Exercícios: Conceitos básicos

Dada a função polinomial $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$, calcule as imagens para os valores $x = -2$, $x = 0$ e $x = 3$.

Um serviço de aluguel de bicicletas cobra uma taxa fixa de $3$ reais pelo cadastro no serviço, mais $1,50$ reais por cada hora de uso. Escreva a expressão algébrica da função que relaciona o custo total com o tempo de uso, e identifique qual é a variável independente e qual a variável dependente.

Calcule a Taxa de Variação Média (TVM) da função $f(x) = x^2 - 4$ nos intervalos $[-1, 2]$ e $[2, 5]$.

Determine o domínio de definição das seguintes funções:

1. a) $f(x) = \frac{3}{x - 5}$
2. b) $g(x) = \sqrt{x + 2}$

Observe o seguinte gráfico de uma função $f(x)$ e determine seus intervalos de crescimento e decrescimento, bem como as coordenadas exatas de seus máximos e mínimos relativos.

Determine algebricamente se as seguintes funções são pares, ímpares ou não têm nenhum tipo de simetria:

1. a) $f(x) = x^4 - 2x^2$
2. b) $g(x) = x^3 - 3x + 1$

A partir do gráfico da função $h(x)$, sabendo que a ordenada do ponto aberto em $x = -2$ é $1,25$, indique em forma de intervalo o seu domínio e o seu contradomínio.

Calcule analiticamente os pontos de interseção com o eixo das abscissas (eixo X) e com o eixo das ordenadas (eixo Y) da função $f(x) = x^2 - 6x + 8$.

Ao estudar a função $f(x) = \dfrac{2x - 6}{x + 1}$, o Hugo comete um erro conceitual muito comum ao determinar as interseções com os eixos. No caderno dele está escrito:\n«Para determinar a interseção com o eixo $Y$, resolvo a equação $2x - 6 = 0$, de onde obtenho $x = 3$, de modo que o gráfico intersecta o eixo $Y$ no ponto $(3, 0)$. Para determinar a interseção com o eixo $X$, substituo $x = 0$ e calculo $f(0) = \dfrac{-6}{1} = -6$, de modo que intersecta o eixo $X$ no ponto $(0, -6)$».\na) Explique detalhadamente que confusão o Hugo fez sobre o papel das variáveis independente e dependente ao procurar as interseções com os eixos.\nb) Justifique, a partir da definição de função, por que é matematicamente impossível que o gráfico de uma função intersecte o eixo $Y$ em dois ou mais pontos distintos.\nc) Corrija o procedimento do Hugo e determine as coordenadas corretas dos pontos de interseção de $f(x)$ com ambos os eixos cartesianos.

Escreva a expressão algébrica de uma função racional da forma $f(x) = \dfrac{a \cdot x + b}{x + c}$ que satisfaça simultaneamente as três condições seguintes:\n1) O domínio de definição é $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.\n2) O gráfico intersecta o eixo das ordenadas (eixo $Y$) no ponto $(0, -3)$.\n3) O gráfico intersecta o eixo das abscissas (eixo $X$) no ponto $(3, 0)$.\nExplique passo a passo como você deduz o valor numérico de cada um dos parâmetros $a$, $b$ e $c$, e escreva a fórmula definitiva da função, verificando que o numerador não se anula no valor excluído do domínio.

A distância $d$ (em metros) que um objeto percorre em queda livre em função do tempo $t$ (em segundos) é aproximada pela função $d(t) = 5t^2$. Calcule a velocidade média do objeto (que corresponde à Taxa de Variação Média) entre o primeiro e o terceiro segundo ($t \in [1, 3]$), e entre o terceiro e o quinto segundo ($t \in [3, 5]$).

Encontre o domínio da função $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4}}{x - 2}$.

Dado o seguinte gráfico de uma função definida por partes, encontre os valores de $f(-2)$, $f(1)$ e $f(4)$. Em seguida, indique em quais pontos a função é descontínua e de que tipo é cada descontinuidade.

Determine analiticamente a equação das assíntotas verticais e horizontais da função racional $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Uma empresa de táxi cobra $3$ reais pela bandeirada e $1,20$ reais por quilômetro percorrido.

1. a) Escreva a função que relaciona o preço total da corrida com os quilômetros percorridos.
2. b) Qual é o domínio dessa função, considerando o contexto do problema?
3. c) Quanto custará uma corrida de $15$ km?
4. d) Se um cliente pagou $21$ reais, quantos quilômetros foram percorridos?

O gráfico em anexo representa a altura, em metros, em que se encontra uma cabine de uma roda-gigante em função do tempo, em minutos. Observe o gráfico e responda:

1. a) É uma função periódica? Em caso afirmativo, indique o seu período.
2. b) Qual é a altura máxima e mínima que a cabine atinge?
3. c) A que altura se encontra a cabine aos $10$ minutos exatos do início do giro?

Calcule a Taxa de Variação Média da função $f(x) = \frac{1}{x}$ nos intervalos $[1, 2]$ e $[2, 4]$. O que indica o sinal dos resultados sobre o crescimento ou decrescimento da função nesses intervalos?

A temperatura $T$ (em graus Celsius) no interior de um forno industrial desde que é ligado até que é desligado é dada pela função $T(t) = -t^2 + 8t + 20$, em que $t$ é o tempo decorrido em horas. Em que instante se atinge a temperatura máxima? Qual é o valor dessa temperatura máxima?

A temperatura $T$ (em graus Celsius) registrada por uma estação meteorológica do INMET em uma região de montanha durante uma tarde de inverno é dada pela função $T(t) = -0,5 \cdot t^2 + 2t + 4$, onde $t$ é o tempo decorrido em horas desde as 12:00 do meio-dia ($t = 0$), para $t \in [0, 6]$.\na) Sem realizar cálculos numéricos exatos, estime de forma qualitativa se a Taxa de Variação Média no intervalo $[1, 5]$ (ou seja, $\text{TVM}[1, 5]$) será positiva ou negativa. Justifique a sua estimativa com base na forma da parábola e no sinal do seu coeficiente principal.\nb) Calcule algebricamente o valor exato da $\text{TVM}[1, 5]$ aplicando a sua fórmula e indique as unidades físicas que correspondem ao resultado.\nc) Verifique se o valor obtido coincide com a sua estimativa prévia e explique que significado físico esse resultado tem em relação ao resfriamento ou aquecimento médio do ambiente durante essas horas.

O serviço municipal de aluguel de bicicletas elétricas de uma cidade espanhola fatura o custo $C(t)$ (em reais) em função do tempo de utilização $t$ (em minutos, com $0 \le t \le 90$) mediante uma função definida por ramos. Os primeiros 20 minutos combinam uma taxa de desbloqueio com uma tarifa reduzida e, a partir do minuto 20, o custo por minuto aumenta para evitar que se monopolizem as bicicletas:\n$C(t) = \begin{cases} 0,60 + 0,05 \cdot t & \text{se } 0 \le t \le 20 \\ k + 0,15 \cdot (t - 20) & \text{se } 20 < t \le 90 \end{cases}$\na) Calcule o valor que o parâmetro $k$ deve assumir para que a função seja contínua em $t = 20$. Justifique que consequência econômica ou injustiça para o usuário ocorreria se houvesse uma descontinuidade de salto nesse instante.\nb) Sabendo que a tarifa é contínua, se um usuário receber uma cobrança exata de $4,60$ reais no seu aplicativo de celular, formule e resolva a equação correspondente para descobrir quantos minutos durou o seu trajeto.\nc) Calcule a taxa de variação média do custo no intervalo $[5, 15]$ e no intervalo $[30, 50]$. Explique o que representam esses dois valores numéricos em relação ao preço por minuto de cada faixa tarifária.

Encontre os valores dos parâmetros $a$ e $b$ para que a seguinte função definida por partes seja contínua em todo o seu domínio:

$f(x) = \begin{cases} 2x + a & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 3x + 5 & \text{si } 1 \le x < 4 \\ bx - 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$

Um agricultor dispõe de $100$ metros de cerca para cercar uma horta retangular aproveitando o muro retilíneo de um galpão já construído, de modo que só precisa cercar três dos quatro lados do retângulo.

1. a) Encontre a expressão da função que dá a área da horta em função do comprimento $x$ de um dos lados perpendiculares ao muro.
2. b) Determine o domínio de definição válido para $x$ no contexto deste problema.
3. c) Quais dimensões a horta deve ter para que sua área seja máxima?

Determine analiticamente o domínio da função $f(x) = \sqrt{\frac{x - 3}{x + 2}}$. Expresse o resultado como união de intervalos.

Dada a função quadrática $f(x) = x^2 + kx$, determine o valor do parâmetro $k$ sabendo que a Taxa de Variação Média da função no intervalo $[1, 3]$ é igual a $8$.

Analise o seguinte gráfico da função $f(x)$ e determine:

1. a) O seu domínio e imagem.
2. b) As equações de suas assíntotas.
3. c) Os intervalos de crescimento e decrescimento.
4. d) As coordenadas de seus extremos relativos (máximos e mínimos).

Dada a função racional $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$:

1. a) Demonstre analiticamente se é uma função par, ímpar ou se não apresenta simetria.
2. b) Calcule os pontos de interseção com os eixos de coordenadas.
3. c) Encontre as equações de todas as suas assíntotas (verticais e horizontais).

Um estacionamento público tem a seguinte tarifa: cobra $2$ reais pela primeira hora (ou fração de hora), e $1,50$ reais por cada hora adicional (ou fração). O custo máximo por dia é de $12$ reais. Escreva a expressão analítica da função definida por partes que relaciona o preço a pagar com o tempo de estacionamento $t$ (em horas) para as primeiras $5$ horas, indicando claramente os intervalos de definição para cada trecho.

Dada a função racional $f(x) = \frac{ax^2 + 3}{2x^2 - x}$, determine o valor do parâmetro $a$ para que a função tenha uma assíntota horizontal na reta $y = 4$. Com esse valor de $a$ já calculado, encontre também as equações das assíntotas verticais da função.

Para determinar se a função racional $f(x) = \dfrac{4x}{x^2 - 9}$ apresenta algum tipo de simetria (par, ímpar ou nenhuma), dois estudantes do 4.º de ESO defendem métodos diferentes:\n- Estratégia de Álvaro: Avalia a função num valor concreto do seu domínio, por exemplo $x = 1$, obtendo $f(1) = -0,5$ e $f(-1) = 0,5$. Ao observar que $f(-1) = -f(1)$, afirma que isto demonstra com certeza que a função é ímpar em todo o seu domínio.\n- Estratégia de Marta: Sustenta que verificar um caso particular não demonstra uma propriedade geral. Propõe substituir a variável $x$ por $-x$ de forma genérica, simplificar a expressão algébrica de $f(-x)$ e compará-la formalmente com $-f(x)$ e com $f(x)$.\na) Analisa a estratégia de Álvaro: justifica por que razão um exemplo numérico não constitui uma demonstração matemática válida e fornece a fórmula de uma função $g(x)$ que cumpra $g(-1) = -g(1)$, mas que não seja ímpar no resto do seu domínio.\nb) Aplica a estratégia de Marta desenvolvendo algebricamente $f(-x)$ e conclui com rigor que tipo de simetria tem $f(x)$.\nc) Justifica em que situação de um exame pode ser útil o método de Álvaro (a título de descarte ou conjetura) e por que razão o método de Marta é o único matematicamente conclusivo.

Uma equipe de engenharia eletrônica projeta a resposta de um filtro de sinal cujo ganho de tensão $f(x)$ (em volts) depende da frequência de entrada $x$ (em kHz). A resposta segue o modelo de função racional:\n$f(x) = \dfrac{a \cdot x^2 + b}{c \cdot x^2 - 18}$\nPara que o circuito funcione de forma ótima, deve cumprir rigorosamente quatro especificações técnicas:\n1) O gráfico é simétrico em relação ao eixo $Y$ (função par).\n2) O circuito entra em ressonância crítica (apresenta assíntotas verticais) exatamente nas frequências $x = 3$ kHz e $x = -3$ kHz.\n3) Em frequências extremamente altas ($x \to \infty$), o ganho se estabiliza em uma assíntota horizontal de valor $y = 2$ V.\n4) Quando não há sinal de entrada ($x = 0$ kHz), o ganho inicial é de $-1$ V.\na) Deduza de forma fundamentada o valor dos coeficientes $a$, $b$ e $c$. Justifique cada dedução a partir das condições dadas.\nb) Demonstre formalmente que a função obtida com esses coeficientes cumpre a condição algébrica de função par para todo $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.\nc) Determine se o sinal de saída pode se anular em algum momento (isto é, se o gráfico intersecta o eixo $X$). Justifique sua resposta resolvendo a equação $f(x) = 0$ e explique por que razão ter uma assíntota horizontal em $y = 2$ não impede, em princípio, que uma função possa intersectar ou não o eixo horizontal.