Exercícios: População e amostra

Uma fábrica de componentes eletrônicos produz um lote de $5000$ resistores. Para verificar sua qualidade, o departamento de controle seleciona e analisa $150$ resistores. Identifique a população, a amostra, o indivíduo e o tamanho da amostra neste estudo estatístico.

Classifique as seguintes variáveis estatísticas em qualitativas, quantitativas discretas ou quantitativas contínuas:

• A cor da pelagem de uma espécie de raposa.

• O número de satélites naturais dos planetas do sistema solar.

• A massa em quilogramas das encomendas postais de uma empresa de entregas.

• A marca dos computadores de uma sala de informática.

Em um município de $24000$ habitantes, deseja-se realizar um estudo sobre os hábitos de leitura. Para isso, são entrevistados $800$ cidadãos. Determine qual é a população de estudo, qual é a amostra e qual é o tamanho amostral.

Uma empresa de software quer conhecer a opinião de seus usuários sobre uma nova atualização de seu aplicativo. Explique brevemente em que situação a empresa realizaria um censo e em que situação realizaria um estudo amostral.

Em uma reserva natural habitam $3400$ cervos. Uma equipe de biólogos decide obter uma amostra equivalente a $15\%$ da população para realizar um estudo de saúde. Calcule o tamanho da amostra que devem selecionar.

Indique se as seguintes variáveis quantitativas são discretas ou contínuas:

1. a) O volume de água em uma represa medido em hectômetros cúbicos.
2. b) O número de batimentos por minuto de um atleta após uma corrida.
3. c) A temperatura máxima diária registrada em uma cidade.
4. d) O número de passageiros de um voo comercial.

Para realizar um controle de qualidade em uma fábrica de refrigerantes, são retiradas $45$ latas de uma produção total de $1800$ latas diárias. Qual porcentagem da produção total representa a amostra selecionada?

Uma equipe de nutricionistas mede a quantidade de açúcar, em gramas, que diferentes marcas de cereais de um supermercado contêm. Identifique qual é a variável estatística do estudo e de que tipo ela é.

O Carlos quer fazer um inquérito sobre hábitos de reciclagem na sua escola de Ensino Secundário, onde há $600$ estudantes matriculados em três etapas: ESO ($360$ alunos), Bachillerato ($180$ alunos) e Cursos de Formação Profissional ($60$ alunos). Para realizar o trabalho de Estatística, deve selecionar uma amostra de $60$ alunos. O Carlos afirma no seu relatório: «Como há $3$ etapas educativas, para que o estudo seja justo e representativo devo inquirir exatamente $20$ estudantes de cada uma, já que $60 : 3 = 20$».

1. a) Identifica e explica detalhadamente o erro de raciocínio que o Carlos cometeu.
2. b) Calcula quantos alunos de cada etapa deveriam ser realmente escolhidos se for aplicada uma amostragem aleatória estratificada com afixação proporcional.

O Departamento de Trânsito (Detran) lança durante o mês de julho uma campanha intensiva de fiscalização do uso do cinto de segurança e dos sistemas de retenção para crianças nas rodovias secundárias de um estado. Durante essa semana, as patrulhas mandam parar e inspecionam um total de $14\,400$ veículos das aproximadamente $480\,000$ viagens previstas. Em cada fiscalização, os agentes registram se os ocupantes usam o cinto apertado regulamentarmente (sim/não) e o número total de ocupantes que viajam no veículo.

1. a) Identifique com precisão a população, a amostra, um indivíduo e o tamanho da amostra $n$ deste estudo.
2. b) Justifique por que o Detran recorre a uma amostra e não realiza um censo neste tipo de campanhas na rodovia.
3. c) Classifique as duas variáveis estatísticas analisadas em cada veículo de acordo com o seu tipo (qualitativa nominal/ordinal ou quantitativa discreta/contínua).

Em uma escola de Ensino Médio, há $120$ alunos na 1ª série, $100$ na 2ª série, $90$ na 3ª série e $50$ na 4ª série. Deseja-se extrair uma amostra de $72$ alunos por meio de uma amostragem aleatória estratificada com alocação proporcional. Calcule quantos alunos da 3ª série devem fazer parte da amostra.

A prefeitura de uma cidade quer conhecer a opinião dos cidadãos sobre a construção de uma nova ciclovia no centro. Para isso, um entrevistador se posiciona na porta de uma loja de bicicletas e entrevista $150$ pessoas que saem dela. Analise se a amostra selecionada é representativa da população da cidade e explique que tipo de viés está sendo cometido no planejamento do estudo.

Em uma linha de montagem, foram fabricados $1200$ celulares em um dia. Deseja-se realizar um controle de qualidade selecionando uma amostra de $40$ celulares por meio de uma amostragem sistemática. Se o primeiro celular selecionado aleatoriamente for o que ocupa a posição $14$, determine o intervalo de amostragem (coeficiente de elevação) e as posições dos três primeiros e do último celular selecionado na amostra.

Uma granja avícola tem três galpões com galinhas poedeiras: o galpão A tem $4500$ galinhas, o galpão B tem $3000$ e o galpão C tem $2500$. Deseja-se extrair uma amostra de $200$ galinhas utilizando uma amostragem estratificada com alocação proporcional. Determine o tamanho da amostra correspondente a cada um dos três galpões.

Deseja-se estimar o tempo médio de uso diário de redes sociais por adolescentes de toda uma região. Para isso, selecionam-se aleatoriamente $200$ alunos de uma escola particular situada no bairro de maior poder aquisitivo da capital. Justifique por que essa amostra não é representativa da população e proponha um método de amostragem mais adequado.

Em um estudo de ecologia marinha, registram-se as seguintes características de uma população de golfinhos:

1. a) Espécie à qual pertence.
2. b) Comprimento do corpo em metros.
3. c) Número de filhotes que teve ao longo de sua vida.
4. d) Nível de risco de extinção (Baixo, Vulnerável, Em perigo).

Classifique detalhadamente cada variável estatística. No caso das variáveis qualitativas, indique expressamente se são ordinais ou nominais.

Uma empresa de pesquisas selecionou uma amostra de $630$ pessoas para um estudo de mercado. Sabendo que essa amostra representa exatamente $3,5\%$ da população-alvo, calcule o tamanho total da população de estudo.

O esquema a seguir representa um processo de amostragem estratificada com alocação proporcional.

Se a população total é formada por $2400$ indivíduos, calcule a porcentagem e o tamanho da população do estrato laranja. Se a amostra total é de $160$ indivíduos, determine quantos indivíduos de cada cor compõem a amostra.

De acordo com dados do Instituto Nacional de Estatística (INE), uma comarca rural de Espanha tem uma população total de $24\,000$ habitantes, distribuídos por três grupos etários: jovens de 0 a 19 anos ($4\,800$ pessoas), adultos de 20 a 64 anos ($14\,400$ pessoas) e pessoas idosas de 65 anos ou mais ($4\,800$ pessoas). Será selecionada uma amostra de $120$ habitantes por meio de amostragem estratificada com partilha proporcional para um estudo sobre os cuidados de saúde da comarca.

1. a) Antes de fazer qualquer cálculo exato, faça uma estimativa intuitiva: deduza que fração ou porcentagem da população total representa aproximadamente o grupo de adultos (20 a 64 anos) e estime quantos adultos deveriam fazer parte da amostra de $120$ pessoas.
2. b) Aplique a fórmula da amostragem estratificada com partilha proporcional ($n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}$) para calcular o número exato de indivíduos que devem ser selecionados em cada um dos três estratos etários.
3. c) Verifique se a sua estimativa inicial estava correta e avalie se a distribuição obtida respeita a representatividade da estrutura populacional da comarca.

A Prefeitura de um município costeiro de $60\,000$ habitantes pretende realizar uma consulta pública para decidir se transforma o centro histórico em área de pedestres. Para isso, dispõe de um orçamento que permite realizar uma amostra de $600$ entrevistas presenciais ou por telefone. Na equipe técnica municipal surgem três propostas diferentes para selecionar os participantes:

• Proposta 1: Colocar pesquisadores no sábado de manhã na porta dos três principais supermercados do centro histórico e entrevistar as primeiras $600$ pessoas que saírem.

• Proposta 2: Utilizar o cadastro de moradores do município ordenado alfabeticamente (de 1 a $60\,000$). Calcular o intervalo de amostragem sistemático $k = 60\,000 / 600 = 100$, escolher aleatoriamente um número inicial $a$ entre 1 e 100, e entrevistar os moradores nas posições $a, a+100, a+200, \dots$

• Proposta 3: Disponibilizar um questionário aberto no site da prefeitura durante um mês e divulgá-lo pelas redes sociais; estima-se que com esse método participarão mais de $3\,000$ moradores a um custo quase nulo.

Analise de forma fundamentada as vantagens, as desvantagens e os possíveis vieses de cada uma das três opções. Justifique qual dos métodos é o mais adequado para garantir que a amostra seja representativa e explique por que um tamanho de amostra maior (Proposta 3) não garante, por si só, uma melhor representatividade.

Em um município dividido em três distritos (Norte, Sul e Centro), foi realizada uma pesquisa utilizando uma amostragem estratificada com alocação proporcional. A amostra total é de $300$ pessoas, das quais $120$ pertencem ao distrito Norte e $75$ ao distrito Sul. Se a população total do município é de $18000$ habitantes, calcule a população de cada um dos três distritos.

Um banco de dados contém os registros de $N = 2520$ clientes. Deseja-se extrair uma amostra de tamanho $n = 45$ por meio de uma amostragem sistemática. O ponto de partida aleatório determina que o primeiro cliente selecionado é o que ocupa a posição $a = 23$.

Encontre uma expressão algébrica geral para a posição do $i$-ésimo indivíduo da amostra (para $1 \le i \le 45$) e determine qual posição no banco de dados é ocupada pelo cliente que foi selecionado na posição número $32$ da amostra.

Em uma empresa de tecnologia, o quadro de funcionários divide-se em três categorias: $50\%$ são programadores, $30\%$ são designers e o restante são diretores. Realiza-se um estudo de clima organizacional selecionando uma amostra por meio de amostragem estratificada com alocação proporcional. Se na amostra há exatamente $16$ diretores, qual é o tamanho total da amostra e quantos programadores e designers a compõem?

Uma emissora de televisão nacional quer prever o resultado de um importante referendo legislativo. Para isso, durante um programa de debate em horário nobre, pede aos telespectadores que meçam sua preferência ligando para um número de telefone pago ou enviando um SMS para votar na sua opção preferida. São recebidas mais de $100000$ respostas.

Identifique e explique pelo menos três fontes de viés (erros sistemáticos) neste planejamento de amostragem e justifique por que, apesar do enorme tamanho da amostra, os resultados provavelmente não serão representativos da população geral.

Uma fábrica dispõe de duas máquinas, A e B, para a produção de engrenagens. Sabe-se que a máquina A produz $65\%$ do total diário. O departamento de qualidade obtém uma amostra estratificada com alocação proporcional de $180$ engrenagens para avaliar a precisão de corte. Se a máquina B produz $1400$ engrenagens por dia, calcule o tamanho da população total diária e o número de engrenagens de cada máquina que compõem a amostra.

Num estudo sobre a adoção de uma nova tecnologia, a população de uma empresa se divide em três departamentos: Vendas, com $3x$ funcionários; Marketing, com $x + 40$; e Desenvolvimento, com $2x - 20$. Coleta-se uma amostra por meio de amostragem aleatória estratificada proporcional de tamanho $130$.

Sabendo que na amostra há exatamente $60$ funcionários do departamento de Vendas, formule uma equação para determinar o valor de $x$, calcule a população total da empresa e o tamanho da amostra correspondente aos departamentos de Marketing e Desenvolvimento.

Em um observatório astronômico, registram-se as seguintes características de um catálogo de exoplanetas:

A) Distância até a estrela hospedeira (em Unidades Astronômicas).

B) Tipo de planeta (Rochoso, Gigante gasoso, Gigante gelado).

C) Número de luas confirmadas.

D) Temperatura média estimada (em Kelvin).

Classifique rigorosamente cada uma dessas variáveis. Para as variáveis quantitativas, determine em quais casos tem sentido estatístico calcular a média aritmética e em quais a mediana poderia ser uma medida de tendência central mais representativa se existissem valores discrepantes extremos.

As autoridades educacionais de uma região querem avaliar o nível de inglês dos estudantes do 10º ano. Na região há $25$ escolas, cada uma com exatamente $120$ alunos matriculados nessa série. Requer-se uma amostra total de $600$ alunos. Propõem-se dois métodos de amostragem:

• Método A: Escolher aleatoriamente $5$ escolas e avaliar todos os seus alunos do 10º ano.

• Método B: Escolher aleatoriamente $24$ alunos do 10º ano de cada uma das $25$ escolas.

Identifique o tipo de amostragem aplicado em cada método e argumente qual dos dois planejamentos garante uma maior representatividade da população total, explicando as possíveis desvantagens do método descartado.

Em um hospital regional com $450$ pacientes internados distribuídos pelas áreas de Cirurgia, Traumatologia e Medicina Interna, a direção médica realiza uma auditoria de qualidade por meio de uma amostragem aleatória estratificada com alocação proporcional sobre uma amostra total de $90$ pacientes.

No relatório final, os dados do levantamento inicial por andar se perderam, mas os seguintes dados confiáveis foram mantidos:

• Na amostra auditada foram incluídos exatamente $36$ pacientes de Cirurgia e $24$ de Traumatologia.

• Para selecionar os pacientes de Medicina Interna dentro da sua própria lista interna de internados (ordenada de 1 a $N_{\text{interna}}$), a equipe aplicou uma amostragem sistemática com um intervalo fixo $k$. Nessa lista, o primeiro paciente selecionado aleatoriamente foi o da posição $a = 3$, e o último paciente selecionado desse mesmo andar ocupava a posição $148$.

1. a) Deduza quantos pacientes de Medicina Interna fizeram parte da amostra de $90$ pacientes.
2. b) Sabendo que os pacientes de Medicina Interna ocupam as posições $a, a+k, a+2k, \dots$, estabeleça a relação entre o primeiro selecionado ($a = 3$), o último ($148$) e o número de pacientes desse andar na amostra para calcular o intervalo $k$ e o total de pacientes internados em Medicina Interna ($N_{\text{interna}}$).
3. c) Utilizando a condição de proporcionalidade ($n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}$) e sabendo a população total do hospital ($N = 450$), reconstrua quantos pacientes estavam internados em Cirurgia ($N_{\text{cirug\u00eda}}$) e quantos em Traumatologia ($N_{\text{trauma}}$).

A partir dos dados da Pesquisa de Emprego (EPA) do INE correspondentes a uma província espanhola com $320\,000$ pessoas empregadas, a distribuição por setores de atividade é a seguinte: Serviços com $224\,000$ trabalhadores, Indústria com $48\,000$, Construção com $32\,000$ e Agricultura com $16\,000$. Um instituto de pesquisa social dispõe de orçamento para entrevistar uma amostra de $n = 500$ trabalhadores.

Um membro da equipe propõe: «Se aplicarmos alocação proporcional estrita, a amostra de agricultores será tão pequena que será impossível estudar suas condições de trabalho com confiabilidade. Deveríamos entrevistar $125$ trabalhadores de cada um dos quatro setores ($500 : 4 = 125$)». A diretora do estudo responde que essa distribuição não seria válida para obter dados gerais da província.

1. a) Modele a amostra proporcional calculando o número exato de trabalhadores ($n_i$) que corresponderia a cada setor para respeitar a representatividade provincial com $n = 500$.
2. b) Compare a distribuição real com a proposta de $125$ entrevistas: calcule a porcentagem que a Agricultura representa na população empregada real e a porcentagem que representaria na amostra proposta pelo pesquisador. Faça o mesmo cálculo comparativo para o setor de Serviços.
3. c) Redija uma justificativa estatística fundamentada: que distorção provocaria a amostra não proporcional de $125$ pessoas por setor se se quisesse estimar o salário médio dos trabalhadores de toda a província? Que alternativa metodológica você proporia para poder estudar a fundo o setor agrícola sem distorcer as conclusões globais da província?