Exercícios: Princípios da relatividade restrita

Albert Einstein publicou em 1905 a teoria da relatividade restrita a partir de dois postulados.

1. a) Enuncie com suas palavras o primeiro postulado, conhecido como princípio da relatividade.
2. b) Enuncie o segundo postulado, referente à velocidade da luz no vácuo.
3. c) Indique a que tipo de referenciais se aplica a teoria da relatividade restrita.

Um farol na costa emite um sinal luminoso. Ele é medido por dois observadores: o guarda do farol, em repouso, e o comandante de um navio que se aproxima do farol a $20\ \text{m/s}$ (dado: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Segundo a física clássica, que valor cada um mediria?
2. b) Segundo a relatividade restrita, que valor cada um mede? Justifique com o postulado correspondente.

Indique quais dos seguintes referenciais podem ser considerados inerciais e justifique cada resposta:

1. a) Um trem que freia ao entrar na estação.
2. b) Uma sonda que se desloca pelo espaço profundo com velocidade constante.
3. c) Uma centrífuga de laboratório que gira com velocidade angular constante.
4. d) Uma estação ferroviária em repouso em relação ao solo.

Um passageiro de um trem que circula a $30\ \text{m/s}$ lança uma bola para a frente a $10\ \text{m/s}$ em relação ao trem.

1. a) Segundo a transformação de Galileu, com que velocidade um observador na plataforma vê a bola?
2. b) Escreva a regra de adição de velocidades da física clássica que você utilizou.

Uma sonda espacial que se move com velocidade $v$ em relação à Terra acende o seu farol dianteiro. De acordo com a física clássica, a luz desse farol deveria ser medida a partir da Terra a $c + v$.

1. a) Explique por que essa previsão contradiz o segundo postulado da relatividade restrita.
2. b) Que velocidade um observador na Terra realmente mede para a luz do farol?

Os múons formam-se na alta atmosfera devido à radiação cósmica e sua vida média em repouso é de $2,2\ \mu\text{s}$. Se o tempo fosse absoluto, quase nenhum chegaria à superfície terrestre, mas os detectores em terra os registram em grande número.

1. a) Que efeito relativista explica que tantos muões cheguem ao solo?
2. b) Que grandeza deixa de ser absoluta nessa explicação?

O sistema GPS utiliza relógios atômicos instalados em satélites que orbitam em alta velocidade ao redor da Terra.

1. a) Por que os relógios dos satélites não podem se manter sincronizados com os da Terra sem correções contínuas?
2. b) Indique o fenômeno relativístico responsável por essa dessincronização.

Pode um corpo com massa atingir a velocidade da luz no vácuo? Responda e justifique levando em conta o segundo postulado e que a energia necessária para continuar acelerando o corpo aumentaria ilimitadamente à medida que a sua velocidade se aproximasse de $c$.

Uma nave se afasta da Terra a $0,6c$, isto é, $1,8 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, e acende um farol de proa (dado: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). O esquema resume a situação.

1. a) Que velocidade preveria a física clássica para a luz do farol medida a partir da Terra?
2. b) Que velocidade um observador terrestre realmente mede?
3. c) Que velocidade esse mesmo observador mediria se o farol estivesse na popa, apontando para a Terra? Justifique com o segundo postulado.

A experiência de Michelson e Morley (1887) pretendia medir a velocidade da Terra em relação ao «éter», o meio no qual se supunha que a luz se propagava, comparando a velocidade da luz em direções perpendiculares. O esquema mostra o interferômetro utilizado.

1. a) Que resultado obtiveram?
2. b) Por que esse resultado é incompatível com a soma clássica de velocidades?
3. c) Que postulado de Einstein o contempla e o que aconteceu com a hipótese do éter?

No Grande Colisor de Hádrons (LHC), os prótons atingem velocidades de $0,9999c$ (dado: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcule a velocidade do próton em $\text{m/s}$.
2. b) Calcule quantos $\text{m/s}$ faltam para ele atingir $c$.
3. c) O acelerador continua fornecendo energia ao próton e, no entanto, ele nunca atinge $c$. Explique por quê e em que se manifesta essa energia extra.

Em uma nave em movimento, uma lâmpada situada em um ponto do chão da cabine acende e apaga: dois eventos que ocorrem no mesmo local da nave. A figura compara o que a tripulação vê e o que um observador na Terra vê.

1. a) Qual observador mede o intervalo de tempo próprio entre os dois eventos: a tripulação da nave ou um observador na Terra? Justifique.
2. b) Qual dos dois observadores mede o intervalo maior e como se chama esse efeito?

Um trem muito rápido passa em frente a uma plataforma de estação. No instante em que o centro do trem fica alinhado com um observador na plataforma, este vê dois lampejos simultâneos emitidos a partir das extremidades do trem.

1. a) Uma passageira sentada no centro do trem também os verá como simultâneos?
2. b) Justifique a resposta considerando que o trem avança em direção a um dos lampejos e que a luz de ambos viaja a $c$ também para a passageira.

O avião tripulado mais rápido da história atingiu cerca de $980\ \text{m/s}$ (dado: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcule o quociente entre a sua velocidade e a velocidade da luz.
2. b) Diante do resultado, explique por que os efeitos relativísticos são desprezíveis na vida cotidiana.
3. c) Indique a partir de que tipo de velocidades, comparadas com $c$, eles começam a ser apreciáveis.

A luz se propaga na água a $2,25 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, um valor menor do que no vácuo ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Este dado contradiz o segundo postulado da relatividade? Justifique a resposta especificando a que se refere exatamente o postulado.
2. b) Nas piscinas dos reatores nucleares há partículas que se movem na água mais rápido do que $2,25 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ (embora sempre abaixo de $c$) e emitem um brilho azulado denominado radiação de Cherenkov. Isso contradiz a relatividade? Justifique a diferença em relação ao item anterior.

Na física clássica, o tempo, o comprimento e a massa são grandezas absolutas: o valor delas não depende do observador que as mede.

1. a) Dessas três grandezas, indique quais passam a ser relativas na teoria da relatividade restrita.
2. b) Que grandeza se mantém invariante para todos os observadores inerciais de acordo com o segundo postulado?
3. c) Se não existe mais um tempo universal, o que acontece com a ideia de que dois eventos distantes ocorram «ao mesmo tempo» para todo mundo?

O paradoxo dos gêmeos: um fica na Terra e o outro viaja em uma nave muito rápida durante alguns anos e regressa. O diagrama espaço-tempo resume a viagem.

1. a) Enuncie o aparente paradoxo: se o movimento é relativo, por que razão parece que cada gêmeo deveria ver o outro envelhecer mais devagar?
2. b) Explique por que motivo a situação não é verdadeiramente simétrica: o que acontece ao gêmeo viajante nos pontos de aceleração e de inversão que não acontece àquele que fica?
3. c) Conclua qual dos dois envelhece menos no momento do reencontro.

Se os relógios dos satélites GPS não fossem corrigidos, acumulariam uma dessincronização de cerca de $38\ \mu\text{s}$ por dia. O posicionamento se baseia em medir o tempo que o sinal de cada satélite, que viaja a $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, demora para chegar.

1. a) Calcule o erro em distância introduzido por uma discrepância de $38\ \mu\text{s}$ na medição do tempo de chegada.
2. b) À vista do resultado, quanto tempo o sistema demoraria para se tornar inútil para a navegação se não fosse corrigido? Justifique.
3. c) Explique por que o funcionamento do GPS é considerado uma verificação cotidiana da relatividade.

Os aviões supersônicos ultrapassam a velocidade do som no ar, mas nenhum objeto com massa pode atingir nem ultrapassar a velocidade da luz no vácuo.

1. a) Em que diferem fisicamente a barreira do som e a barreira da luz? Pense em que meio se propaga cada sinal e em que postulado se apoia uma delas.
2. b) Justifique, em termos de energia, por que razão atingir $c$ é impossível para um corpo com massa e não se trata apenas de uma dificuldade técnica como foi a barreira do som.

Experimento mental de Einstein: dois raios caem nas extremidades de um vagão no exato momento em que o seu centro passa por um observador na plataforma, que vê os dois impactos ao mesmo tempo. Uma passageira está em pé no centro do vagão. O esquema representa a situação.

1. a) Descreva o que a passageira vê e explique por quê, utilizando o fato de que, para ela, a luz de ambos os impactos também viaja a $c$ enquanto ela avança em direção a um deles.
2. b) Como se chama esse fenômeno pelo qual dois acontecimentos simultâneos para um observador não o são para outro?
3. c) Tire uma conclusão sobre a existência de um «agora» universal válido para toda a galáxia.