Exercícios: Demonstrações

Uma terna pitagórica é um trio de números naturais $(a, b, c)$, com $c$ o maior deles, que verifica a relação $a^2 + b^2 = c^2$. A professora de Larissa afirmou que toda terna pitagórica pode ser os lados de um triângulo retângulo.

1. a) Verifique, calculando os quadrados dos três números, se a terna $(3, 4, 5)$ satisfaz a relação de Pitágoras.
2. b) Faça o mesmo para a terna $(5, 12, 13)$.
3. c) Faça o mesmo para a terna $(6, 8, 10)$. O que você observa em relação à terna do item a)?
4. d) A terna $(4, 5, 6)$ é pitagórica? Justifique com os cálculos.

Para uma feira de ciências, João montou a seguinte demonstração do Teorema de Pitágoras. Sejam quatro triângulos retângulos congruentes de catetos $a$ e $b$ e hipotenusa $c$, dispostos dentro de um quadrado de lado $a + b$ de modo que cada triângulo ocupa um canto do quadrado, com os catetos sobre os lados do quadrado. No centro sobra um quadrilátero cujos lados são as quatro hipotenusas.

1. a) Escreva, em função de $a$ e $b$, a área do quadrado grande, desenvolvendo o quadrado da soma.
2. b) Escreva a área de cada triângulo retângulo e a área total dos quatro triângulos.
3. c) Admitindo que a região central é um quadrado de lado $c$, subtraia da área do quadrado grande a área dos quatro triângulos e conclua que $a^2 + b^2 = c^2$.
4. d) Com $a = 6$ cm e $b = 8$ cm, calcule a área do quadrado grande e a de cada triângulo, e verifique numericamente a conclusão do item c).

Na demonstração do Teorema de Pitágoras com quatro triângulos retângulos de catetos $a$ e $b$ dispostos num quadrado de lado $a + b$, há um passo que costuma ser afirmado sem justificativa: a região central, cujos lados são as quatro hipotenusas, é de fato um quadrado. Complete a justificativa.

1. a) Explique por que os quatro lados da região central têm a mesma medida $c$.
2. b) Sejam $\alpha$ e $\beta$ os dois ângulos agudos de cada triângulo retângulo. Quanto vale $\alpha + \beta$? Justifique usando a soma dos ângulos internos de um triângulo.
3. c) Num vértice da região central, concorrem os ângulos $\alpha$ e $\beta$ de dois triângulos vizinhos e o ângulo interno da região central. Sabendo que os três formam um ângulo raso ($180^\circ$), mostre que o ângulo interno da região central mede $90^\circ$.
4. d) Conclua, a partir dos itens anteriores, que a região central é um quadrado e explique por que esse fato é indispensável para a demonstração.

A demonstração de Perigal, do século XIX, é uma demonstração por decomposição. Sobre o cateto maior $b$ de um triângulo retângulo constrói-se um quadrado; pelo centro desse quadrado traçam-se duas retas, uma paralela e outra perpendicular à hipotenusa $c$ do triângulo, que dividem esse quadrado em quatro quadriláteros congruentes. Essas quatro peças, junto com o quadrado construído sobre o cateto menor $a$, preenchem exatamente o quadrado construído sobre a hipotenusa.

1. a) Explique por que as duas retas traçadas pelo centro do quadrado de lado $b$ são perpendiculares entre si.
2. b) Justifique, usando a simetria do quadrado em relação ao seu centro, por que as quatro peças obtidas são congruentes entre si.
3. c) Com um triângulo de lados $6$ cm, $8$ cm e $10$ cm, calcule a área do quadrado sobre cada cateto e a área do quadrado sobre a hipotenusa, e verifique que as cinco peças de Perigal somam exatamente a área do quadrado maior.
4. d) Explique, com suas palavras, por que uma decomposição como essa constitui uma demonstração do Teorema de Pitágoras, e não apenas uma verificação numérica.