Exercícios: Variáveis cinemáticas: posição, velocidade e aceleração vetoriais

Um drone de entregas se encontra no ponto de coordenadas $(4, 3)$ de um mapa, com as distâncias em metros. A figura mostra o ponto e o seu vetor posição.

1. a) Escreva o seu vetor posição $\vec{r}$ em função dos vetores unitários $\vec{i}$ e $\vec{j}$.
2. b) Calcule o módulo de $\vec{r}$ e explique o que ele representa fisicamente.

Um robô de um armazém automatizado se desloca da posição $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ para a posição $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, com as posições em metros. A figura representa ambas as posições e o deslocamento entre elas.

1. a) Calcule o vetor deslocamento $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calcule o seu módulo.

Um atleta dá exatamente uma volta em uma pista e retorna ao ponto de partida após percorrer $400\ \text{m}$.

1. a) Quanto vale o seu deslocamento?
2. b) Quanto vale a distância percorrida por ele?
3. c) Explique com suas palavras a diferença entre a distância percorrida e o deslocamento.

Uma patinadora se desloca em linha reta, sofrendo um deslocamento de $20\ \text{m}$ na direção do eixo $x$ em $4\ \text{s}$.

1. a) Escreva o seu vetor deslocamento em função do vetor unitário $\vec{i}$.
2. b) Calcule a sua velocidade média $\vec{v}_m$ como vetor, lembrando que $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

O deslocamento de um corredor de orientação entre dois marcos é $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, em metros, e é completado em $10\ \text{s}$.

1. a) Calcule a sua velocidade média vetorial.
2. b) Calcule o módulo dessa velocidade média.

Um entregador de bicicleta se desloca do estabelecimento até uma casa e volta ao estabelecimento pelo mesmo caminho.

1. a) Quanto vale o seu deslocamento total?
2. b) Quanto vale a sua velocidade média em todo o trajeto?
3. c) A sua rapidez média também é nula? Justifique a resposta e explique a diferença entre velocidade média e rapidez média.

A posição de um carrinho de laboratório é dada, em unidades do Sistema Internacional, por $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) Qual é a sua posição inicial?
2. b) Calcule a sua posição quando $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Justifique por que a trajetória é uma reta horizontal: observe o que acontece com a coordenada $y$.

Uma motocicleta em linha reta passa de $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ em $5\ \text{s}$. Os vetores velocidade inicial e final são apresentados na figura.

1. a) Calcule a variação de velocidade $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calcule a sua aceleração média $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Explique o que significa o resultado: quanto varia a sua velocidade a cada segundo?

Um robô de limpeza de um shopping center está na posição $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ quando $t = 0$ e na posição $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ quando $t = 2\ \text{s}$, com as posições em metros.

1. a) Calcule o vetor deslocamento e o seu módulo.
2. b) Calcule a velocidade média vetorial e o seu módulo.

Uma estação meteorológica mede a velocidade do vento como $\vec{v} = 12\,\vec{i} - 5\,\vec{j}\ \text{m/s}$, em que o eixo $x$ aponta para leste e o eixo $y$ para norte. A figura mostra o vetor velocidade do vento e suas respectivas componentes.

1. a) Calcule o módulo da velocidade do vento.
2. b) Calcule o ângulo que ele forma com o semieixo $x$ positivo e descreva com palavras para onde sopra o vento.

A posição de uma lancha controlada por controle remoto num lago é, em unidades do Sistema Internacional, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. A trajetória e ambas as posições são apresentadas na figura.

1. a) Calcule as posições nos instantes $t_1 = 1\ \text{s}$ e $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calcule o deslocamento entre esses instantes e o seu módulo.
3. c) Calcule a velocidade média nesse intervalo e o seu módulo.

Uma balsa parte do porto A, situado no ponto $(2, 3)$, e chega ao porto B, no ponto $(14, 15)$, com as coordenadas em quilômetros. A travessia dura $2\ \text{h}$.

1. a) Calcule o vetor deslocamento.
2. b) Calcule a velocidade média vetorial em $\text{km/h}$ e o seu módulo.
3. c) Expresse o módulo da velocidade média em $\text{m/s}$, com uma casa decimal.

Um avião em manobras passa de $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ em $2\ \text{s}$. A figura representa ambos os vetores velocidade.

1. a) Calcule a variação de velocidade $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calcule a aceleração média vetorial e o seu módulo.

Um patinete elétrico de aluguel parte da origem e a sua posição, em unidades do Sistema Internacional, é $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2t\,\vec{j}$.

1. a) Calcule a sua posição quando $t = 10\ \text{s}$.
2. b) Em que instante passa por um ponto com coordenada $x = 90\ \text{m}$? Qual é a sua posição completa nesse momento?
3. c) Obtenha a equação da trajetória $y(x)$ eliminando o tempo e justifique que tipo de curva é.

Um praticante de caminhada parte do refúgio e se desloca $1,2\ \text{km}$ para o leste e depois $1,6\ \text{km}$ para o norte, em um tempo total de $0,5\ \text{h}$. O esquema mostra o percurso do praticante.

1. a) Calcule o módulo do seu deslocamento total.
2. b) Escreva a sua velocidade média vetorial em $\text{km/h}$ e calcule o seu módulo.
3. c) Calcule o ângulo que o seu deslocamento forma com a direção leste.

Um sensor de um laboratório registra que um carrinho está no ponto $(2, 5)$ quando $t_1 = 1\ \text{s}$ e no ponto $(14, 17)$ quando $t_2 = 5\ \text{s}$, com as posições em metros.

1. a) Calcule o deslocamento do carrinho e o intervalo de tempo decorrido.
2. b) Calcule a velocidade média vetorial e o seu módulo.
3. c) Que ângulo a velocidade média forma com o eixo $x$? Justifique a partir das componentes.

A posição de uma partícula, em unidades do Sistema Internacional, é $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + (t^2 + 1)\,\vec{j}$.

1. a) Calcule as posições em $t = 0$ e em $t = 4\ \text{s}$.
2. b) Calcule o deslocamento nesse intervalo e o seu módulo.
3. c) Calcule a velocidade média vetorial nesse intervalo e o seu módulo.
4. d) A trajetória entre ambos os pontos é curva: justifique se a rapidez média nesse intervalo pode coincidir com o módulo da velocidade média.

Uma partícula se move segundo $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, em unidades do Sistema Internacional.

1. a) Escreva as equações paramétricas $x(t)$ e $y(t)$.
2. b) Elimine o tempo e obtenha a equação da trajetória $y(x)$. Que tipo de curva é?
3. c) Verifique se a partícula passa pelo ponto $(6, 9)$, em metros, e, em caso afirmativo, indique em que instante isso ocorre.

A posição de um barco, em unidades do Sistema Internacional, é $\vec{r}(t) = (2 + 3t)\,\vec{i} + 4t\,\vec{j}$.

1. a) Qual é a sua posição inicial?
2. b) Obtenha a equação da trajetória $y(x)$ e classifique-a.
3. c) Verifique se passa pelo ponto $(8, 8)$, em metros, e indique em que instante.
4. d) Calcule a distância do barco à origem nesse instante.

Um automóvel entra numa rotatória com velocidade $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ e sai dela com $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ após $3\ \text{s}$. A figura mostra a trajetória na rotatória e ambos os vetores velocidade.

1. a) Verifique que o módulo da velocidade não se alterou.
2. b) Calcule a variação de velocidade $\Delta\vec{v}$ e o seu módulo.
3. c) Calcule a aceleração média vetorial e o seu módulo.
4. d) Explique por que razão existe aceleração se a rapidez se manteve constante.

Uma pessoa caminha $30\ \text{m}$ para este em $10\ \text{s}$ e depois $40\ \text{m}$ para norte em mais $10\ \text{s}$.

1. a) Calcule a distância total percorrida e a rapidez média.
2. b) Calcule o deslocamento total, o seu módulo e o módulo da velocidade média.
3. c) Compare os resultados dos dois itens e enuncie a relação geral existente entre a rapidez média e o módulo da velocidade média, indicando quando coincidem.

Um cortador de grama robô desloca-se em um jardim segundo $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + (12 - t)\,\vec{j}$, em unidades do Sistema Internacional.

1. a) Calcule a posição inicial dele.
2. b) Determine o instante em que ele cruza a bissetriz do primeiro quadrante, isto é, quando as coordenadas $x$ e $y$ coincidem, e a posição nesse momento.
3. c) Calcule a distância dele até a origem nesse instante.
4. d) Calcule a velocidade média entre $t = 0$ e esse instante.

Dois drones de vigilância deslocam-se, em unidades do Sistema Internacional, segundo $\vec{r}_A(t) = 5t\,\vec{i} + 3t\,\vec{j}$ e $\vec{r}_B(t) = (60 - 5t)\,\vec{i} + 18\,\vec{j}$. As trajetórias de ambos os drones são apresentadas na figura.

1. a) Escreva as equações $x(t)$ e $y(t)$ de cada drone.
2. b) Determine o instante e a posição em que se encontram.
3. c) Calcule a distância do ponto de encontro à origem.
4. d) Justifique se as trajetórias de ambos os drones poderiam se interceptar em outro ponto qualquer.