Exercícios: Interação com cargas em movimento

Uma carga elétrica encontra-se em repouso dentro de um campo magnético uniforme. O módulo da força de Lorentz é $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$.

1. a) Atua alguma força magnética sobre ela? Justifique com a fórmula.
2. b) A carga é posta em movimento na direção exata do campo ($\alpha = 0^\circ$). A resposta se altera? Por quê?

O módulo da força de Lorentz é $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ e a sua direção e sentido são dados pelo produto vetorial $\vv{F} = q\cdot(\vv{v}\wedge\vv{B})$, que se determina com a regra da mão direita. Um próton se move horizontalmente para leste dentro de um campo magnético uniforme dirigido também horizontalmente para norte. A situação, vista de cima, está representada na figura.

1. a) Determine a direção e o sentido da força sobre o próton.
2. b) Qual seria o sentido da força se a partícula fosse um elétron? Justifique a diferença.

Um próton ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) move-se a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ numa direção perpendicular a um campo magnético $B = 0,5\ \text{T}$. Calcule o módulo da força de Lorentz sobre ele, $F = q\cdot v\cdot B$.

A força de Lorentz sobre uma carga em movimento é sempre perpendicular à sua velocidade.

1. a) Considerando que o trabalho depende da componente da força na direção do deslocamento, explique por que a força magnética não realiza trabalho sobre a carga.
2. b) O que acontece então com o módulo da velocidade da carga?
3. c) E com a sua energia cinética?

Dois condutores retilíneos paralelos são percorridos por correntes com o mesmo sentido.

1. a) Desenhe no seu caderno o campo magnético criado pelo primeiro condutor na posição do segundo (regra da mão direita) e a força que este sofre.
2. b) Eles se atraem ou se repelem?
3. c) O que muda se o sentido de uma das correntes for invertido?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um elétron ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra com $v = 1\cdot10^{7}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, em um campo magnético uniforme $B = 1\cdot10^{-3}\ \text{T}$, como mostra a figura.

O raio da sua trajetória circular é $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$. Calcule o seu valor e expresse-o em centímetros.

Uma partícula carregada entra com velocidade $\vv{v}$ perpendicular a um campo magnético uniforme.

1. a) Explique por que a força de Lorentz atua como força centrípeta e escreva a igualdade $q\cdot v\cdot B = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) Isole o raio $r$ e comente de quais grandezas ele depende: aumenta ou diminui se a partícula for mais rápida? E se o campo for mais intenso?

A partir da expressão do módulo da força de Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B$ (caso perpendicular):

1. a) Isole $B$ e deduza a que combinação de unidades do Sistema Internacional equivale um tesla.
2. b) Utilizando $1\ \text{C/s} = 1\ \text{A}$, expresse o tesla como $\text{T} = \frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}$ e explique com as suas palavras que campo é necessário para que uma carga de $1\ \text{C}$ a $1\ \text{m/s}$ sofra uma força de $1\ \text{N}$.

Um próton ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra com $v = 3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ num campo magnético uniforme $B = 0,8\ \text{T}$, fazendo um ângulo $\alpha = 30^\circ$ com ele. Observe o esquema:

1. a) Calcule o módulo da força de Lorentz, $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sen\alpha$ ($\sen 30^\circ = 0,5$).
2. b) Para que ângulo a força seria máxima? E para qual seria nula?

Um próton ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra com $v = 5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, perpendicularmente, em um campo magnético uniforme $B = 0,2\ \text{T}$.

1. a) Calcule o raio da sua trajetória circular, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$, e expresse-o em centímetros.
2. b) O que aconteceria com o raio se o próton entrasse com metade da velocidade? Justifique com a fórmula.

Um elétron ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) descreve uma órbita em um campo magnético uniforme $B = 2\cdot10^{-3}\ \text{T}$, com velocidade perpendicular ao campo.

1. a) Iguale a força de Lorentz à força centrípeta e, usando $v = \frac{2\pi\cdot r}{T}$, demonstre que o período de rotação é $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$.
2. b) Calcule o seu valor.
3. c) O resultado não contém $v$ nem $r$: explique o significado físico disso.

Numa demonstração de laboratório, dois fios paralelos separados por $d = 10\ \text{cm}$ são percorridos por correntes com o mesmo sentido $I_1 = 20\ \text{A}$ e $I_2 = 30\ \text{A}$. A força por unidade de comprimento entre eles é $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Observe o esquema:

1. a) Calcule a força por unidade de comprimento.
2. b) Os fios se atraem ou se repelem? Justifique.
3. c) Calcule a força total sobre um trecho de $1\ \text{m}$ de cada fio.

Um condutor retilíneo de $L = 40\ \text{cm}$, colocado perpendicularmente a um campo magnético uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, é percorrido por uma corrente $I = 5\ \text{A}$. A força magnética sobre ele é $F = B\cdot I\cdot L$.

1. a) Calcule o seu módulo.
2. b) Represente a situação no seu caderno e determine, com a regra da mão direita, a direção e o sentido da força em relação à corrente e ao campo.
3. c) Se o condutor fizesse $30^\circ$ com o campo, a força seria $F = B\cdot I\cdot L\cdot\sen 30^\circ$; calcule-a.

Em um espectrômetro de massa, um íon de $\text{He}^+$ ($m = 6,64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) descreve um arco circular de raio $r = 12\ \text{cm}$ em um campo $B = 0,5\ \text{T}$ perpendicular à sua velocidade. A situação está representada na figura.

1. a) Isole a velocidade da expressão $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) Calcule o seu valor em notação científica.

Um próton ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) e um elétron ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$) entram com a mesma velocidade, perpendicularmente, no mesmo campo magnético uniforme.

1. a) Escreva o quociente $\frac{r_p}{r_e}$ dos raios das suas trajetórias e calcule o seu valor.
2. b) Tendo em conta que $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, calcule também o quociente dos seus períodos e comente qual das partículas completa voltas mais rápido.

Um seletor de velocidades tem um campo elétrico $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ e um campo magnético $B = 0,05\ \text{T}$, perpendiculares entre si e à velocidade dos íons. As forças elétrica e magnética se compensam quando $q\cdot E = q\cdot v\cdot B$.

1. a) Isole a velocidade dos íons que atravessam o seletor sem se desviarem e calcule-a.
2. b) Essa velocidade depende da carga ou da massa do íon? Comente para que serve este dispositivo antes de uma região de desvio.

Um espectrômetro de massa é constituído por um seletor de velocidades (campo elétrico $E = 5\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ e campo magnético $B_1 = 0,1\ \text{T}$, perpendiculares) seguido de uma região com outro campo magnético $B_2 = 0,2\ \text{T}$, perpendicular à velocidade, onde os íons descrevem semicircunferências. Entram íons de carbono-12 e carbono-14, ambos com carga $q = e$ ($e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; unidade de massa atômica $u = 1,66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$). O esquema do aparelho é mostrado na figura.

1. a) Calcule a velocidade com que os íons saem do seletor ($q\cdot E = q\cdot v\cdot B_1$).
2. b) Calcule o raio da trajetória de cada isótopo na região de deflexão (considere as massas $12\cdot u$ e $14\cdot u$).
3. c) Os íons colidem com uma placa fotográfica a uma distância do ponto de entrada igual ao diâmetro da sua semicircunferência: calcule a separação entre as duas marcas que deixam.

Um próton ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) entra com $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ num campo magnético uniforme $B = 0,1\ \text{T}$, fazendo um ângulo de $60^\circ$ com ele, de modo a descrever uma trajetória helicoidal ($\sen 60^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$). Observe o esquema:

1. a) Decomponha a velocidade em suas componentes paralela e perpendicular ao campo.
2. b) Calcule o raio da hélice, determinado pela componente perpendicular.
3. c) Calcule o período de rotação, $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$, e o passo da hélice (a distância percorrida na direção do campo em cada volta).

Um cíclotron acelera dêuterons ($m = 3,34\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) com um campo magnético $B = 1,2\ \text{T}$ perpendicular ao plano das trajetórias. O esquema do cíclotron é mostrado na figura.

1. a) O gerador alternado deve ser sincronizado com a frequência de rotação, $f = \frac{q\cdot B}{2\pi\cdot m}$; calcule-a e expresse-a em megahertz.
2. b) As partículas saem quando o seu raio atinge o raio do aparelho, $R = 0,5\ \text{m}$; calcule a sua velocidade máxima com $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
3. c) Calcule a energia cinética com que os dêuterons saem.

A antiga definição de ampere (em vigor até 2019) estabelecia: um ampere é a intensidade de corrente que, mantida em dois condutores paralelos, retilíneos, de comprimento infinito e separados por $1\ \text{m}$ no vácuo, produz entre eles uma força de $2\cdot10^{-7}\ \text{N}$ para cada metro de condutor ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Escreva a expressão da força por unidade de comprimento quando ambos os condutores são percorridos pela mesma corrente, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I^2}{2\pi\cdot d}$.
2. b) Substitua $d = 1\ \text{m}$ e $\frac{F}{L} = 2\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$ e verifique que se obtém $I = 1\ \text{A}$.
3. c) Comente as dificuldades práticas dessa definição (condutores «infinitos», medição de forças tão pequenas) em relação à definição atual, que fixa o valor da carga elementar.

Uma barra horizontal de $L = 50\ \text{cm}$ e massa $m = 25\ \text{g}$ encontra-se em um campo magnético horizontal uniforme $B = 0,5\ \text{T}$, perpendicular à barra. Pretende-se que a força magnética sobre a barra, $F = B\cdot I\cdot L$, compense exatamente o seu peso (considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). A situação está representada na figura.

1. a) Estabeleça a condição de equilíbrio entre a força magnética e o peso e calcule a corrente necessária.
2. b) Determine, com a regra da mão direita, que orientação relativa devem ter a corrente e o campo para que a força seja vertical e dirigida para cima.
3. c) Justifique o que aconteceria se a corrente aumentasse $10\ \%$: a barra se moveria? Para onde e com que força resultante inicial?

As linhas de alta tensão transportam a corrente de ida e de volta por cabos paralelos. Dois deles, separados por $d = 2\ \text{m}$, transportam $I = 800\ \text{A}$ em sentidos opostos ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Indique, justificando com a regra da mão direita, se a força entre os cabos é atrativa ou repulsiva.
2. b) Calcule a força por unidade de comprimento entre eles, $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$.
3. c) Em um curto-circuito a corrente pode atingir $10^{4}\ \text{A}$; calcule a nova força por unidade de comprimento e explique por que os cabos devem estar firmemente fixados aos suportes.

Os cinturões de Van Allen aprisionam partículas carregadas no campo magnético terrestre, muito mais fraco do que os campos de laboratório. Um elétron ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) move-se a $v = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ na região equatorial, onde $B = 3\cdot10^{-5}\ \text{T}$, com velocidade perpendicular ao campo.

1. a) Calcule o raio da sua trajetória, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) Em latitudes próximas dos polos o campo é o dobro, $B = 6\cdot10^{-5}\ \text{T}$; calcule o raio nesse caso.
3. c) Relacione os resultados com o fato de as trajetórias das partículas aprisionadas se «enrolarem» mais apertadamente à medida que se aproximam dos polos.

Um próton ($m_p$, $q_p = e$) e uma partícula alfa ($m_\alpha = 4\cdot m_p$, $q_\alpha = 2\cdot e$) entram com a mesma velocidade, perpendicularmente, no mesmo campo magnético uniforme.

1. a) Calcule o quociente $\frac{r_\alpha}{r_p}$ dos raios das suas trajetórias.
2. b) Calcule o quociente $\frac{T_\alpha}{T_p}$ dos seus períodos de rotação.
3. c) Repita o quociente dos raios supondo que ambas as partículas entram com a mesma energia cinética (use $v = \sqrt{\frac{2\cdot E_c}{m}}$ na expressão do raio) e comente se um espectrômetro de massa conseguiria separá-las em cada um dos dois casos.