Exercícios: Movimentos compostos

Um barco atravessa um rio de $40\ \text{m}$ de largura com uma velocidade própria de $2\ \text{m/s}$, dirigida perpendicularmente à correnteza. Observe o esquema da travessia:

1. a) Enuncie o princípio da independência dos movimentos de Galileu.
2. b) Aplique-o para calcular o tempo que o barco demora para atravessar o rio, justificando por que a correnteza não altera esse tempo.

Um drone voa para o norte a $4\ \text{m/s}$ enquanto o vento o empurra para o leste a $3\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule o módulo da velocidade resultante do drone em relação ao solo.
2. b) Levando em conta a independência dos movimentos, calcule quanto tempo ele demora para avançar $100\ \text{m}$ para o norte.

Um trem atravessa uma ponte de $19,6\ \text{m}$ de altura quando um objeto se solta de um vagão. Considere $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule o tempo que o objeto demora para chegar ao solo.
2. b) Justifique se esse tempo depende da velocidade horizontal que o trem tinha.

Um avião de ajuda humanitária voa horizontalmente a $100\ \text{m/s}$ e a $500\ \text{m}$ de altitude quando larga um pacote. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observe o esquema:

1. a) Calcule o tempo que o pacote demora para cair.
2. b) Calcule a distância horizontal que o pacote percorre antes de atingir o solo.

Uma bola de futebol é chutada com velocidade inicial $v_0 = 50\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $37^\circ$ com a horizontal. Use $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$. A figura mostra a decomposição da velocidade inicial.

1. a) Calcule a componente horizontal da velocidade inicial.
2. b) Calcule a componente vertical da velocidade inicial.

Uma bola de tênis sai da raquete com $v_0 = 20\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $60^\circ$ com a horizontal. Use $\sen 60^\circ \approx 0,87$ e $\cos 60^\circ = 0,5$.

1. a) Calcule a componente horizontal da sua velocidade inicial.
2. b) Calcule a componente vertical da sua velocidade inicial.

A componente vertical da velocidade inicial de um projétil é $20\ \text{m/s}$. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule o tempo que ele demora para atingir o ponto mais alto da sua trajetória.
2. b) Se ele parte do solo e retorna ao solo, quanto tempo dura o seu voo completo? Justifique.

Uma flecha sai do arco com uma componente vertical de velocidade de $30\ \text{m/s}$. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ e lembre que no ponto mais alto a velocidade vertical se anula.

1. a) Calcule o tempo que ela demora para subir.
2. b) Calcule a altura máxima que ela atinge em relação ao ponto de partida.

Um barco com velocidade própria de $4\ \text{m/s}$ atravessa um rio de $80\ \text{m}$ de largura orientando a proa perpendicularmente à corrente, que corre a $1,5\ \text{m/s}$. Observe o esquema da travessia:

1. a) Calcule o tempo de travessia.
2. b) Calcule a deriva: a distância que a corrente o deslocou rio abaixo ao atingir a outra margem.
3. c) Calcule o módulo do deslocamento total entre o ponto de partida e o de chegada.

O piloto de um barco pretende atravessar um rio de $120\ \text{m}$ de largura atingindo exatamente o ponto em frente. O barco atinge $5\ \text{m/s}$ em águas calmas e a correnteza desce a $3\ \text{m/s}$. O diagrama de velocidades é apresentado na figura.

1. a) Calcule o ângulo para montante com que ele deve orientar a proa, sabendo que satisfaz $\sen\theta = \frac{3}{5}$.
2. b) Calcule o módulo da velocidade resultante do barco em relação às margens.
3. c) Calcule o tempo que ele demora para atravessar.

Um helicóptero voa horizontalmente a $30\ \text{m/s}$ e a $20\ \text{m}$ de altitude quando solta um pacote. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule o tempo de queda do pacote.
2. b) Calcule o alcance horizontal do pacote.
3. c) Calcule as componentes da velocidade ao atingir o solo e o seu módulo.

Um avião voa horizontalmente a $80\ \text{m/s}$ e a $720\ \text{m}$ de altitude e deve largar um pacote para que este caia sobre um ponto específico do solo. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule o tempo de queda do pacote.
2. b) Calcule a distância horizontal percorrida pelo pacote durante a queda.
3. c) Justifique a que distância horizontal antes do alvo deve ser largado o pacote.

Uma bola de golfe sai do tee com $v_0 = 50\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $37^\circ$ com a horizontal. Use $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. A trajetória da tacada é apresentada na figura.

1. a) Calcule as componentes da velocidade inicial.
2. b) Calcule o tempo de voo.
3. c) Calcule o alcance sobre terreno horizontal.
4. d) Calcule a altura máxima.

Um goleiro de handebol lança a bola com $v_0 = 20\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $30^\circ$ com a horizontal. Use $\sen 30^\circ = 0,5$, $\cos 30^\circ \approx 0,87$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule as componentes da velocidade inicial.
2. b) Calcule o tempo de voo até a bola voltar à altura de lançamento.
3. c) Calcule o alcance.
4. d) Calcule a altura máxima.

Um jogador de voleibol efetua um saque com $v_0 = 25\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $53^\circ$ com a horizontal. Use $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule as componentes da velocidade inicial.
2. b) Justifique quanto vale a componente vertical da velocidade no ponto mais alto e calcule, nesse ponto, o módulo da velocidade.
3. c) Calcule a altura máxima e o tempo que a bola demora para atingi-la.

Do alto de um penhasco de $45\ \text{m}$ sobre o mar, deixa-se cair uma pedra e, no mesmo instante, lança-se outra idêntica horizontalmente com $10\ \text{m/s}$. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observe o esquema do penhasco:

1. a) Calcule o tempo que a primeira pedra demora para cair.
2. b) Justifique, com base no princípio da independência dos movimentos, qual das duas atinge a água primeiro.
3. c) Calcule o alcance horizontal da segunda pedra.
4. d) Calcule o módulo da velocidade com que cada pedra atinge a água e compare os resultados.

Um jogador de rúgbi chuta a bola a partir do solo com $v_0 = 30\ \text{m/s}$ fazendo um ângulo de $53^\circ$ com a horizontal. Use $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. A figura mostra a trajetória da bola e as traves.

1. a) Calcule as componentes da velocidade inicial.
2. b) Se as traves se encontram a $36\ \text{m}$ do ponto do chute, calcule a que altura passa a bola sobre a linha de gol e determine se ultrapassa a barra horizontal, situada a $3\ \text{m}$ de altura.
3. c) Calcule a altura máxima atingida pela bola.
4. d) Calcule o alcance da bola e determine se sairia pela linha de fundo, situada a $80\ \text{m}$ do ponto do chute.

Para um lançamento sobre terreno horizontal, o alcance é dado por $x = \frac{v_0^2 \cdot \sen(2\theta)}{g}$, onde $\theta$ é o ângulo de lançamento.

1. a) Justifique, a partir dessa expressão, que o alcance é máximo quando $\theta = 45^\circ$.
2. b) Uma lançadora de dardo quer atingir $80\ \text{m}$ lançando a $45^\circ$; considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ e calcule a velocidade inicial necessária.
3. c) Com essa mesma velocidade inicial, calcule o alcance se o lançamento for feito a $30^\circ$ e verifique se atinge os $80\ \text{m}$. Use $\sen 60^\circ \approx 0,87$.

Numa reconstituição histórica, um canhão dispara projéteis com $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e lembre-se de que $\sen(2\theta) = 2 \cdot \sen\theta \cdot \cos\theta$.

1. a) Calcule o alcance para um ângulo de disparo de $37^\circ$.
2. b) Calcule o alcance para o ângulo complementar, $53^\circ$, e compare os dois resultados.
3. c) Calcule a altura máxima e o tempo de voo em cada um dos dois casos.
4. d) Explique que propriedade os pares de ângulos complementares têm no lançamento oblíquo e o que se ganha e o que se perde ao escolher o ângulo maior.

Um barco capaz de navegar a $5\ \text{m/s}$ em águas calmas deve atravessar um rio de $100\ \text{m}$ de largura com uma corrente de $3\ \text{m/s}$.

1. a) Se orientar a proa perpendicularmente à margem, calcule o tempo de travessia, a deriva e o módulo do deslocamento total.
2. b) Se pretender chegar exatamente ao ponto em frente, calcule o ângulo para montante que deve tomar (satisfaz $\sen\theta = \frac{3}{5}$), a velocidade resultante e o tempo de travessia.
3. c) Compare ambas as estratégias e justifique qual minimiza o tempo de travessia e qual minimiza o comprimento da trajetória em relação à margem, apoiando-se nos resultados obtidos.

Um saltador de esqui abandona a rampa com uma velocidade horizontal de $20\ \text{m/s}$ a partir de uma altura de $80\ \text{m}$ acima da zona de aterrissagem. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule o tempo de voo e o alcance horizontal.
2. b) Calcule as componentes da velocidade ao atingir a zona de aterrissagem e o seu módulo.
3. c) Calcule o ângulo que a velocidade de chegada faz com a horizontal.

Um avião voa para leste com velocidade própria de $200\ \text{m/s}$ enquanto o vento sopra de forma constante para norte a $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calcule o módulo da velocidade resultante do avião em relação ao solo.
2. b) Calcule o ângulo de deriva: o ângulo que a sua trajetória se desvia em relação ao rumo leste pretendido.
3. c) Se o voo durar $500\ \text{s}$, calcule a posição do avião (distância percorrida para leste e para norte a partir do ponto de partida) e a distância a que ele fica do ponto a que teria chegado sem vento.

Numa aula de laboratório, uma esfera rola sobre uma mesa de $1,25\ \text{m}$ de altura e sai horizontalmente pela borda. No chão coloca-se um copo cujo centro se encontra a $1,5\ \text{m}$ da vertical da borda da mesa. Considere $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observe o esquema:

1. a) Calcule o tempo que a bola demora para cair desde a borda até o chão.
2. b) Calcule a velocidade horizontal com que ela deve sair da mesa para cair no copo.
3. c) Com essa velocidade, calcule as componentes e o módulo da velocidade da bola ao chegar ao chão.

Uma arqueira dispara uma flecha com $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ com a horizontal. Use $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcule as componentes da velocidade inicial.
2. b) Escreva as equações $x(t)$ e $y(t)$, elimine o tempo e obtenha a equação da trajetória $y(x)$.
3. c) Há um painel publicitário de $5\ \text{m}$ de altura a $20\ \text{m}$ do ponto de tiro: calcule a que altura passa a flecha sobre ele e decida se ela o ultrapassa.
4. d) Calcule o alcance da flecha sobre terreno horizontal.