Exercícios: Notação científica

Escreva os seguintes números inteiros e decimais exatos em notação científica:

1. a) $450\,000\,000$
2. b) $32\,500$
3. c) $8\,400\,000\,000\,000$

Escreva os seguintes números decimais pequenos em notação científica:

1. a) $0,0000045$
2. b) $0,00000000128$
3. c) $0,003$

Escreva com todos os seus algarismos os seguintes números dados em notação científica:

1. a) $3,14 \cdot 10^6$
2. b) $8,05 \cdot 10^9$
3. c) $1,002 \cdot 10^4$

Escreva em forma decimal os seguintes números dados em notação científica:

1. a) $5,2 \cdot 10^{-5}$
2. b) $1,07 \cdot 10^{-8}$
3. c) $9,9 \cdot 10^{-3}$

Efetue as seguintes multiplicações e escreva o resultado em notação científica:

1. a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
2. b) $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^8)$

Efetue as seguintes divisões e dê o resultado em notação científica:

1. a) $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3)$
2. b) $(9 \cdot 10^{-4}) : (3 \cdot 10^{-6})$

Calcule as seguintes somas e subtrações que têm o mesmo expoente, dando o resultado em notação científica:

1. a) $4,2 \cdot 10^5 + 3,5 \cdot 10^5$
2. b) $8,7 \cdot 10^{-4} - 5,1 \cdot 10^{-4}$

Efetue as seguintes operações ajustando primeiro os expoentes para que sejam iguais, e escreva o resultado final em notação científica:

1. a) $3,5 \cdot 10^6 + 4,2 \cdot 10^5$
2. b) $9,1 \cdot 10^{-3} - 2,5 \cdot 10^{-4}$

O Marcos precisa calcular a massa conjunta de dois satélites de telecomunicações colocados em órbita. O satélite A tem uma massa de $4,5 \cdot 10^3\text{ kg}$ e o satélite B tem uma massa de $8 \cdot 10^2\text{ kg}$. Na prova dele, ele escreve o seguinte procedimento:

1. a) Localize e explique os dois erros conceituais que o Marcos cometeu ao operar com potências e notação científica.
2. b) Argumente por que não faz sentido físico que a massa total de dois satélites (um de $4500\text{ kg}$ e outro de $800\text{ kg}$) resulte em mais de um milhão de quilogramas.
3. c) Realize a soma de forma correta, passo a passo, e expresse o resultado final em notação científica.

Segundo dados do Instituto Nacional de Estadística (INE), a população residente na Espanha é de aproximadamente $4,8 \cdot 10^7$ pessoas. Estima-se que o consumo médio diário de água nos lares espanhóis seja de cerca de $130\text{ litros}$ por habitante.

1. a) Expresse o consumo diário de água por pessoa em metros cúbicos utilizando notação científica (lembre-se de que $1\text{ m}^3 = 1000\text{ litros}$).
2. b) Modele o consumo total de água de todos os lares da Espanha durante um ano completo ($365\text{ dias}$). Expresse o resultado em metros cúbicos em notação científica.
3. c) A capacidade do reservatório de La Serena (Badajoz), o maior da Espanha, é de cerca de $3,2 \cdot 10^9\text{ m}^3$. Se estivesse a $100\,\%$ da sua capacidade, seria suficiente para abastecer o consumo doméstico anual de todo o país? Justifique a sua resposta comparando as ordens de grandeza e os coeficientes.

A distância média da Terra ao Sol é de cerca de $149\,600\,000$ km e a velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente $300\,000$ km/s. Escreva ambas as quantidades em notação científica e calcule quantos segundos a luz do Sol leva para chegar à Terra.

O tamanho de um glóbulo vermelho é de aproximadamente $7,5 \cdot 10^{-6}$ m, enquanto o de um vírus da gripe é de cerca de $1,2 \cdot 10^{-7}$ m. Quantos vírus da gripe alinhados um atrás do outro seriam necessários para igualar o diâmetro de um glóbulo vermelho?

Uma unidade de armazenamento de um servidor de dados tem uma capacidade de $4$ terabytes ($4 \cdot 10^{12}$ bytes). Se um documento de texto ocupa em média $2,5 \cdot 10^4$ bytes, quantos documentos podem ser armazenados no servidor? Escreva o resultado em notação científica.

Efetue a seguinte operação combinada e escreva o resultado final em notação científica, ajustando o coeficiente se necessário:

$\frac{(4,5 \cdot 10^{-5}) \cdot (6 \cdot 10^{12})}{3 \cdot 10^4}$

Ordene do menor para o maior os seguintes números, escrevendo-os previamente em notação científica padrão (com um único algarismo diferente de zero antes da vírgula):

$A = 0,0034 \cdot 10^8$

$B = 450 \cdot 10^3$

$C = 3,2 \cdot 10^5$

$D = 0,05 \cdot 10^7$

A massa de um átomo de oxigênio é de aproximadamente $2,66 \cdot 10^{-23}$ g. Sabendo que uma gota de água contém cerca de $1,67 \cdot 10^{21}$ átomos de oxigênio, calcule a massa total de oxigênio presente na gota, escrevendo o resultado em notação científica.

No ano de 2023, o Produto Interno Bruto (PIB) de um país foi de $1,45 \cdot 10^{12}$ reais e sua população era de $4,7 \cdot 10^7$ habitantes. Calcule o PIB per capita (reais por habitante) escrevendo o resultado em notação científica com duas casas decimais.

Calcule a seguinte potência aplicando as propriedades correspondentes e escreva o resultado final rigorosamente em notação científica:

$(5 \cdot 10^{-4})^3$

Para calcular quantas vezes é mais rápida a velocidade da luz no vácuo ($c \approx 3 \cdot 10^8\text{ m/s}$) do que a velocidade do som no ar ($v \approx 3,4 \cdot 10^2\text{ m/s}$), dois estudantes do 4.º ano do ESO debatem sobre que caminho seguir:

• Estratégia da Carla: Converter primeiro ambos os números para a notação decimal comum ($300\,000\,000$ e $340$) e depois efetuar a divisão à mão ou com a calculadora.

• Estratégia do David: Manter a notação científica, dividir diretamente as mantissas ($3 : 3,4$) e subtrair as potências de dez ($10^{8-2}$), ajustando a mantissa no final.

1. a) Explica as vantagens da estratégia do David face à da Carla se tivesses de realizar o cálculo com papel e lápis sem cometer erros de contagem de zeros.
2. b) Se tivesses de calcular a relação entre a massa de um protão ($1,67 \cdot 10^{-27}\text{ kg}$) e a de um eletrão ($9,11 \cdot 10^{-31}\text{ kg}$), a estratégia da Carla continuaria a ser viável? Justifica por que razão a notação científica é o método padrão nas ciências aplicadas.
3. c) Aplica a estratégia do David para calcular quantas vezes o som é mais rápido do que uma tartaruga que se desloca a $1,7 \cdot 10^{-1}\text{ m/s}$. Expressa o resultado final em notação científica e em notação decimal comum.

Segundo a Agencia Estatal de Meteorología (AEMET), a superfície peninsular da Espanha é de cerca de $4,9 \cdot 10^5\text{ km}^2$. Durante a passagem de uma grande tempestade de outono, registrou-se uma precipitação média de $20\text{ mm}$ de chuva em todo o território peninsular (lembre-se de que $1\text{ mm} = 1\text{ litro/m}^2$, e que $1\text{ litro} = 10^{-3}\text{ m}^3$).

1. a) Estime antes de calcular: Sabendo que $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$, faça uma estimativa mental rápida da ordem de grandeza (a potência de dez) do volume total de água caída em metros cúbicos ($10^9$, $10^{10}$, $10^{11}\dots$) e registre a sua previsão fundamentada.
2. b) Calcule: Converta a superfície peninsular para metros quadrados em notação científica e calcule com exatidão o volume total de água precipitada em metros cúbicos. Expresse o resultado em notação científica.
3. c) Verifique: Compare o resultado exato com a sua estimativa inicial. Sabendo que o consumo de água para todos os fins na Espanha (agrícola, industrial e urbano) gira em torno de $3 \cdot 10^{10}\text{ m}^3$ por ano, avalie se é razoável que uma única tempestade abundante forneça uma quantidade da ordem de $30\,\%$ de todo o consumo anual do país.

A lei da gravitação universal estabelece que a força de atração entre duas massas $m_1$ e $m_2$ separadas por uma distância $d$ é $F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$, onde $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Calcule a força de atração entre a Terra ($m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg) e a Lua ($m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg) sabendo que a distância média entre seus centros é de $3,84 \cdot 10^8$ m. Dê o resultado em notação científica com três algarismos significativos.

Efetue a seguinte operação combinada, prestando atenção à ordem das operações e ajustando os expoentes adequadamente antes de somar. Escreva o resultado final em notação científica:

$\frac{3,2 \cdot 10^8 + 4,5 \cdot 10^7}{(2 \cdot 10^{-3})^2}$

A idade estimada do universo é de cerca de $13\,800$ milhões de anos. Se um ano tem aproximadamente $3,15 \cdot 10^7$ segundos, calcule a idade do universo em segundos expressa em notação científica. Se a vida média de uma partícula subatômica instável é de $2,5 \cdot 10^{-20}$ segundos, quantas vidas dessa partícula cabem sequencialmente na idade do universo?

Um raio laser emite pulsos de luz com uma energia total de $3,5 \cdot 10^{-3}$ joules por pulso. Se a energia de um único fóton dessa luz é de $3,14 \cdot 10^{-19}$ joules, quantos fótons há em cada pulso? Se o laser emite $50$ pulsos por segundo, quantos fótons emite em uma hora de funcionamento contínuo? Escreva ambos os resultados em notação científica.

Ao medir a distância entre duas galáxias distantes, obtém-se um valor de $24\,560\,000\,000\,000\,000\,000$ km. Escreva essa quantidade em notação científica, arredondando para três algarismos significativos (ou seja, duas casas decimais). Em seguida, calcule o erro absoluto e o erro relativo cometidos ao fazer essa aproximação.

Encontre o valor do expoente $x$ (inteiro) e do coeficiente $y$ (com $1 \le y < 10$) para que se cumpra a seguinte igualdade:

$(y \cdot 10^x)^3 = 1,25 \cdot 10^{17}$

Deseja-se revestir uma esfera de raio $R = 2 \cdot 10^{-2}$ m com uma camada de ouro de espessura igual a um único átomo. O raio de um átomo de ouro é de aproximadamente $1,44 \cdot 10^{-10}$ m. Supondo que cada átomo ocupe na superfície uma área equivalente a um quadrado de lado igual ao seu diâmetro, estime quantos átomos de ouro serão necessários para revestir completamente a esfera. (Lembre-se de que a área de uma esfera é $A = 4\pi R^2$).

Seja um número em notação científica $N = a \cdot 10^n$, onde $1 \le a < 10$ e $n$ é um número inteiro ímpar. Ao calcular a raiz quadrada de $N$, obtém-se a expressão $\sqrt{a \cdot 10^n}$. Descreva o procedimento matemático para que o resultado final fique corretamente expresso em notação científica $b \cdot 10^m$, especificando os valores de $b$ e $m$ em função de $a$ e $n$. Aplique seu raciocínio para calcular o valor exato de $\sqrt{4,9 \cdot 10^{15}}$ em notação científica.

Em um sistema de segurança digital geram-se dois códigos numéricos expressos em notação científica, $X = a \cdot 10^p$ e $Y = b \cdot 10^q$, com $1 \le a, b < 10$ e $p, q$ inteiros. Para recuperar o acesso ao sistema, conhecem-se as seguintes condições:

1. As mantissas $a$ e $b$ são números inteiros maiores do que 1.

2. O produto dos dois códigos é exatamente $X \cdot Y = 1,4 \cdot 10^7$.

3. O quociente $\frac{Y}{X}$, expresso em notação científica, tem como ordem de grandeza $10^{13}$ (isto é, o seu expoente é $13$).

4. O expoente $p$ é estritamente negativo e o expoente $q$ é estritamente positivo.

1. a) Justifique por que razão o produto das mantissas $a \cdot b$ deve ser obrigatoriamente igual a $14$ e deduza quais devem ser os valores dos números inteiros $a$ e $b$.
2. b) A partir da ordem de grandeza do quociente e do produto, formule um sistema com os expoentes $p$ e $q$, resolva-o e escreva de forma unívoca os números $X$ e $Y$.
3. c) Verifique que a sua solução cumpre todas as condições do enunciado realizando explicitamente tanto o produto $X \cdot Y$ como a divisão $\frac{Y}{X}$.

A Red Eléctrica de España (REE) registra uma demanda elétrica peninsular anual de aproximadamente $2,4 \cdot 10^{11}\text{ kWh}$. No âmbito dos planos de transição ecológica, propõe-se cobrir $15\,\%$ dessa demanda nacional exclusivamente por meio de instalações solares em telhados de casas unifamiliares. Dispõe-se dos seguintes dados técnicos:

• Cada instalação residencial gera, em média, $5 \cdot 10^3\text{ kWh}$ por ano.

• Cada instalação requer uma superfície de captação de $25\text{ m}^2$ de painéis.

• Cada quilowatt-hora ($1\text{ kWh}$) gerado com energia solar evita a emissão de $2,6 \cdot 10^{-1}\text{ kg}$ de $\text{CO}_2$ em comparação com a produção em usinas termelétricas.

1. a) Modele a quantidade de energia em $\text{kWh}$ correspondente a esses $15\,\%$ da demanda e calcule quantas residências com painéis solares seriam necessárias no total (expresse ambos os resultados em notação científica).
2. b) Calcule quantas toneladas de $\text{CO}_2$ se evitaria emitir para a atmosfera a cada ano com este plano ($1\text{ tonelada} = 10^3\text{ kg}$).
3. c) Calcule a superfície total de painéis solares necessária em quilômetros quadrados ($1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$). Sabendo que o município de Madrid tem uma superfície de cerca de $6 \cdot 10^2\text{ km}^2$, compare ambas as superfícies e reflita de forma fundamentada sobre se essa implementação é viável distribuída pelos telhados dos milhões de edifícios do país.