Exercícios: Notação científica

O vídeo de um conhecido streamer brasileiro atingiu a marca de $45.200.000$ reproduções em apenas uma semana. Expresse esse número de visualizações utilizando a notação científica e indique qual é a sua mantissa e qual é a sua ordem de grandeza.

No laboratório de Biologia, um grupo de alunos observa que o diâmetro de um glóbulo vermelho é de aproximadamente $7,5 \cdot 10^{-6}$ metros. A figura representa o glóbulo vermelho com a medida do seu diâmetro.

Expresse esta medida em forma decimal (notação padrão) e explique para que lado se desloca a vírgula e quantas posições.

Indique quais dos seguintes números estão escritos corretamente em notação científica. Caso algum não esteja, explique brevemente o porquê:

1. a) $0,45 \cdot 10^{8}$
2. b) $1,02 \cdot 10^{-5}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{3}$
4. d) $9,99 \cdot 10^{12}$

Uma empresa de tecnologia está comparando o tamanho de três componentes eletrônicos. Os tamanhos são: $A = 3,2 \cdot 10^{-4}$ mm, $B = 1,5 \cdot 10^{-3}$ mm e $C = 8,9 \cdot 10^{-4}$ mm. Ordene os componentes do menor para o maior tamanho baseando-se em seus expoentes e mantissas.

A distância média da Terra ao Sol é de aproximadamente $1,5 \cdot 10^{8}$ km. Se a luz viaja a uma velocidade de $3 \cdot 10^{5}$ km/s, calcule o tempo que a luz do Sol demora para chegar à Terra realizando a operação diretamente em notação científica (lembre-se de que $t = \frac{d}{v}$).

Um servidor de dados armazena arquivos de música. Cada música ocupa uma média de $4,5 \cdot 10^{6}$ bytes. Se o servidor tem armazenadas $2 \cdot 10^{4}$ músicas, quantos bytes totais de música há no servidor? Expresse o resultado final em notação científica.

Determine o valor de $x$ em cada uma das seguintes igualdades para que se mantenha a equivalência em notação científica:

1. a) $345.000 = 3,45 \cdot 10^{x}$
2. b) $0,00007 = 7 \cdot 10^{x}$
3. c) $12,5 \cdot 10^{4} = 1,25 \cdot 10^{x}$

Observe o seguinte esquema que representa o movimento da vírgula decimal para converter o número $0,000042$ em notação científica. Complete os quadros com o valor do coeficiente (mantissa) e o expoente correspondente.

Para um relatório de Economia do 1ª série do Ensino Médio, a Maria Eduarda precisa comparar e somar duas rubricas orçamentárias que um estado destina a bolsas de estudo: a rubrica $A = 4,8 \cdot 10^6$ reais e a rubrica $B = 7,5 \cdot 10^5$ reais. A Maria Eduarda afirma no seu rascunho o seguinte:

«Como $7,5$ é maior do que $4,8$, a rubrica $B$ tem maior dotação econômica do que a $A$. Além disso, o dinheiro total atribuído entre ambas as rubricas é $(4,8 + 7,5) \cdot 10^{6+5} = 12,3 \cdot 10^{11} = 1,23 \cdot 10^{12}$ reais».

1. a) Identifique os dois erros conceituais cometidos pela Maria Eduarda (um na comparação e outro na soma) e explique de forma fundamentada por que razão as deduções dela são matematicamente falsas.
2. b) Corrija o relatório da Maria Eduarda: indique qual das duas rubricas é realmente maior, justificando a sua decisão a partir das ordens de grandeza, e calcule o valor exato da soma total $A + B$, expressando o resultado em notação científica rigorosa.

De acordo com os relatórios anuais do Instituto Nacional de Estadística (INE), a Espanha recebeu em um ano aproximadamente $8,4 \cdot 10^7$ turistas internacionais. Cada visitante realizou uma despesa média estimada de $1,25 \cdot 10^3$ reais durante as suas férias no país.

1. a) Sem fazer qualquer conta no papel nem usar a calculadora, estime mentalmente a ordem de grandeza (a potência de $10$) que a despesa turística global em reais deveria ter. Explique com clareza o raciocínio que você seguiu para fixar essa ordem.
2. b) Realize agora o cálculo exato da despesa total multiplicando ambas as grandezas e expresse o resultado final em notação científica correta.
3. c) Verifique se o resultado calculado coincide com a sua estimativa prévia e explique por que razão analisar a ordem de grandeza antecipadamente permite detectar rapidamente erros de cálculo ao digitar em uma calculadora científica.

Em um centro de processamento de dados de uma conhecida rede social, estima-se que a cada segundo sejam gerados $2,5 \cdot 10^6$ megabytes (MB) de informação nova.

1. a) Expresse em notação científica quantos gigabytes (GB) são gerados em um dia inteiro (considere que $1 \text{ GB} = 10^3 \text{ MB}$).

1. b) Se cada disco rígido de armazenamento tem uma capacidade de $1,2 \cdot 10^{13}$ bytes, quantos discos rígidos seriam necessários para armazenar a informação de um ano bissexto? (considere que $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$). Indique o resultado com três algarismos significativos.

A massa de uma partícula de poeira em suspensão é de aproximadamente $7,25 \cdot 10^{-10}$ kg. Um purificador de ar capturou, após uma semana de funcionamento, um total de $4,35 \cdot 10^{-2}$ gramas dessas partículas.

1. a) Calcule o número total de partículas capturadas pelo purificador.

1. b) Se o filtro do purificador deve ser trocado quando atinge uma massa acumulada de $1,5 \text{ decigramos}$, por quantas semanas mais ele poderá funcionar antes de precisar de manutenção? Expresse os cálculos e o resultado final em notação científica.

Um grupo de pesquisadores analisa o investimento em P&D de três potências mundiais. A primeira investe $4,2 \cdot 10^{11} \text{R\$}\ $, a segunda $1,85 \cdot 10^{12} \text{R\$}\ $ e a terceira $9,7 \cdot 10^{10} \text{R\$}\ $.

1. a) Calcule o investimento total das três potências juntas, expressando o resultado em notação científica.

1. b) Qual porcentagem do total representa o investimento da potência que menos dinheiro aporta? Arredonde a porcentagem para duas casas decimais.

Na microeletrônica, a espessura de uma camada isolante em um processador é de $4,5$ nanômetros ($1 \text{ nm} = 10^{-9} \text{ m}$). Se o processador tem uma superfície total de $1,2 \text{ cm}^2$:

1. a) Expresse a espessura da camada em metros usando notação científica.

1. b) Calcule o volume total de material isolante utilizado nesse processador em metros cúbicos ($m^3$). Tenha em mente que o volume é o produto da superfície pela espessura.

Realize as seguintes operações combinadas e expresse o resultado em notação científica, arredondando para três algarismos significativos:

Um glóbulo vermelho tem uma forma aproximadamente circular com um diâmetro de $7,5 \cdot 10^{-4} \text{ cm}$.

1. a) Calcule o comprimento de sua circunferência em metros. (Use $\pi \approx 3,1416$).

1. b) Se pudéssemos colocar em fila todos os glóbulos vermelhos de um adulto (aproximadamente $2,5 \cdot 10^{13}$ glóbulos), que distância em quilômetros eles alcançariam? Expresse o resultado em notação científica.

A distância média da Terra ao Sol é de $1,496 \cdot 10^8 \text{ km}$. A velocidade da luz é de $3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$.

1. a) Calcule quanto tempo, em minutos e segundos, a luz do Sol demora para chegar à Terra.

1. b) Se uma nave espacial viaja a uma velocidade constante de $5,5 \cdot 10^4 \text{ km/h}$, quantos dias demoraria para completar a viagem de ida e volta?

Mediu-se a massa de um objeto de laboratório e obteve-se um valor de $3,45 \cdot 10^{-3}$ gramas, embora o valor real seja de $3,458 \cdot 10^{-3}$ gramas.

1. a) Calcule o erro absoluto cometido na medição.

1. b) Calcule o erro relativo e expresse-o em porcentagem. Considera-se uma medição precisa se a margem de erro aceitável é de $0,5\%$? Justifique sua resposta.

O Banco da Espanha registrou a dívida pública nacional em um valor aproximado de $1,58 \cdot 10^{12}$ reais no final de um ano. Nesse mesmo período, o recenseamento do INE refletia uma população total de $4,8 \cdot 10^7$ pessoas na Espanha, embora a população empregada (trabalhadores na ativa que geram contribuições e receitas fiscais diretas) fosse unicamente de $2,1 \cdot 10^7$ pessoas.

1. a) Modele a «dívida per capita» dividindo a dívida total pelo número total de habitantes. Expresse o quociente em notação científica com três algarismos significativos e, em seguida, indique-o em formato decimal comum (reais por habitante).
2. b) Modele a «dívida por trabalhador na ativa», dividindo a dívida total exclusivamente pela população empregada. Expresse o resultado em notação científica com três algarismos significativos.
3. c) Deduza, a partir das mantissas e dos expoentes calculados, quantas vezes é maior a carga teórica suportada por um trabalhador na ativa em relação à média da população geral. Explique por que o uso da notação científica simplifica a comparação de grandezas macroeconômicas em relação à notação numérica tradicional.

Uma consultora de auditoria analisa as contas de uma empresa de comércio eletrônico. Sabe-se que o lucro líquido anual, $B$, corresponde à fórmula $B = I - C$, onde $I$ são as receitas brutas e $C$ os custos operacionais totais. Por sua vez, os custos totais provêm da realização de $N$ entregas com um custo logístico unitário fixo de $c_u = 3,5 \cdot 10^1$ reais por envio (ou seja, $C = N \cdot c_u$). Dispõe-se dos seguintes dados consolidados:

• Receitas brutas: $I = 4,2 \cdot 10^8$ reais.

• Lucro líquido obtido: $B = 3,85 \cdot 10^8$ reais.

1. a) Formule a equação correspondente e calcule o valor dos custos operacionais totais $C$. Expresse o resultado em notação científica correta.
2. b) Calcule o número exato de envios $N$ realizados pela empresa durante esse exercício. Escreva $N$ em notação científica, identificando claramente a sua mantissa e a sua ordem de grandeza.
3. c) Se, tendo em vista o ano seguinte, as receitas $I$ se mantivessem idênticas, mas os custos totais $C$ aumentassem exatamente uma ordem de grandeza, fundamente, por meio da análise de expoentes, se a empresa continuaria a ter lucro ou entraria em prejuízo, sem necessidade de calcular a subtração completa.

Em um laboratório de nanotecnologia, está sendo analisada a massa de uma nova partícula sintética estimada em $m = 4,25 \cdot 10^{-22}$ gramas. No entanto, o instrumento de medição tem um erro absoluto máximo de $5 \cdot 10^{-25}$ gramas. Por outro lado, um astrônomo mede a massa de um asteroide próximo como $M = 7,8 \cdot 10^{15}$ quilogramas com um erro relativo de $0,01\%$.

Realize as seguintes tarefas expressando todos os resultados em notação científica:

1. a) Determine o intervalo de valores possíveis para a massa da partícula $m$ utilizando a notação de vizinhança $E(a, r)$.

1. b) Calcule o erro relativo máximo cometido na medição da partícula e compare-o com o erro relativo do asteroide. Justifique qual medição é mais precisa.

1. c) Se fossem unidas $1,5 \cdot 10^{24}$ partículas iguais, qual seria a massa total resultante? Considere tanto o valor estimado quanto o erro absoluto acumulado.

Calcule o valor da seguinte expressão simplificando o resultado ao máximo e expresse-o em notação científica com três algarismos significativos:

A seguir, estabeleça a cota do erro absoluto cometido ao arredondar o valor de $L$ para a primeira casa decimal de sua mantissa.

Um data center de uma rede social processa aproximadamente $2,5 \cdot 10^6$ consultas por segundo. Cada consulta requer a movimentação de $1,2 \cdot 10^4$ bytes de informação.

1. a) Calcule quantos terabytes ($1 \text{ TB} = 10^{12} \text{ bytes}$) de informação o centro processa em um ano bissexto.

1. b) Se o centro planeja aumentar sua capacidade de processamento em $15\%$ ao ano de forma composta, quanta informação (em bytes) processará por segundo daqui a uma década? Expresse o resultado em notação científica.

O número áureo, $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, está presente no design de muitas interfaces de aplicativos móveis atuais para obter harmonia visual. Considere um celular com uma tela que segue essa proporção, onde a largura mede $w = 6,8 \cdot 10^{-2}$ metros.

1. a) Calcule a área da tela em milímetros quadrados ($mm^2$) sabendo que a relação entre a altura ($h$) e a largura ($w$) é exatamente $\phi$. Utilize a expressão radical de $\phi$ para o cálculo e aproxime o resultado final em notação científica com duas casas decimais.

1. b) Se na fabricação do vidro ocorrer um erro de $1 \cdot 10^{-4}$ metros na largura, sem que a altura se altere, como isso afeta o erro relativo da área?

Em uma campanha de reflorestamento global, estima-se que cada árvore plantada absorva uma média de $2,2 \cdot 10^1$ kg de $CO_2$ por ano. A plataforma organizadora afirma que compensou $4,5 \cdot 10^8$ toneladas de $CO_2$ nos últimos 5 anos ($1 \text{ tonelada} = 10^3 \text{ kg}$).

1. a) Supondo que o número de árvores plantadas tenha sido constante e que a absorção seja cumulativa (as árvores plantadas no primeiro ano absorvem durante os cinco anos, as do segundo durante quatro, etc.), calcule quantas árvores foram plantadas a cada ano.

1. b) Se houver um erro na medição de absorção de $\pm 5\%$ por árvore, calcule o intervalo de erro absoluto da quantidade total de toneladas compensadas.

Represente na reta real o conjunto de números que satisfazem a seguinte condição de "tolerância industrial" para uma peça de precisão:

1. a) Expresse o conjunto na forma de intervalo e como uma desigualdade sem valor absoluto.

1. b) O número $0,00435$ é um valor aceitável para esta peça? Justifique sua resposta verificando se ele pertence ao conjunto.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Projeta-se que a população mundial atinja $9,7 \cdot 10^9$ pessoas no ano de 2050. Se a superfície terrestre total é de aproximadamente $1,48 \cdot 10^8 \text{ km}^2$, da qual apenas $25\%$ é habitável:

1. a) Calcule a densidade populacional (habitantes por $km^2$) nas zonas habitáveis para o ano 2050.

1. b) Se cada pessoa consumir em média $1,3 \cdot 10^6$ quilocalorias por ano, quanta energia alimentar total (em kcal) a humanidade necessitará em uma década (10 anos), supondo que a população se mantenha constante no valor de 2050? Dê o resultado em notação científica.

Dada a seguinte figura que representa um esquema de cabos de fibra óptica subterrâneos, a distância entre os pontos de registro $A$ e $B$ é dada pela expressão $d = \sqrt{5 \cdot 10^{-4}} + \sqrt{2 \cdot 10^{-5}}$ quilômetros.

1. a) Simplifique a expressão da distância $d$ extraindo fatores dos radicais e efetuando as operações para deixar um único radical (ou a soma mais simplificada possível).

1. b) Se para realizar um reparo for necessário um cabo cujo comprimento seja exatamente o triplo de $d$, calcule esse comprimento e expresse-o em metros utilizando notação científica com quatro algarismos significativos.

Uma sociedade de investimento administra uma carteira avaliada em $F = 5,2 \cdot 10^{10}$ reais. No encerramento do ano fiscal, deve incorporar dois ajustes: a cobrança dos juros vencidos de uma conta auxiliar, que chega a $I = 6,8 \cdot 10^4$ reais, e o pagamento de uma multa regulamentar no valor de $S = 4,1 \cdot 10^7$ reais. O patrimônio final ajustado corresponde à expressão $P = F + I - S$.

Para apresentar o relatório à assembleia geral com uma precisão de quatro algarismos significativos, dois economistas propõem abordagens distintas:

• Método 1 (Desenvolvimento decimal completo): Escrever todos os zeros de cada um dos três números, colocá-los em colunas de acordo com as unidades e realizar a adição e a subtração tradicionais na notação posicional clássica para depois voltar a converter para notação científica.

• Método 2 (Fatoração de ordens de grandeza): Colocar em evidência a potência predominante ($10^{10}$), expressar as quantidades secundárias como mantissas associadas a esse expoente ($I = 0,0000068 \cdot 10^{10}$ e $S = 0,0041 \cdot 10^{10}$) e analisar a relevância de cada termo antes de arredondar para quatro algarismos significativos.

1. a) Aplique o Método 2 mostrando passo a passo as operações e obtenha o valor final de $P$ com quatro algarismos significativos em notação científica. Explique o que acontece com a quantidade $I$ durante esse processo e justifique se é matematicamente pertinente ignorá-la.
2. b) Analise as vantagens e desvantagens de ambos os métodos considerando três critérios: risco de erro por omissão/adição de zeros, custo de tempo de cálculo e adequação aos sistemas computacionais de ponto flutuante.
3. c) Justifique de forma fundamentada qual dos dois métodos demonstra uma compreensão mais profunda da estrutura dos números reais e da manipulação de ordens de grandeza.

Num estudo sobre a gestão de recursos hídricos na bacia do rio São Francisco, a capacidade total de armazenamento em reservatórios está fixada em $C = 8,0 \cdot 10^9 \text{ m}^3$. No início do ano agrícola, a água armazenada encontra-se a $25\%$ da sua capacidade máxima total.

Ao longo dos $365$ dias do ano preveem-se três entradas e saídas de água:

1. Entradas por chuvas e escoamento fluvial: uma vazão constante que fornece $1,5 \cdot 10^6 \text{ m}^3$ de água por dia.

2. Perdas por evaporação natural na superfície dos reservatórios: um total acumulado no ano de $1,25 \cdot 10^8 \text{ m}^3$.

3. Extração para consumo humano, urbano e irrigação agrícola: extrai-se um volume total anual de $V_E = k \cdot 10^8 \text{ m}^3$, onde $k$ é um parâmetro que cumpre $1 \le k < 10$.

1. a) Expresse em notação científica rigorosa: o volume inicial de água armazenada e o volume total anual fornecido pelas chuvas.
2. b) Para evitar restrições severas nas cidades, as autoridades determinam que o volume final de água armazenada no final dos $365$ dias não pode ficar abaixo de uma reserva de emergência de $1,8 \cdot 10^9 \text{ m}^3$. Formule uma inequação com todos os termos expressos em notação científica e encontre o valor máximo admissível para a mantissa $k$.
3. c) Suponha que uma seca extrema reduz as chuvas de todo o ano em exatamente uma ordem de grandeza em relação à previsão inicial. Demonstre matematicamente se seria viável manter a reserva de emergência de $1,8 \cdot 10^9 \text{ m}^3$ mesmo no caso extremo de suspender totalmente o consumo humano e de irrigação ($k = 0$).