Exercícios: Equação ponto-coeficiente angular da reta

Escreva a equação ponto-coeficiente angular da reta que passa pelo ponto $P(3, -2)$ e tem coeficiente angular $m = 4$.

Calcule o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $A(-1, 5)$ e $B(2, 11)$. Em seguida, escreva a sua equação na forma ponto-coeficiente angular utilizando o ponto $A$.

Dada a reta de equação $y - 5 = -2(x + 1)$, indique qual é o seu coeficiente angular e obtenha diretamente da fórmula as coordenadas de um ponto pelo qual ela passa.

Transforme a equação ponto-coeficiente angular $y + 3 = \frac{1}{2}(x - 4)$ para a sua forma reduzida $y = mx + n$.

Escreva a equação ponto-coeficiente angular da reta paralela a $y = 3x - 7$ que passa pelo ponto $Q(-4, 1)$.

Um encanador cobra $30$ reais pelo deslocamento até a casa do cliente e $20$ reais por hora de trabalho. Sabendo que por um trabalho de $2$ horas ele cobrou um total de $70$ reais, escreva a equação ponto-coeficiente angular que relaciona o custo total com as horas trabalhadas, tomando como referência este ponto conhecido.

No gráfico de uma reta destacam-se os pontos $(0, 0)$ e $P(2, 3)$. A partir dos pontos destacados, calcule o coeficiente angular da reta e escreva a sua equação na forma ponto-coeficiente angular tomando como referência o ponto $P$.

Escreva a equação ponto-coeficiente angular da reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes. Depois, escreva a equação ponto-coeficiente angular da reta bissetriz do segundo e quarto quadrantes, utilizando em ambos os casos a origem dos eixos coordenados.

O Alejandro precisa encontrar a equação geral da reta perpendicular a $r: 3x - 6y + 2 = 0$ que passa pelo ponto $A(1, -2)$. Na sua prova ele escreve o seguinte:

«Passo 1: O coeficiente angular da reta $r$ é $m_1 = -\dfrac{A}{B} = -\dfrac{3}{-6} = \dfrac{1}{2}$.

Passo 2: Como as retas perpendiculares têm coeficientes angulares opostos, o coeficiente angular da reta procurada deve ser $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Passo 3: Aplico a forma ponto-coeficiente angular: $y - (-2) = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$, que ao operar dá $y + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$, e na forma geral fica $x + 2y + 3 = 0$».

1. a) Identifique de forma precisa em que passo ele comete o erro e explique a falha conceitual que o Alejandro comete sobre a condição de perpendicularidade.
2. b) Corrija o exercício a partir desse passo e escreva a equação geral ($Ax + By + C = 0$) correta da reta perpendicular.

Construa as equações gerais ($Ax + By + C = 0$) de duas retas distintas, $r$ e $s$, que satisfaçam simultaneamente as seguintes condições:

1. Ambas devem ser perpendiculares à reta dada $t: 2x + 5y - 10 = 0$.

2. A reta $r$ deve intersectar o eixo das ordenadas ($Y$) em um ponto com coordenada $y$ negativa (escolha esse valor e justifique-o).

3. A reta $s$ deve passar exatamente pelo ponto $P(4, 1)$.

Mostre fundamentadamente como você deduz o coeficiente angular comum de $r$ e $s$ a partir da reta $t$, e obtenha a equação geral de cada uma.

Uma empresa de aluguel de bicicletas cobra uma taxa fixa pelo serviço mais um preço constante por hora de uso. Sabe-se que por um aluguel de $3$ horas pagam-se $14$ reais e por um aluguel de $5$ horas pagam-se $20$ reais. Determine o coeficiente angular da função afim do custo e escreva a sua equação ponto-coeficiente angular tomando os dados do primeiro cliente.

Determine a equação ponto-coeficiente angular da reta que é perpendicular à reta $y - 2 = \frac{3}{4}(x + 1)$ e que passa pela origem do sistema de coordenadas.

Verifique analiticamente se os pontos $A(-2, 4)$, $B(1, -2)$ e $C(5, -10)$ estão alinhados. Para isso, determine primeiro a equação ponto-coeficiente angular da reta que passa por $A$ e $B$ e, depois, verifique se as coordenadas de $C$ satisfazem essa equação.

Um carro circula por uma estrada reta a velocidade constante. Às $10:00$ horas ele se encontra no quilômetro $45$ e às $12:30$ horas passa pelo quilômetro $245$. Escreva a equação ponto-coeficiente angular que modela a posição do carro em função do tempo decorrido desde as $10:00$ horas, expressando o tempo em horas.

A partir da equação geral da reta $3x - 5y + 15 = 0$, encontre um ponto dela cuja coordenada $x$ seja inteira, calcule o seu coeficiente angular e escreva a equação correspondente na forma ponto-coeficiente angular.

O gráfico a seguir mostra o perfil de descida a velocidade constante de um submarino. A partir dos pontos indicados, determine a equação ponto-coeficiente angular da sua trajetória.

O valor de um equipamento de informática se deprecia linearmente com o tempo. Se foi comprado por $1200$ reais e ao fim de $4$ anos o seu valor contábil é de $400$ reais, escreva a equação ponto-coeficiente angular que relaciona o valor do equipamento com os anos decorridos, utilizando o ponto correspondente ao quarto ano.

Obtenha a equação ponto-coeficiente angular da reta que passa pelo ponto $P(-3, 5)$ e é paralela à reta que une os pontos $M(1, -2)$ e $N(4, 7)$.

Numa região do Mato Grosso do Sul, duas localidades situam-se sobre um mapa cartográfico nas coordenadas $A(1, 2)$ e $B(7, 4)$ (medidas em quilômetros). Uma operadora de telecomunicações deve instalar uma antena repetidora que equidiste de ambos os municípios, o que exige localizá-la sobre a reta mediatriz do segmento $AB$.

1. a) Modele analiticamente a situação calculando passo a passo a equação geral dessa reta mediatriz.
2. b) Uma rodovia estadual segue o traçado retilíneo da reta $r: x - y + 1 = 0$. Se a empresa decidir instalar a antena junto ao acostamento desta rodovia para facilitar o seu acesso, calcule as coordenadas exatas do ponto onde ela deve ser colocada.
3. c) Analise os coeficientes angulares da rodovia $r$ e do segmento $AB$ para justificar matematicamente se a rodovia cruza perpendicularmente, de forma oblíqua ou se é paralela à linha reta que une diretamente ambas as cidades.

Considere os três pontos do plano $P(-3, 8)$, $Q(1, 0)$ e $R(4, -6)$. Para verificar se os três pontos estão alinhados, propõem-se dois procedimentos distintos:

• Método 1: Encontrar a equação reduzida da reta que passa por $P$ e $Q$, e verificar depois se as coordenadas de $R$ satisfazem essa equação.

• Método 2: Calcular diretamente o coeficiente angular do segmento $PQ$ ($m_{PQ}$) e o do segmento $QR$ ($m_{QR}$), comparando se ambos os valores coincidem.

1. a) Justifique qual dos dois métodos é mais direto e eficiente, indicando que vantagens apresenta em relação ao número de operações e ao risco de erro algébrico.
2. b) Aplique o método escolhido para justificar se $P$, $Q$ e $R$ estão ou não alinhados.
3. c) Utilize a abordagem dos coeficientes angulares para determinar o valor da coordenada desconhecida $k$ de modo que o ponto $S(k, -10)$ também esteja alinhado com eles.

Determine o valor do parâmetro $k$ para que a reta de equação $y - 3 = k(x + 2)$ passe pelo ponto de interseção das retas $r: 2x + y - 8 = 0$ e $s: x - 3y + 3 = 0$.

Determine a equação ponto-coeficiente angular da mediatriz do segmento de extremidades $A(-4, 2)$ e $B(2, 6)$. Lembre-se de que a mediatriz é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo seu ponto médio.

Dado o triângulo de vértices $A(1, 1)$, $B(7, 4)$ e $C(3, 7)$, determine a equação ponto-coeficiente angular da altura correspondente ao vértice $C$.

As escalas de temperatura Celsius ($^\circ C$) e Fahrenheit ($^\circ F$) têm uma relação linear. Sabendo que a água congela a $0^\circ C$ ($32^\circ F$) e ferve a $100^\circ C$ ($212^\circ F$), deduza a equação ponto-coeficiente angular que permite converter graus Celsius para Fahrenheit usando o ponto de congelamento. Em seguida, use-a para calcular a temperatura em Fahrenheit equivalente à temperatura corporal humana normal de $37^\circ C$.

Calcule a área do triângulo formado pela reta de equação $y - 4 = -\frac{2}{3}(x + 3)$ com os eixos coordenados. Para isso, determine em primeiro lugar os pontos de interseção da reta com os eixos.

Em um modelo econômico simples, a quantidade demandada de um produto diminui linearmente à medida que seu preço aumenta. A um preço de $20$ reais, são demandadas $500$ unidades, e observou-se que para cada aumento de $2$ reais no preço, a demanda cai $50$ unidades. Escreva a equação ponto-coeficiente angular da demanda tomando o primeiro dado como referência e calcule a que preço a demanda será nula.

Um raio de luz segue uma trajetória em linha reta dada pela equação $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$. Ao chegar ao eixo das abscissas (que atua como um espelho plano perfeito), o raio se reflete. Sabendo que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, determine a equação ponto-coeficiente angular do raio refletido tomando como referência o ponto de impacto no espelho.

Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto $P(2, -1)$ e que, ao interceptar os semieixos coordenados (eixo das abscissas positivo e eixo das ordenadas negativo), forma um triângulo retângulo de área $4$ unidades quadradas.

Numa operação no litoral do Nordeste, a Marinha detecta duas embarcações à deriva nas posições $A(-6, -2)$ e $B(2, 4)$ (em milhas náuticas em relação ao centro de controle em $(0,0)$). Um helicóptero de resgate deve patrulhar ao longo da reta mediatriz do segmento $AB$ para se manter sempre à mesma distância de ambos os sinais.

1. a) Antes de fazer cálculos analíticos, faça uma estimativa fundamentada: deduza qual deve ser o sinal do coeficiente angular da mediatriz e se o seu coeficiente linear será positivo ou negativo, justificando sua previsão a partir das posições de $A$, $B$ e do ponto médio delas no plano cartesiano.
2. b) Calcule a equação reduzida ($y = mx + n$) da mediatriz e verifique se os valores obtidos de $m$ e $n$ confirmam com precisão as suas deduções do item anterior.
3. c) A base costeira do helicóptero fica em $C(6, -8)$. Se a aeronave decolar seguindo a trajetória retilínea dada por $4x + 3y = 0$, justifique, por meio da análise dos coeficientes angulares, qual relação geométrica essa trajetória de saída tem com a reta que une diretamente as duas embarcações ($AB$) e com a linha de patrulha (a mediatriz).

Considera-se a reta fixa $s: 4x - 6y + 5 = 0$ e uma família de retas dependentes de um parâmetro real $k$, definidas por $r_k: (k - 1)x + 2y - 4 = 0$.

1. a) Determine de forma fundamentada o valor de $k$ para o qual a reta $r_k$ é paralela a $s$.
2. b) Determine o valor de $k$ para o qual a reta $r_k$ é perpendicular a $s$.
3. c) Um colega de turma afirma: «Se uma terceira reta $t$ qualquer for perpendicular a $s$, então obrigatoriamente $t$ será concorrente com $r_k$, independentemente do valor que o parâmetro $k$ assuma». Justifique geométrica e algebricamente se a afirmação do seu colega é verdadeira ou falsa, analisando o que acontece com o coeficiente angular de $t$ em comparação com os casos calculados nos itens a) e b).