Exercícios: Divisões proporcionais

Três amigos, Alex, Bea e Cris, participaram de um torneio de videogames por equipes e ganharam um baú com $240$ moedas de ouro virtuais. Decidiram dividir o saque de forma diretamente proporcional ao número de níveis que cada um superou: Alex superou $2$ níveis, Bea $3$ níveis e Cris $5$ níveis. Quantas moedas correspondem a cada um?

Uma associação juvenil recebeu uma subvenção de $1200$ reais para organizar oficinas. O dinheiro deve ser dividido entre três grupos locais de forma diretamente proporcional ao número de voluntários que cada grupo possui: o Grupo A tem $10$ voluntários, o Grupo B tem $15$ e o Grupo C tem $25$. Calcule quanto dinheiro receberá cada grupo.

Num concurso de robótica, repartem-se $140$ pontos extras de forma inversamente proporcional ao número de erros cometidos no circuito. Se a equipe "Alfa" cometeu $1$ erro, a equipe "Beta" cometeu $2$ erros e a equipe "Gamma" cometeu $4$ erros, quantos pontos cada equipe receberá?

Três irmãos ajudam seus avós a colher a safra de amêndoas. Os avós lhes dão uma gorjeta total de $90$ reais para dividir de forma diretamente proporcional às horas que cada um trabalhou. Se o mais velho trabalhou $5$ horas, o do meio $3$ horas e o mais novo $1$ hora, quanto dinheiro cabe a cada um?

Uma prefeitura quer premiar a reciclagem e distribui $3000$ reais entre três escolas de forma diretamente proporcional aos quilogramas de papel reciclado. A escola "Ipê" reciclou $600$ kg, a escola "Jatobá" $900$ kg e a escola "Araucária" $1500$ kg. Determine a quantidade de dinheiro que corresponde a cada escola.

Três amigos alugam um carro para fazer uma viagem e devem pagar uma caução de $180$ reais. Decidem que a divisão da devolução da caução (se não houver danos) será inversamente proporcional às vezes que cada um foi advertido pelo motorista por não usar o cinto de segurança. Se Lucas teve $2$ avisos, Ana $3$ avisos e Pedro $6$ avisos, que parte dos $180$ reais cada um recuperará?

Três garçons de uma cafeteria decidiram dividir a caixinha de gorjetas da semana, que soma $210$ reais, de forma diretamente proporcional aos dias que cada um trabalhou: Lucas trabalhou $2$ dias, Ana $5$ dias e Gabriel trabalhou a semana inteira ($7$ dias). Quanto dinheiro das gorjetas corresponde a cada um?

O Daniel quer repartir $180$ reais entre os seus três sobrinhos de $6$, $8$ e $12$ anos de forma inversamente proporcional às suas idades para premiar os mais novos. Para resolver, o Daniel afirma: «Como é uma divisão inversa, atribuo a cada um a idade do outro: ao de $6$ anos correspondem $12$ partes, ao de $12$ anos correspondem $6$ partes e ao de $8$ anos deixo $8$ partes. Somo $12 + 8 + 6 = 26$, calculo a constante dividindo $180$ por $26$ e multiplico pelas partes de cada um». a) Explique detalhadamente por que o raciocínio do Daniel é matematicamente errado havendo três participantes e que propriedade das frações ele não levou em conta. b) Corrija o exercício realizando a divisão inversamente proporcional de forma adequada e verifique que a soma das quantias repartidas coincide com os $180$ reais disponíveis.

Três estudantes dividem uma casa em Salvador durante o mês de julho e combinam repartir a conta de luz e do ar-condicionado ($90$ reais) de forma diretamente proporcional aos dias em que cada um morou na casa: a Júlia ficou $15$ dias, o Marcos ficou $20$ dias e a Sara ficou $25$ dias. a) Antes de calcular o resultado exato, estime de forma fundamentada a quantia aproximada que a Sara vai pagar: considerando que a soma dos dias é $60$, a contribuição dela deve ser maior ou menor do que um terço do total ($30$ reais)? E maior ou menor do que a metade ($45$ reais)? Justifique sua previsão. b) Faça a divisão proporcional direta exata, calculando a constante de proporcionalidade $k$ (custo por dia) e a quantia que cada estudante deve pagar. c) Verifique que a soma das três contribuições é de $90$ reais e analise se o resultado obtido para a Sara confirma a sua estimativa inicial.

Três amigos decidem participar de um torneio de eSports por equipes. Após ganharem o primeiro prêmio, a organização entrega a eles um baú com $2700$ moedas virtuais. Para serem justos, decidem dividir as moedas de forma diretamente proporcional aos pontos de experiência (XP) que cada um contribuiu na partida final: Lucas contribuiu com $12$ pontos, Bia com $15$ pontos e Cristiano com $18$ pontos. Quantas moedas correspondem a cada um?

Para incentivar a leitura, uma biblioteca juvenil distribui um lote de $155$ quadrinhos entre os três usuários que mais livros leram no último trimestre. A distribuição será diretamente proporcional ao número de livros lidos. Se os usuários leram $12$, $18$ e $32$ livros respectivamente, quantos quadrinhos receberá cada um? (Nota: Se o resultado não for inteiro, arredonde para a unidade mais próxima e justifique se a divisão é exata).

Três irmãos devem dividir as tarefas de casa. A mãe deles decidiu que o número de horas que cada um dedicará a limpar o jardim será inversamente proporcional às médias que obtiveram no ano escolar: Lucas tem $9$, Amina $8$ e Jorge $6$. Se no total tiverem de cumprir $74$ horas de trabalho entre os três, quantas horas correspondem a cada um?

Três sócios de uma startup de entregas ecológicas investiram inicialmente quantias diferentes: $\text{R\$}\ 4000$, $\text{R\$}\ 7000$ e $\text{R\$}\ 9000$. Ao final do ano, obtiveram um lucro líquido de $\text{R\$}\ 12000$. Como devem ser divididos os lucros de forma diretamente proporcional ao investimento inicial de cada um?

Um grupo de três agricultores decide alugar uma máquina por $\text{R\$}\ 570$. O custo será dividido de forma diretamente proporcional à área dos seus terrenos, que medem $3$, $5$ e $7$ hectares, respectivamente. No entanto, o proprietário da máquina dá a eles um desconto de $10 \%$ sobre o total por ser baixa temporada. Quanto cada agricultor terá de pagar após a aplicação do desconto?

Uma competição de revezamento distribui $\text{R\$}\ 900$ entre as três equipes que chegaram primeiro à linha de chegada. O prêmio é inversamente proporcional ao tempo total gasto. A equipe "Raio" levou $10$ minutos, a equipe "Gazela" levou $12$ minutos e a equipe "Flecha" levou $15$ minutos. Que quantia em dinheiro corresponde a cada equipe? Explique por que a equipe que levou menos tempo recebe a maior quantia.

Numa competição escolar de atletismo organizada por um município, distribuem-se $420$ pontos de classificação entre três escolas de forma diretamente proporcional ao número de medalhas obtidas. O Colégio San Viator conseguiu $5$ medalhas e o Colégio Parque de las Avenidas alcançou $7$ medalhas. Ao serem publicados os resultados oficiais, à terceira escola, o Colégio Mayorazgo, couberam exatamente $180$ pontos. a) A partir da definição de constante de proporcionalidade ou formulando uma equação, deduza quantas medalhas o Colégio Mayorazgo obteve. b) Calcule quantos pontos cada uma das outras duas escolas recebeu e verifique que a soma das pontuações dos três estabelecimentos perfaz os $420$ pontos totais.

Uma associação de irrigantes de uma região agrícola recebe uma subvenção estadual de $38\,000$ reais destinada a modernizar os seus canais de irrigação diante da seca. A assembleia decide distribuir o dinheiro combinando dois critérios: de forma diretamente proporcional à área cultivada (em hectares) e inversamente proporcional ao consumo de água registrado na safra anterior (em milhares de $\text{m}^3$), premiando quem tem mais terra, mas demonstrou maior economia. Os dados de três terrenos agrícolas são: Parcela A ($12$ ha e consumo de $4$ milhares de $\text{m}^3$), Parcela B ($10$ ha e consumo de $2$ milhares de $\text{m}^3$) e Parcela C ($9$ ha e consumo de $6$ milhares de $\text{m}^3$). a) Modele a situação calculando o índice de repartição relativo de cada parcela ao combinar ambos os critérios. b) Determine o montante da subvenção correspondente a cada um dos terrenos e verifique que a soma total cobre exatamente os $38\,000$ reais atribuídos.

Uma empresa de "Escape Room" oferece um bônus mensal de $\text{R\$}\ 450$ a ser dividido entre as três equipes que conseguirem sair da sua sala mais difícil em menos de uma hora. A divisão é feita de forma inversamente proporcional ao tempo empregado. A equipe "Alpha" saiu em $40$ minutos, a equipe "Beta" em $45$ minutos e a equipe "Gamma" em $50$ minutos. Calcule a parte do prêmio que corresponde a cada equipe.

Três municípios decidem subsidiar um projeto de reflorestamento com um total de $\text{R\$}\ 120000$. A contribuição de cada município será inversamente proporcional ao número de hectares de floresta queimados em seu território no ano anterior. O município A teve $200$ ha queimados, o B teve $500$ ha e o C teve $800$ ha. Se o município com mais incêndios recorrer da decisão e for decidido que a divisão seja diretamente proporcional a esses hectares para ajudar os mais afetados, qual será a diferença de dinheiro para o município B entre o primeiro método e o segundo?

Um avô deseja dividir $\text{R\$}\ 44400$ entre os seus três netos de $15, 20$ e $30$ anos de maneira que a divisão seja inversamente proporcional às suas idades. Antes de realizar a divisão, o neto do meio decide doar $25\%$ da sua parte a uma ONG. Que quantia líquida o neto de $20$ anos acabará recebendo?

Um clube de ciclismo dispõe de um prêmio de $1860$ reais para repartir entre três ciclistas de forma inversamente proporcional às penalizações de tempo acumuladas na temporada: o Bruno cometeu $2$ minutos de penalização, a Carmen acumulou $3$ minutos e o Diego teve $5$ minutos. Para resolver, dois membros da diretoria propõem caminhos distintos: Método A (usar diretamente os inversos fracionários $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$ e $\dfrac{1}{5}$, somá-los e calcular $k = \dfrac{1860}{\sum \text{inversos}}$) e Método B (reduzir os inversos ao mesmo denominador por meio do $\text{m.m.c.}(2, 3, 5) = 30$, considerar os numeradores inteiros resultantes $15$, $10$ e $6$, e repartir diretamente entre esses números). a) Desenvolva por completo ambos os métodos passo a passo e verifique que os valores atribuídos a cada ciclista coincidem nos dois casos. b) Justifique formalmente por que multiplicar todas as frações pelo m.m.c. no Método B não altera a proporção da divisão. c) Argumente qual dos dois métodos se mostra mais eficiente e com menor risco de erro em uma prova caso a divisão fosse entre quatro ou mais pessoas com denominadores grandes.

Uma empresa de entregas urgentes em Curitiba reparte uma gratificação trimestral de $6600$ reais entre três dos seus entregadores (Alba, Bruno e Clara) de forma inversamente proporcional ao número de encomendas entregues com atraso. No registro consta que a Alba teve $2$ atrasos e o Bruno acumulou $6$ atrasos, mas o dado da Clara ($c$ atrasos) foi apagado por uma falha de computador. Não obstante, o relatório contábil confirma que a Alba recebeu no seu salário exatamente $2200$ reais a mais do que o Bruno. a) Modele a constante de proporcionalidade $k$ e a atribuição econômica de cada trabalhador por meio de expressões algébricas em função do valor desconhecido $c$. b) A partir da diferença de dinheiro entre a Alba e o Bruno, formule e resolva uma equação do primeiro grau para determinar com exatidão quantos atrasos $c$ a Clara cometeu. c) Faça a repartição definitiva com o número de atrasos encontrado e verifique que são satisfeitas simultaneamente as duas condições: que a soma dos três pagamentos seja $6600$ reais e que a diferença entre a Alba e o Bruno seja de $2200$ reais.