Exercícios: A taxa anual equivalente

Uma conta poupança para jovens oferece juros nominais anuais (taxa nominal) de $3 \%$ com capitalização mensal. Calcule a taxa efetiva anual desta conta.

Para financiar uma viagem de formatura, um grupo de alunos deposita suas economias em um produto financeiro que oferece $4 \%$ de juros nominais anuais com capitalização trimestral. Determine a taxa efetiva anual (TEA) da operação.

Um banco oferece dois tipos de depósitos a prazo de um ano:

• Depósito A: $5 \%$ de taxa nominal com pagamento de juros semestral.

• Depósito B: $5,05 \%$ de taxa efetiva anual com pagamento de juros anual.

Calcule a taxa efetiva anual do Depósito A para saber qual dos dois é mais rentável.

Preencha a tabela a seguir indicando o valor de $n$ (número de períodos de capitalização por ano) que você deve utilizar na fórmula da taxa efetiva anual (TEA) para cada caso:

Um banco anuncia uma conta poupança com uma taxa efetiva anual (TEA) de $2,5 \%$ e capitalização anual de juros. Se o período de capitalização for de um ano completo, qual é a taxa de juros nominal anual desta conta? Explique por que, neste caso, os dois valores coincidem.

Calcule a taxa efetiva anual (TEA) correspondente a juros nominais de $12 \%$ ao ano capitalizados trimestralmente. Se depois decidirmos mudar para uma capitalização mensal mantendo a mesma taxa nominal, a taxa efetiva anual aumentará ou diminuirá? Verifique realizando o segundo cálculo.

A Marta quer calcular a Taxa Anual Efetiva Nominal ($\text{TAE}$) de uma conta poupança que anuncia uma $\text{TIN}$ de $3\,\%$ com crédito mensal de juros e sem tarifas. No caderno dela, está escrita a seguinte resolução:

A Marta percebe que o resultado obtido é exagerado para uma conta poupança real, mas não localiza o erro.

1. a) Identifique e explique detalhadamente o erro que a Marta cometeu ao introduzir a taxa nominal na fórmula.
2. b) Corrija o raciocínio e determine a verdadeira $\text{TAE}$ da conta, expressando o resultado em porcentagem e arredondando para duas casas decimais.
3. c) Explique por que, conceitualmente, a $\text{TAE}$ correta deve ser apenas ligeiramente superior aos $3\,\%$ anunciados e não um valor tão distante.

Uma instituição bancária comercializa um depósito a prazo de $1$ ano com uma $\text{TIN}$ de $4\,\%$, sem comissões e com liquidação trimestral de juros ($n = 4$).

1. a) Antes de efetuar qualquer cálculo com a fórmula, faça uma estimativa qualitativa e fundamentada: você espera que a $\text{TAE}$ seja menor do que $4\,\%$, exatamente igual a $4\,\%$, ligeiramente superior (por exemplo, entre $4,05\,\%$ e $4,10\,\%$) ou muito superior (acima de $5\,\%$)? Justifique a sua previsão apoiando-se no mecanismo de reinvestimento dos juros gerados ao longo do ano.
2. b) Aplique a fórmula da $\text{TAE}$ para calcular o seu valor numérico exato (arredonde a duas casas decimais em porcentagem).
3. c) Compare o valor obtido com a sua estimativa prévia e avalie se faz sentido econômico que a diferença entre $\text{TIN}$ e $\text{TAE}$ seja dessa magnitude para taxas de juro moderadas.

Dois bancos digitais, NeoBank e BancaApp, querem captar suas economias para um fundo que você está criando para sua viagem de formatura.

• NeoBank lhe oferece uma taxa de juros nominal anual de $3,5\%$ com capitalização mensal dos juros.

• BancaApp lhe oferece uma taxa de juros nominal anual de $3,55\%$ com capitalização semestral.

Calcule a taxa efetiva anual de ambas as opções e determine qual é mais rentável para suas economias.

Você quer comprar uma mesa digitalizadora que custa $450$ reais e decide financiá-la com um cartão de crédito de uma loja de eletrônicos. O contrato indica que a taxa de juros mensal aplicada será de $1,8\%$.

1. a) Calcule a taxa de juros nominal anual que estão cobrando de você.
2. b) Determine a taxa efetiva anual (CET) associada a essa operação financeira.

Um banco anuncia um empréstimo pessoal para jovens com uma taxa efetiva anual (TEA) de $7,2\%$. Se os juros forem capitalizados mensalmente e não existirem tarifas adicionais, qual é a taxa de juros nominal anual aplicada?

Uma instituição financeira oferece um depósito a prazo fixo de um ano com uma taxa de juros nominal de $4\%$. No entanto, o banco cobra de você uma comissão de abertura fixa de $25$ reais que é descontada no início do investimento. Se você decidir investir $2.000$ reais:

1. a) Qual é o capital real que você está investindo após pagar a comissão?
2. b) Qual capital você receberá ao final do ano?
3. c) Considerando que ao final do ano você recebe o capital mais os juros, calcule a taxa efetiva anual real da operação, considerando a comissão como um capital inicial menor.

Você viu um anúncio de "microcréditos rápidos" na internet. Eles emprestam $300$ reais para uma despesa urgente e você deve devolver $315$ reais depois de exatamente um mês.

1. a) Calcule a taxa de juros mensal em porcentagem.
2. b) Calcule a taxa efetiva anual (TAE) deste empréstimo, caso fossem mantidas as mesmas condições durante um ano inteiro. Você acha que é uma taxa de juros razoável em comparação com a de um empréstimo bancário comum?

O banco FácilPoupança credita os juros de suas contas a cada trimestre. Se um cliente quiser obter um rendimento efetivo anual de $5\%$, que taxa de juros nominal anual o banco deveria oferecer?

Compare as seguintes três ofertas de investimento para um capital de $5.000$ reais durante um ano:

• Oferta A: $4,2\%$ de juros nominais anuais, com capitalização trimestral.

• Oferta B: $4,15\%$ de juros nominais anuais, com capitalização mensal.

• Oferta C: $4,25\%$ de juros anuais simples (os juros não são reinvestidos).

Calcule a taxa efetiva anual de cada uma (no caso C, a taxa efetiva coincide com os juros simples por ser um ano) e ordene-as da melhor para a pior.

Uma empresa de telefonia oferece financiamento para um smartphone top de linha. O telefone custa $1.100$ reais à vista. O financiamento consiste em $12$ parcelas mensais de $98$ reais.

1. a) Calcule o total pago ao final do ano.
2. b) Se o excesso pago sobre o preço à vista for considerado como juros decorridos no final do ano, que taxa de juros simples anual você estaria pagando?
3. c) Se a instituição financeira nos disser que a taxa efetiva anual da operação é de $13,5\%$, verifique se o capital final de investir $1.100$ reais a esses juros compostos mensais coincide aproximadamente com o total das parcelas pagas.

Um banco digital que opera no Brasil pretende lançar uma conta poupança remunerada sem tarifas de manutenção. A equipe de marketing tem como objetivo fixar uma $\text{TAE}$ exata de $3,50\,\%$, creditando os juros mês a mês ($n = 12$).

1. a) Escreva a equação que permite obter a $\text{TIN}$ anual ($r$) a partir da $\text{TAE}$ fixada e do número de períodos de liquidação anuais.
2. b) Isole algebricamente a variável $r$ e calcule a $\text{TIN}$ que a instituição deve publicar em sua documentação pré-contratual, arredondando para duas casas decimais de porcentagem.
3. c) Se o banco decidisse alterar a periodicidade de pagamento para diária ($n = 365$), a $\text{TIN}$ necessária para manter essa mesma $\text{TAE}$ de $3,50\,\%$ teria de ser maior ou menor do que a obtida no item anterior? Justifique sua resposta analisando a relação entre a frequência de capitalização e a acumulação de juros.

Você dispõe de $\text{R\$}\ 10.000$ e lhe propõem duas opções de depósito a prazo de $1$ ano sem comissões:

• Opção A: $\text{TIN}$ de $3,20\,\%$ com capitalização semestral ($n = 2$).

• Opção B: $\text{TIN}$ de $3,18\,\%$ com capitalização diária ($n = 365$).

Para decidir qual produto contratar, dois colegas de turma propõem estratégias distintas:

• Método 1 (Via TAE): Calcular diretamente a $\text{TAE}$ de cada alternativa por meio da sua fórmula e escolher a que apresentar a porcentagem mais elevada.

• Método 2 (Via Capital Final): Calcular o capital final acumulado ao término do ano aplicando a capitalização composta período a período sobre os $\text{R\$}\ 10.000$ e escolher a que proporcionar mais reais de ganho.

1. a) Aplique numericamente ambos os métodos e confirme se os dois levam à mesma decisão.
2. b) Justifique qual método se revela mais eficiente e generalizável caso fosse preciso prestar aconselhamento a um conjunto de clientes com montantes muito diversos (desde $\text{R\$}\ 500$ até $\text{R\$}\ 500.000$).
3. c) Imagine que a Opção A acrescenta uma tarifa de manutenção de conta de $\text{R\$}\ 12$ no final do ano. Explique por que razão o Método 1 exigiria adaptar o cálculo e qual seria o impacto qualitativo desse custo na rentabilidade efetiva real.

Uma conhecida rede de lojas de tecnologia oferece uma promoção para comprar um computador de última geração que custa $\text{R\$}\ 1.500$. A oferta consiste em um financiamento de $12$ meses com $0 \%$ de juros nominais ($TIN$), mas com uma tarifa de abertura de $\text{R\$}\ 75$ que é paga na primeira parcela. Se compararmos esta oferta com um empréstimo bancário tradicional que não tem tarifas, mas aplica juros compostos mensais, qual deveria ser o $TIN$ deste segundo empréstimo para que sua Taxa Anual Equivalente ($TAE$) seja idêntica à da oferta da loja?

Um jovem investidor está analisando dois produtos financeiros para suas economias. O primeiro é uma conta de poupança que oferece $4,5 \%$ de taxa de juros nominal anual com capitalização diária. O segundo é um fundo de investimento que garante $4,6 \%$ de taxa de juros nominal anual, mas com capitalização semestral. Demonstre algebricamente qual dos dois produtos gera uma maior rentabilidade real anual mediante o cálculo de suas respectivas $TAE$ e determine a diferença percentual entre ambas em base anual.

Um "microcrédito" pela internet oferece $\text{R\$}\ 300$ a ser devolvido em um único pagamento aos $15$ dias. O credor cobra $\text{R\$}\ 12$ a título de "taxas de gestão", mas na publicidade indica que a taxa de juros é de $0 \%$. Calcule a $TAE$ real desta operação financeira considerando que um ano tem $365$ dias. Reflita sobre por que esse dado é obrigatório por lei na publicidade desses produtos.

Uma instituição bancária anuncia uma conta de depósito com uma $TAE$ de $5,116125 \%$. Se o banco fizer a capitalização dos juros de forma mensal, calcule a Taxa de Juros Nominal ($TIN$) anual que está aplicando. Uma vez obtida, calcule quanto dinheiro receberia um cliente que deposita $\text{R\$}\ 10.000$ durante um trimestre se decidir não reinvestir os juros gerados a cada mês (juros simples durante esse período).

Ao solicitar um empréstimo hipotecário de $\text{R\$}\ 180.000$ a ser amortizado em 20 anos por meio do sistema francês, o banco nos oferece uma $TIN$ de $3,2 \%$ com capitalização mensal. No entanto, para concedê-lo, exige que contratemos um seguro de vida anual de $\text{R\$}\ 250$ (pago de forma repartida mensalmente juntamente com a prestação durante os 20 anos) e que paguemos uma comissão de abertura de $0,5 \%$ sobre o capital solicitado. Calcule a $TAE$ da operação, incluindo todas essas despesas adicionais no custo efetivo do capital.

Comparamos dois cartões de crédito. O Cartão Platina cobra uma taxa de juros nominal mensal de $1{,}8\,\%$ sem tarifa de manutenção. O Cartão Ouro cobra $1{,}5\,\%$ nominal mensal, mas tem uma tarifa fixa de manutenção de $\text{R\$}\ 45$ por ano. Um usuário mantém uma dívida média constante de $\text{R\$}\ 1.200$ durante todo o ano.

1. a) Calcule a $TAE$ do Cartão Platina e a $TAE$ dos juros do Cartão Ouro (sem contar a tarifa de manutenção).

1. b) Calcule o custo anual total de cada cartão (juros e tarifa) para uma dívida média de $\text{R\$}\ 1.200$.

1. c) Escreva o custo anual de cada cartão em função da dívida média $D$ e determine a partir de que valor de dívida média anual o Cartão Ouro começaria a compensar mais.

Um banco oferece um produto de investimento no qual os juros são capitalizados de forma trimestral. Se um cliente desejar que seu capital inicial dobre exatamente em $10$ anos, qual deve ser a $TAE$ mínima que o produto deve oferecer? Expresse o resultado com quatro casas decimais e calcule também o $TIN$ anual correspondente a essa operação.

Uma plataforma de crowdlending permite emprestar dinheiro a PMEs. Uma empresa solicita $\text{R\$}\ 5.000$ e se compromete a devolver $\text{R\$}\ 5.600$ ao cabo de $9$ meses em um único pagamento. Calcule a $TAE$ que os investidores obterão se a plataforma cobrar uma comissão de gestão de $1 \%$ sobre o capital final recebido no momento do vencimento. Compare este resultado com a $TAE$ que seria obtida se não existisse essa comissão de gestão.

Uma concessionária de veículos de mobilidade urbana propõe financiar uma motoneta elétrica de $\text{R\$}\ 3.000$ para devolver o montante integral em um único pagamento ao fim de $1$ ano, apresentando duas promoções alternativas:

• Promoção 'Sem Juros': É divulgada com uma $\text{TIN}$ de $0\,\%$. Contudo, o contrato inclui uma comissão de análise e abertura de $3\,\%$ sobre o preço do veículo ($\text{R\$}\ 90$) que é somada à dívida a ser quitada ao fim de um ano, e despesas iniciais de gestão de $\text{R\$}\ 60$ que devem ser pagas à vista no momento da entrega ($t = 0$).

• Promoção 'Financiamento Padrão': $\text{TIN}$ de $4,50\,\%$ ao ano com capitalização trimestral de juros compostos ($n = 4$), sem qualquer tipo de comissão de abertura nem despesas iniciais, pagando-se capital mais juros no fim do ano.

1. a) Modele o fluxo monetário da Promoção 'Sem Juros': determine a quantia líquida de dinheiro que o comprador efetivamente recebe financiada em $t = 0$ e o montante total que desembolsa ao fim de $1$ ano. Com esses dois montantes, calcule a $\text{TAE}$ efetiva do empréstimo.
2. b) Modele e calcule a $\text{TAE}$ correspondente à Promoção 'Financiamento Padrão'.
3. c) Determine, justificando, qual das duas propostas é financeiramente mais vantajosa para o comprador e reflita sobre o motivo pelo qual a regulamentação de transparência bancária exige destacar a $\text{TAE}$ em qualquer anúncio publicitário, mesmo quando a $\text{TIN}$ divulgada seja de $0\,\%$.

Um folheto de investimento divulga um produto estruturado a $1$ ano com uma $\text{TAE}$ de $5,00\,\%$. Um consultor comercial financeiro afirma diante de um cliente: «Se combinarmos liquidar os juros de forma instantânea e contínua em vez de mensalmente, mantendo a mesma $\text{TIN}$ anual, a rentabilidade efetiva ($\text{TAE}$) aumentará substancialmente, podendo atingir os $6\,\%$ ou até os $7\,\%$.»

1. a) Supondo que o produto oferece uma $\text{TAE}$ de $5,00\,\%$, calcule a $\text{TIN}$ ($r$) que corresponderia caso a capitalização fosse mensal ($n = 12$) e a que corresponderia sob capitalização contínua, utilizando a expressão limite $\text{TAE} = e^{r/100} - 1$. Arredonde ambos os valores a três casas decimais de porcentagem.
2. b) Suponha agora que o banco fixa previamente uma $\text{TIN}$ de $4,88\,\%$. Demonstre analiticamente que existe um limite superior finito para a $\text{TAE}$ que não pode ser ultrapassado, independentemente de quão grande seja o número de períodos de liquidação $n$. Determine o valor exato desse limite superior máximo.
3. c) Com base nos resultados dos itens anteriores, refute com argumentos matemáticos a afirmação do consultor comercial e explique que conclusão prática um poupador deve tirar sobre a verdadeira influência de aumentar a frequência de liquidação na rentabilidade do seu dinheiro.