Exercícios: Aumentos e diminuições porcentuais

O preço de um ingresso para o festival de música "Tecno-Vibes" é de $\text{R\$}\ 55$. Se a organização decidir aumentar o seu preço em $12\text{ \%}$ devido à elevada demanda, qual será o novo preço do ingresso? Indique também qual é o índice de variação aplicado.

Uma loja de roupas esportivas anuncia uma liquidação de temporada com um desconto de $25\text{ \%}$ em todos os seus tênis. Se um tênis de corrida custava originalmente $\text{R\$}\ 110$, quanto pagaremos por ele após o desconto? Calcule o índice de variação correspondente.

No ano de 2022, uma assinatura mensal de uma plataforma de streaming custava $\text{R\$}\ 12,50$. Em 2023, o preço subiu para $\text{R\$}\ 14,75$. Calcule o índice de variação e o aumento percentual que a assinatura sofreu.

Após ser aplicado um desconto de $15\text{ \%}$, um notebook custa $\text{R\$}\ 680$. Qual era o preço original do computador antes da promoção? Utilize o conceito de índice de variação para resolvê-lo.

O salário de um jovem programador aumenta $5\text{ \%}$ ao finalizar o seu primeiro ano de contrato. No entanto, no segundo ano, devido a uma crise na empresa, o seu salário é reduzido em $5\text{ \%}$. O salário final é o mesmo que o inicial? Justifique a resposta calculando o índice de variação global.

Um componente eletrônico tem um preço de venda ao público de $\text{R\$}\ 242$ com o $IVA$ de $21\text{ \%}$ já incluído. Determine o preço do produto antes dos impostos (base de cálculo).

Um shopping celebra o "Dia sem imposto". Isso significa que do preço final de venda (que já inclui o $21\text{ \%}$ de $IVA$) é descontado o valor equivalente ao imposto.

Se uma televisão tem um preço de $\text{R\$}\ 484$ ($IVA$ incluído), qual será o seu preço durante a promoção? Verifique se essa promoção equivale a um desconto de $21\text{ \%}$ sobre o preço final.

Um ingresso de cinema custa $\text{R\$}\ 9$. Se eu pagar com o cartão jovem, aplica-se um desconto de $20\text{ \%}$. Mas se além disso for "quarta-feira do espectador", o preço já com desconto volta a baixar $10\text{ \%}$ adicional.

1. a) Calcule o preço final do ingresso em uma quarta-feira para um usuário com cartão jovem.
2. b) Calcule o índice de variação total e a porcentagem de desconto real sobre o preço inicial.

Uma loja de tecnologia anuncia suas liquidações de temporada. Uns fones de ouvido sem fio que custavam $120$ reais têm um desconto de $15 \%$. Depois de aplicar o desconto, ao comprá-los pelo site, aplica-se uma taxa adicional de $5 \%$ por despesas de gerenciamento de envio sobre o preço com desconto. O esquema resume o processo.

1. a) Calcule o preço final dos fones de ouvido.

1. b) Qual é o índice de variação global desta operação?

A Maria Eduarda compra um notebook para os seus estudos cuja nota fiscal final com o $21\,\%$ de imposto incluído chega a $\text{R\$}\ 847$. Para descobrir o preço do equipamento antes dos impostos, ela calcula o $21\,\%$ de $\text{R\$}\ 847$ obtendo $\text{R\$}\ 177,87$, e em seguida subtrai essa quantia: $847 - 177,87 = \text{R\$}\ 669,13$. Identifique e explique de forma fundamentada o erro conceitual cometido pela Maria Eduarda, defina o fator de variação adequado para desfazer essa porcentagem e calcule o preço real do notebook antes de aplicar o imposto.

O passe jovem de transporte público de um estado tinha uma tarifa mensal de $\text{R\$}\ 40$. No início do ano sofreu um aumento de $15\,\%$ sobre o seu valor e, seis meses mais tarde, para compensar as despesas das famílias, foi aplicado um desconto de $15\,\%$ sobre o preço já aumentado.\na) Antes de realizar cálculos numéricos no papel, estime de forma fundamentada se o preço final resultante será exatamente $\text{R\$}\ 40$, superior a $\text{R\$}\ 40$ ou inferior a $\text{R\$}\ 40$.\nb) Realize o cálculo matemático formal utilizando os índices de variação para verificar a sua estimativa, indique o índice de variação global e determine a variação percentual efetiva em relação ao preço original de $\text{R\$}\ 40$.

Uma loja de tecnologia lança um novo modelo de fones de ouvido sem fio ao preço de $120$ reais. Devido à alta demanda, no mês seguinte decidem aumentar seu preço em $15$ %. No entanto, ao chegar a semana da "Black Friday", aplicam um desconto de $20$ % sobre o preço aumentado. Calcule o preço final dos fones de ouvido e determine o índice de variação global do preço.

Uma jovem influencer dedicada ao design sustentável tinha $15.400$ seguidores em sua conta ao começar o ano. Após uma campanha de conscientização sobre a reciclagem, seu número de seguidores aumentou até atingir $19.096$. Qual foi a porcentagem de aumento em sua comunidade? Se ela espera que no próximo trimestre o crescimento seja de $8$ % sobre o valor atual, quantos seguidores terá então?

Nas liquidações de janeiro, um par de tênis esportivos tem um desconto de $35$ %. Se o preço com desconto que consta na etiqueta é de $57,20$ reais, qual era o preço do tênis antes de começar a liquidação? Indique também a economia total obtida em reais.

O preço de uma assinatura premium de uma plataforma de streaming é de $15,99$ reais por mês, com imposto incluído. Sabendo que a alíquota de imposto aplicada a esses serviços digitais na Espanha é de $21$ %, calcule:

1. a) A base de cálculo da fatura (o preço antes dos impostos).
2. b) O valor exato pago de imposto.
3. c) Se a plataforma anunciar um aumento da base de cálculo de $5$ % para o próximo ano, qual será o novo preço mensal com o imposto incluído?

Um pequeno comércio de bairro decide atualizar os preços de seus produtos de acordo com o custo de vida. No início do ano, aumenta todos os preços em $4$ %. No verão, devido a uma promoção especial, aplica um desconto de $10$ % sobre os preços já atualizados.

1. a) Calcule o índice de variação global.
2. b) Qual foi a variação percentual total em relação ao preço original do final do ano passado?
3. c) Se um produto custava originalmente $25$ reais, qual é o seu preço após as duas alterações?

Devido à melhoria na infraestrutura de transporte, o tempo de deslocamento entre duas cidades reduziu em $18$ % este ano. Se atualmente o trajeto é realizado em $82$ minutos, quanto tempo se levava no ano passado? Expresse o resultado em horas e minutos.

O salário bruto anual de um trabalhador sofreu as seguintes alterações em um período de três anos: no primeiro ano subiu $2$ %, no segundo ano se manteve congelado ($0$ % de variação) e no terceiro ano caiu $3$ % devido a uma reestruturação da empresa.

1. a) Calcule o índice de variação global ao final dos três anos.
2. b) Se o salário inicial era de $24.500$ reais, qual é o seu salário após o terceiro ano?
3. c) Qual porcentagem o salário deveria subir no quarto ano para recuperar exatamente o poder de compra inicial de $24.500$ reais?

Um investidor compra ações de uma empresa tecnológica. Durante o primeiro mês, o valor das ações sobe $20$ %. Durante o segundo mês, o valor cai $20$ %. O investidor afirma: "Fiquei igual ao início, nem ganhei nem perdi".

1. a) Demonstre matematicamente se o investidor tem razão ou não, utilizando índices de variação.

1. b) Se investiu inicialmente $5.000$ reais, qual é o valor do seu investimento após os dois meses?

1. c) Calcule a porcentagem de variação global do investimento.

Uma loja de esportes oferece durante a liquidação três alternativas para vender artigos de temporada cujo preço inicial é $P$ reais:\n- Método 1: Aplicar um desconto direto e único de $25\,\%$.\n- Método 2: Aplicar primeiro um desconto de $15\,\%$ e, em seguida, um desconto adicional de $10\,\%$ sobre o preço com desconto.\n- Método 3: Aplicar primeiro o desconto de $10\,\%$ e, sobre esse valor, o de $15\,\%$.\na) Expresse o preço final obtido com cada método em função do preço inicial $P$ utilizando índices de variação.\nb) Analise de forma fundamentada se o Método 2 e o Método 3 dão origem ao mesmo preço final e explique a que propriedade matemática isso se deve.\nc) Justifique qual dos três métodos é mais vantajoso para o cliente e calcule a porcentagem de desconto efetivo equivalente que se aplica no Método 2.

De acordo com dados do Instituto Nacional de Estatística (INE) sobre o mercado de aluguel em uma capital de estado, o preço médio do metro quadrado variou da seguinte forma ao longo de três anos consecutivos: em 2021 subiu $6\,\%$; em 2022 sofreu um novo aumento de $8\,\%$; e em 2023 registrou uma queda de $5\,\%$.\na) Modele a evolução do preço calculando o índice de variação de cada ano e o índice de variação global correspondente ao triênio completo.\nb) Determine a variação percentual acumulada que o preço do aluguel registrou entre o início de 2021 e o final de 2023.\nc) Se o aluguel mensal de um apartamento custava $\text{R\$}\ 750$ no início de 2021, calcule o seu valor no final de 2023. Da mesma forma, se um inquilino pagava $\text{R\$}\ 870$ por mês no final de 2023, deduza quanto pagava no início de 2021.

Uma empresa de componentes tecnológicos para smartphones sofreu uma série de alterações nos seus custos de produção ao longo de três trimestres. No primeiro trimestre, o custo aumentou $12\%$. No segundo trimestre, devido a uma otimização de processos, o custo diminuiu $8\%$. Para o terceiro trimestre, a direção estabeleceu como objetivo que o custo final seja exatamente $5\%$ menor que o custo inicial antes de começar o primeiro trimestre. Calcule a porcentagem exata de diminuição que deve ser aplicada no terceiro trimestre para atingir esse objetivo.

Um jovem programador freelancer cobrou por um projeto um total de $2.450$ reais após ter sido aplicado um acréscimo de $21\%$ de imposto (IVA) e, posteriormente, uma retenção de $15\%$ de imposto de renda (IRPF) sobre o valor já acrescido do imposto. No entanto, o cliente cometeu um erro e deveria ter aplicado a retenção do imposto de renda apenas sobre a base de cálculo (antes dos impostos). Calcule:

1. A base de cálculo original do projeto.

2. A diferença de dinheiro que o programador deveria cobrar ou devolver para corrigir o erro.

Em uma loja de moda urbana, aplicam-se descontos sucessivos. Primeiro, anuncia-se um desconto geral de $20\%$ sobre todos os artigos. Durante a "semana de liquidação", aplica-se um desconto adicional de $30\%$ sobre o preço já com desconto. Um cliente tem um cupom VIP que permite um desconto extra de $10\%$ sobre o último preço obtido.

Esse processo de três descontos é equivalente a um único desconto de $60\%$? Justifique a resposta calculando o índice de variação global e determine qual seria o preço inicial de um moletom que termina custando $39,20$ reais após os três descontos.

O índice de preços dos aluguéis em uma grande cidade aumentou $15\%$ no ano passado e espera-se que aumente outros $8\%$ este ano. Ao mesmo tempo, o salário médio dos jovens da cidade aumentou $2\%$ no ano passado e prevê-se uma alta de $5\%$ para este ano.

O esquema resume os dados: parte de um índice $100$ no ano 0 e mostra o aumento de cada ano.

Calcule o índice de variação global dos aluguéis e dos salários após os dois anos. Utilizando esses dados, determine em que porcentagem variou realmente o poder de compra de um jovem que dedica todo o seu salário exclusivamente ao pagamento do aluguel.

Uma cadeia de supermercados anuncia uma promoção de "3x2" em frascos de detergente. Ao mesmo tempo, o concorrente direto oferece a segunda unidade pela metade do preço ($50\%$ de desconto na segunda unidade).

1. Calcule a porcentagem de desconto real que cada uma das ofertas representa ao comprar o número mínimo de frascos necessários para aproveitar a promoção.

2. Se o preço original de um frasco em ambas as lojas é de $12$ reais, qual oferta é mais vantajosa e qual é a economia porcentual da melhor em relação à pior?

Devido à inflação, o preço de um modelo de console de videogame subiu $25\%$ desde o seu lançamento. Para promover as vendas na Black Friday, o comércio quer aplicar um desconto de modo que o preço final seja exatamente o mesmo do preço original de lançamento.

1. Qual porcentagem de desconto o comércio deve aplicar sobre o preço inflacionado?

2. Se após aplicar esse desconto o preço é de $450$ reais, qual era o preço do console no momento anterior ao aumento pela inflação?

Um investidor distribui suas economias em dois produtos financeiros. No Produto A, investe $60\%$ do seu capital e obtém um lucro de $15\%$. No Produto B, investe o restante e sofre uma perda de $8\%$.

Calcule o índice de variação global do seu capital total e a porcentagem de ganho ou perda líquida. Se ao final do ano o seu capital total soma $53.100$ reais, qual era o seu capital inicial e quanto dinheiro perdeu especificamente no Produto B?

Uma população de bactérias diminui $20\%$ a cada hora devido à aplicação de um antibiótico. No entanto, a cada 3 horas, as bactérias sobreviventes desenvolvem uma resistência que faz com que seu número aumente repentinamente $10\%$. Se no início do experimento havia uma cultura de $500.000$ bactérias, calcule quantas bactérias haverá ao fim de 6 horas e qual é o índice de variação global da população nesse período de tempo.

Uma cooperativa agrícola de azeite extravirgem aumentou o preço de origem do seu produto em $30\,\%$ na primeira metade do ano devido à seca. Para a segunda metade do ano, com o objetivo de recuperar vendas no mercado nacional, a direção precisa aplicar uma variação percentual $x\,\%$ sobre o preço aumentado, de modo que o preço final resultante represente exatamente um aumento global de $10,5\,\%$ em relação ao preço que o azeite tinha antes de começar o ano.\na) Formule uma equação baseada nos índices de variação que relacione a alta inicial, a variação desconhecida $x$ e o índice global fixado.\nb) Resolva a equação, esclareça se a variação $x$ corresponde a um aumento ou a uma redução e determine a sua porcentagem exata.\nc) Generalize o raciocínio: se uma grandeza sofre um aumento de $r\,\%$ ($r > 0$), deduza algebricamente a expressão da porcentagem de redução $d\,\%$ que deve ser aplicada em seguida sobre a quantidade resultante para recuperar de forma exata a quantidade inicial.

Durante um biênio, a inflação homóloga na Espanha (medida por meio do IPC) registrou um aumento de $5,7\,\%$ no primeiro ano e de $3,1\,\%$ no segundo ano. Nesse mesmo período, o acordo coletivo de trabalho de uma empresa de transportes aplicou aos seus colaboradores um aumento salarial de $4\,\%$ no primeiro ano e de $2,5\,\%$ no segundo ano.\na) Modele matematicamente, por meio de índices de variação, tanto a evolução acumulada do custo de vida (IPC) como a evolução acumulada dos salários.\nb) O poder de compra salarial é modelado pelo quociente entre o índice de variação do salário e o índice de variação do IPC: $I_p = \frac{I_v^{\text{salario}}}{I_v^{\text{IPC}}}$. Justifique formalmente se os trabalhadores ganharam ou perderam poder de compra no final dos dois anos e calcule a porcentagem exata desse ganho ou perda.\nc) Se um funcionário recebia um salário mensal líquido de $\text{R\$}\ 1\,700$ antes de começar este biênio, calcule qual deveria ser o seu salário no final do terceiro ano para recuperar exatamente o poder de compra original, supondo que a previsão de inflação para o terceiro ano seja de $2\,\%$.