidade de um aluno passar em Matemática sabendo que frequenta a biblioteca, e escreve na sua prova:

1. a) Identifique com precisão que probabilidade o Marcos calculou realmente e explique qual é o erro conceitual da abordagem dele em relação à definição de probabilidade condicional e à mudança de espaço amostral.
2. b) Corrija o cálculo determinando o valor correto de $P(A|B)$.
3. c) Justifique formalmente se, para este grupo de estudantes, frequentar a biblioteca e passar em Matemática são eventos estatisticamente independentes.

Segundo dados do Departamento Nacional de Trânsito (Denatran) sobre a obtenção da carteira de motorista de categoria B em um estado, $40\%$ dos candidatos passam no exame prático na primeira tentativa (evento $A$). Por outro lado, $30\%$ dos candidatos realizam previamente um curso intensivo em simulador (evento $S$), e sabe-se que $20\%$ do total de candidatos realizam o curso em simulador e, além disso, passam na primeira.

1. a) Modele a situação definindo os eventos com a sua notação de probabilidade correspondente e indique o valor de $P(A)$, $P(S)$ e $P(A \cap S)$.
2. b) Se um candidato que tenha realizado o curso em simulador for escolhido ao acaso, calcule a probabilidade de que ele passe no exame prático na primeira.
3. c) Tendo em conta os resultados, realizar o curso em simulador altera a probabilidade de passar na primeira ou são eventos independentes? Justifique a sua resposta comparando $P(A|S)$ com $P(A)$.

Em uma plataforma de streaming, $60\%$ dos usuários assiste a séries de ficção científica (evento $S$) e $45\%$ assiste a documentários (evento $D$). Sabe-se que $20\%$ dos usuários gosta de ambos os gêneros. Se selecionarmos um usuário ao acaso que sabemos que assiste a séries de ficção científica, calcule a probabilidade de também assistir a documentários. Os eventos "assistir a séries de ficção científica" e "assistir a documentários" são independentes? Justifique a resposta.

Um centro de treinamento esportivo analisa o rendimento dos seus 120 atletas. Observa-se que 65 deles seguem uma dieta específica, 70 realizam treinos de alta intensidade e 40 cumprem ambas as condições.

1. Organize os dados em uma tabela de contingência.

2. Se escolhermos um atleta ao acaso e ele não realizar treinos de alta intensidade, qual é a probabilidade de seguir a dieta específica?

3. Se o atleta escolhido não seguir a dieta, qual é a probabilidade de também não realizar treinos de alta intensidade?

Um aplicativo de música tem duas listas de reprodução. A lista $A$ contém 8 músicas de pop e 4 de rock. A lista $B$ contém 5 músicas de pop e 7 de rock. Lançamos um dado equilibrado: se sair um número menor que 3, o aplicativo reproduz uma música ao acaso da lista $A$; caso contrário, reproduz da lista $B$.

1. Calcule a probabilidade de a música reproduzida ser de rock.

2. Se a música reproduzida for de pop, qual é a probabilidade de ela ser da lista $A$?

Em um controle de qualidade de uma fábrica de componentes eletrônicos, sabe-se que o evento $F$ (o componente tem uma falha de soldagem) tem uma probabilidade $P(F) = 0,08$, e o evento $C$ (o componente tem uma falha de carcaça) tem uma probabilidade $P(C) = 0,12$. Se ambos os eventos forem independentes, calcule:

1. A probabilidade de um componente ter ambas as falhas.

2. A probabilidade de ter alguma falha.

3. A probabilidade de não ter nenhuma falha.

4. Sabendo que o componente tem uma falha de carcaça, qual é a probabilidade de não ter falha de soldagem?

Um teste para detectar uma vulnerabilidade de segurança em servidores de informática dá positivo em $98\%$ dos servidores que realmente estão infectados. No entanto, dá um "falso positivo" (positivo em servidores saudáveis) em $2\%$ dos casos. Estima-se que em uma rede empresarial $1\%$ dos servidores estejam infectados.

1. Se um servidor der positivo no teste, qual é a probabilidade de realmente estar infectado?

2. Interprete se o teste é confiável para uso massivo nessa rede com base no resultado anterior.

Extraem-se sucessivamente e sem reposição duas cartas de um baralho espanhol de 40 cartas. Calcule as seguintes probabilidades:

1. Que a segunda carta seja um Rei, sabendo que a primeira foi um Ás.

2. Que a segunda carta seja um Rei, sabendo que a primeira também foi um Rei.

3. Que as duas cartas sejam figuras (Valete, Cavalo ou Rei).

4. Sabendo que a segunda carta foi de Ouros, qual é a probabilidade de a primeira também ter sido de Ouros?

Uma empresa de logística distribui pacotes em três regiões: Norte ($40\%$), Centro ($35\%$) e Sul ($25\%$). A porcentagem de entregas com atraso é de $5\%$ no Norte, $8\%$ no Centro e $12\%$ no Sul.

1. Se selecionarmos um pacote ao acaso, qual é a probabilidade de ter sido entregue no prazo?

2. Se um pacote foi entregue com atraso, qual é a probabilidade de ter sido destinado à região Sul?

Sejam $A$ e $B$ dois eventos tais que $P(A) = 0,4$, $P(B|A) = 0,25$ e $P(A' \cap B') = 0,45$.

1. Calcule $P(A \cap B)$.

2. Calcule $P(B)$.

3. Calcule $P(A|B)$.

4. Determine se os eventos $A$ e $B$ são compatíveis e se são independentes. Justifique suas conclusões.

Em uma região pecuária aplica-se um teste de diagnóstico para detectar uma infecção bacteriana cuja prevalência é muito baixa: apenas $2\%$ do gado está infectado (evento $E$). O teste veterinário tem uma sensibilidade de $95\%$ (probabilidade de dar positivo estando infectado, $P(+|E) = 0,95$) e uma taxa de falsos positivos de $5\%$ (probabilidade de dar positivo em um animal saudável, $P(+|\overline{E}) = 0,05$).

1. a) Antes de calcular qualquer coisa, faça uma estimativa intuitiva: se uma rês for escolhida ao acaso e o teste dela der positivo, você acha que a probabilidade de ela estar realmente infectada estará acima de $80\%$, perto de $50\%$ ou abaixo de $30\%$? Redija sua estimativa justificando a sua primeira impressão em uma ou duas linhas.
2. b) Modele o problema por meio do teorema da probabilidade total e calcule com rigor a probabilidade condicional $P(E|+)$.
3. c) Compare o resultado matemático obtido com a sua estimativa prévia. Justifique por que o resultado é contraintuitivo para muitas pessoas e explique como a prevalência global da infecção condiciona a confiabilidade final do resultado positivo.

No vestibular de uma região universitária analisam-se as inscrições em duas disciplinas optativas: Desenho Técnico ($D$) e Física ($F$). A partir das listas oficiais, constata-se que a probabilidade de um estudante escolher Desenho Técnico é $P(D) = 0,35$ e a probabilidade de escolher pelo menos uma das duas disciplinas é $P(D \cup F) = 0,74$.

1. a) Formule uma equação e determine qual valor exato deveria ter a probabilidade a priori de se inscrever em Física, $P(F)$, para que a escolha de ambas as disciplinas fosse totalmente independente.
2. b) A realidade da região mostra que não são independentes e que a probabilidade condicional de escolher Desenho sabendo que se escolheu Física é $P(D|F) = 0,40$. Calcule a probabilidade real de inscrição em Física, $P(F)$, e a probabilidade condicional inversa $P(F|D)$.
3. c) Com os dados do item b), construa a tabela de contingência completa de probabilidades para os eventos $D$, $\overline{D}$, $F$ e $\overline{F}$.

Em um laboratório de biotecnologia investiga-se a resistência de uma bactéria a dois tipos de antibióticos, $A$ e $B$. Sabe-se que a probabilidade de a bactéria ser resistente ao antibiótico $A$ é $P(A) = 0,65$ e a probabilidade de ser resistente ao antibiótico $B$ é $P(B) = 0,48$. Além disso, determinou-se que a probabilidade de não ser resistente a nenhum dos dois é de $12\%$.

Calcule fundamentadamente:

1. a) A probabilidade de a bactéria ser resistente a $A$ sabendo que é resistente a $B$.
2. b) A probabilidade de ser resistente a apenas um dos dois antibióticos.
3. c) Os eventos "ser resistente a $A$" e "ser resistente a $B$" são independentes? Justifique a sua resposta por meio de cálculos.

Uma empresa de entregas utiliza três rotas distintas ($R_1, R_2, R_3$) para distribuir pacotes em uma grande cidade. $30\%$ dos envios são atribuídos à rota $R_1$, $45\%$ à rota $R_2$ e o restante à rota $R_3$. Sabe-se por experiências passadas que as probabilidades de um pacote chegar com atraso em cada rota são de $4\%$, $6\%$ e $2\%$, respectivamente.

Se selecionarmos um pacote ao acaso e observarmos que chegou com atraso, qual é a probabilidade de NÃO ter seguido a rota $R_2$?

Um sistema de segurança para um servidor crítico é composto por dois componentes, $C_1$ e $C_2$, conectados em paralelo, o que significa que o sistema funciona se pelo menos um dos componentes funcionar. A probabilidade de o componente $C_1$ falhar em um ano é de $0,05$ e a de falhar $C_2$ é de $0,08$. As falhas dos componentes são eventos independentes.

Calcule:

1. a) A probabilidade de o sistema funcionar corretamente durante um ano.
2. b) Sabendo que o sistema funcionou corretamente, qual é a probabilidade de o componente $C_1$ ter falhado?

Em um torneio de e-sports, um jogador tem de superar duas fases. A probabilidade de superar a primeira fase é de $0,7$. Se superar a primeira, a probabilidade de superar a segunda é de $0,5$. No entanto, se não superar a primeira, tem uma oportunidade de repescagem na qual a probabilidade de passar diretamente à final (pulando a segunda fase) é de apenas $0,2$.

1. a) Calcule a probabilidade de o jogador chegar à final (seja superando as duas fases ou pela repescagem).
2. b) Se o jogador chegou à final, qual é a probabilidade de ter conseguido por meio da repescagem?

Temos duas urnas com bolas coloridas. A urna $U_1$ contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. A urna $U_2$ contém 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Retira-se uma bola ao acaso da urna $U_1$ e, sem olhar a cor dela, coloca-se na urna $U_2$. Em seguida, retira-se uma bola da urna $U_2$.

Calcule:

1. a) A probabilidade de a bola extraída da segunda urna ser branca.
2. b) Se a bola extraída da segunda urna for branca, qual é a probabilidade de a bola transferida da primeira para a segunda ter sido preta?

Foi realizado um teste diagnóstico para detectar uma vulnerabilidade em um software de gestão. $5\%$ das aplicações analisadas contêm essa vulnerabilidade. O teste dá positivo em $98\%$ dos casos em que a vulnerabilidade está presente, mas também dá $2\%$ de falsos positivos (dá positivo quando a aplicação é segura).

1. a) Se o teste der positivo, qual é a probabilidade de a aplicação realmente ter a vulnerabilidade?
2. b) Se o teste der negativo, qual é a probabilidade de a aplicação ser realmente segura?
3. c) Interprete os resultados: o teste é mais confiável para confirmar a vulnerabilidade ou para descartá-la?

Sejam $A$ e $B$ dois eventos de um experimento aleatório tais que as probabilidades condicionadas verificam $P(A|B) = 0,25$ e $P(B|A) = 0,4$. Se sabemos que a probabilidade da união de ambos é $P(A \cup B) = 0,55$, calcule os valores de $P(A)$ e $P(B)$.

Em um centro de alto rendimento esportivo, $40\%$ dos atletas treina natação ($N$), $30\%$ treina ciclismo ($C$) e o restante treina corrida ($R$). A probabilidade de sofrer uma lesão muscular ao longo da temporada é de $0,15$ para os nadadores, $0,20$ para os ciclistas e $0,35$ para os corredores.

1. a) Determine a probabilidade de um atleta escolhido ao acaso sofrer uma lesão muscular.
2. b) Se um atleta não sofreu nenhuma lesão, qual é a probabilidade de a especialidade dele ser a natação?
3. c) Os eventos "treinar ciclismo" e "sofrer uma lesão" são independentes? Demonstre.

Um relatório de cibersegurança sobre pequenas e médias empresas espanholas avalia a eficácia de um firewall diante de intrusões externas. Conhecem-se três fatos:

• $8\%$ das empresas sofre uma tentativa séria de intrusão mensal (evento $I$).

• Se uma empresa sofrer uma tentativa de intrusão, o firewall gera um alerta com probabilidade $P(A|I) = 0,90$.

• Se a empresa não sofrer nenhuma intrusão, existe uma probabilidade de $3\%$ de falso alarme por falhas do sistema, isto é, $P(A|\overline{I}) = 0,03$.

A equipe de gestão precisa conhecer a probabilidade de, tendo o alarme soado, se tratar na verdade de um falso alarme ($P(\overline{I}|A)$), bem como a probabilidade de o sistema permanecer em silêncio e não haver intrusão ($P(\overline{A} \cap \overline{I})$).

1. a) Resolva o problema aplicando dois métodos diferentes:

• Método 1: Diagrama de árvore e cálculo com fórmulas formais de probabilidade condicional e teorema da probabilidade total.

• Método 2: Tabela de contingência com frequências absolutas projetadas sobre uma população hipotética de $10.000$ empresas.

1. b) Analise e compare ambos os métodos: qual dos dois reduz com maior eficácia o risco de confundir $P(A|\overline{I})$ com $P(\overline{I}|A)$ ao interpretar os resultados? Justifique a sua resposta argumentando a forma como cada técnica representa o novo espaço amostral reduzido.

A partir dos microdados da Encuesta de Población Activa (EPA) em um estado, estudam-se dois eventos laborais na faixa etária de jovens dos 18 aos 24 anos: frequentar estudos oficiais ($E$) e ter um emprego remunerado ($T$). As taxas estimadas são $P(E) = 0,55$ e $P(T) = 0,30$.

Um estudante afirma: «Como estudar em tempo integral e trabalhar são situações dificilmente compatíveis, os eventos são incompatíveis e, por isso, são também independentes porque um não depende do outro».

1. a) Demonstre formalmente que dois eventos $A$ e $B$ com probabilidades não nulas ($P(A) > 0$ e $P(B) > 0$) nunca podem ser incompatíveis e independentes ao mesmo tempo. Explique em palavras o erro conceitual do estudante.
2. b) Se os dados da pesquisa indicarem que $40\%$ dos jovens não estuda nem trabalha ($P(\overline{E} \cap \overline{T}) = 0,40$), calcule a probabilidade de um jovem ter emprego sabendo que frequenta estudos, $P(T|E)$, aplicando as leis de De Morgan e as propriedades da probabilidade condicional.
3. c) Diante do valor de $P(T|E)$ comparado com $P(T)$, determine de forma fundamentada se a condição de frequentar estudos favorece, prejudica ou é independente em relação à probabilidade de estar empregado nessa população.