Exercícios: Números racionais (as frações)

Simplifique a seguinte fração até obter sua fração irredutível: $\frac{1260}{1500}$.

Realize a seguinte operação combinada com frações e simplifique o resultado: $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \right)$.

Expresse a dízima periódica simples $3,\overline{45}$ em forma de fração irredutível.

Sem realizar a divisão, determine quais das seguintes frações darão origem a um número decimal exato e quais a uma dízima periódica, justificando sua resposta por meio da fatoração dos denominadores: $\frac{13}{40}$, $\frac{5}{21}$, $\frac{27}{250}$.

Observe a seguinte reta numérica. Identifique quais números racionais (em forma de fração irredutível) correspondem aos pontos marcados com as letras A, B e C.

A Marta afirma o seguinte na aula: «Para saber que tipo de dízima gera a fração $\frac{21}{750}$, decomponho diretamente o seu denominador: como $750 = 2 \cdot 3 \cdot 5^3$, aparecem os fatores $2$ e $5$, mas ao estar também o fator $3$, a fração gera com total certeza uma dízima periódica mista». Sem efetuar a divisão manual: a) Identifique o erro conceitual que a Marta cometeu ao analisar a fração. b) Explique detalhadamente por que razão a sua dedução falhou e mostre os passos corretos para classificar a dízima que essa fração gera.

O Ministério dos Transportes do Brasil financiou uma campanha de passes de transporte para jovens dotada de uma dotação orçamentária fixa. Durante o primeiro mês de aplicação, consumiram-se $\frac{3}{10}$ do orçamento total. No segundo mês, gastou-se exatamente a metade do dinheiro que sobrava após o primeiro mês. Depois desses dois meses, a campanha terminou com um remanescente de $63\,000$ reais. a) Modele a situação calculando passo a passo a fração irredutível do orçamento total que representa o dinheiro que sobrou. b) Determine o montante total em reais que foi inicialmente atribuído à campanha. c) Justifique qual dos dois meses registrou um maior gasto em passes.

Um funcionário destina $\frac{1}{4}$ do seu salário mensal ao pagamento do aluguel da sua moradia e $\frac{2}{5}$ do restante a despesas de alimentação e contas básicas. Se após realizar esses pagamentos lhe sobram $810$ reais em sua conta, qual é o seu salário mensal total?

Um reservatório destinado à irrigação estava cheio até $\frac{7}{8}$ da sua capacidade total. Após uma semana de intensa seca, evapora-se e consome-se uma quantidade de água equivalente a $\frac{1}{5}$ da capacidade total do reservatório. Depois, fortes chuvas acrescentam uma quantidade de água igual a $\frac{1}{4}$ da água que restava naquele momento. Se a capacidade total do reservatório é de $1200$ hectômetros cúbicos, que fração da capacidade total do reservatório está cheia agora e quantos hectômetros cúbicos ele contém?

Uma bola de borracha especial para experimentos de física é solta de uma altura inicial de $10$ metros. Após bater no solo, em cada quique ela alcança uma altura igual a $\frac{3}{4}$ da altura alcançada no quique imediatamente anterior. Que altura a bola alcança após o terceiro quique? Expresse o resultado final primeiro em forma de fração irredutível e depois como número decimal.

Procura-se uma fração irredutível própria e positiva $\frac{a}{b}$ que cumpra simultaneamente as três condições seguintes: 1) O seu valor decimal está compreendido estritamente entre $\frac{1}{4}$ e $\frac{1}{3}$. 2) O seu denominador $b$ é um número de dois algarismos menor que $20$. 3) Ao convertê-la em um número decimal, resulta uma dízima periódica composta cuja parte não periódica (anteperíodo) tem um único algarismo. a) Justifique que fatores primos obrigatórios o denominador $b$ deve ter e por que não podem ser cancelados com o numerador $a$. b) Encontre uma fração que cumpra todas as condições e verifique passo a passo que ela satisfaz os requisitos.

Numa região agrícola do sul da Espanha, uma bacia de retenção comunitária para irrigação encontrava-se no início do verão cheia até $\frac{4}{5}$ da sua capacidade total. Durante uma onda de calor registrada pela AEMET, os agricultores consumiram $\frac{3}{8}$ da água que a bacia continha em tarefas de irrigação por gotejamento. Dias depois, uma tempestade despejou um volume de água equivalente a $\frac{1}{10}$ da capacidade total da bacia. a) Antes de operar com frações exatas, estime de forma fundamentada se, após esses dois eventos, a bacia ficará acima ou abaixo da metade da sua capacidade, justificando a sua previsão. b) Calcule com exatidão a fração irredutível da capacidade total que a bacia contém após a tempestade. c) Compare o seu resultado com a estimativa prévia e avalie se o valor obtido é coerente.

Um mecanismo de relojoaria é composto por um sistema de três engrenagens A, B e C conectadas em série (A move B, e B move C). A engrenagem A tem $12$ dentes, a engrenagem B tem $18$ dentes e a engrenagem C tem $30$ dentes. Sabendo que o número de voltas que uma engrenagem dá é inversamente proporcional ao seu número de dentes, se a engrenagem A girar exatamente $\frac{15}{4}$ de volta, que fração de volta a engrenagem C dará?

No projeto arquitetônico de um mosaico, desenha-se um quadrado inicial de área $1 \text{ m}^2$. Dentro dele, inscreve-se um segundo quadrado unindo os pontos médios dos lados do primeiro. Esse processo geométrico se repete para desenhar um terceiro quadrado inscrito no segundo, e um quarto quadrado inscrito no terceiro. Que fração da área do primeiro quadrado representa a área compreendida exclusivamente entre o terceiro e o quarto quadrado?

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Para averiguar se a expressão $E = \left(\frac{7}{12} - \frac{1}{8}\right) \cdot \frac{6}{25}$ gera uma dízima finita, periódica simples ou periódica mista sem efetuar a divisão decimal, dois estudantes escolhem estratégias distintas: a Ana decide fazer primeiro a subtração dos parênteses calculando o mínimo múltiplo comum tradicional, multiplicar depois em linha, simplificar dividindo pelo m.d.c. no final e fatorar o denominador obtido. O Marcos, por outro lado, opta por decompor em fatores primos todos os termos desde o início e simplificar os fatores comuns antes de efetuar qualquer produto de números grandes. a) Resolva o exercício seguindo detalhadamente cada um dos dois métodos e classifique a dízima resultante. b) Avalie as vantagens e desvantagens de ambos os caminhos e justifique qual dos dois métodos é mais eficaz se você trabalhasse com frações cujos termos tivessem números de três ou quatro algarismos.

Segundo estudos do Instituto Nacional de Estadística (INE) sobre orçamentos familiares, uma família média distribui a sua renda mensal da seguinte forma: reserva $\frac{3}{8}$ do salário para pagar o aluguel da casa; do dinheiro restante, destina $\frac{2}{5}$ à alimentação e às despesas da casa; do que ainda resta, guarda $\frac{1}{3}$ para imprevistos e emergências; por último, dedica $\frac{1}{4}$ do dinheiro restante final a planos de poupança, sobrando um saldo livre de $315$ reais para lazer. a) Proponha as operações encadeadas necessárias para determinar que fração irredutível do salário total representam esses $315$ reais. b) Calcule o salário total mensal da família e o montante exato em reais que ela gasta por mês no aluguel da casa. c) Um familiar afirma: «Se somarmos as frações gastas $\frac{3}{8} + \frac{2}{5} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$, obtemos mais de $1$, de modo que a família teria gasto mais dinheiro do que recebe». Explique com rigor o erro matemático desse raciocínio.