Exercícios: Problemas com equações

Em um torneio de eSports, a equipe de Alex conseguiu o triplo de pontos da equipe de Salma. Se entre as duas equipes somaram um total de $152$ pontos, quantos pontos cada equipe obteve?

Aisha tem $4$ anos a mais que seu irmão mais novo, Miguel. Daqui a $6$ anos, a soma das idades de ambos será de $32$ anos. Calcule a idade atual de cada um montando uma equação do primeiro grau.

Deseja-se cercar uma horta escolar de forma retangular para proteger as plantações. Sabemos que o comprimento da horta mede $5$ metros a mais que a largura e que, para cercá-la completamente, foram necessários $38$ metros de cerca. Quais são as dimensões da horta?

Um grupo de amigos compra ingressos para um show. Os ingressos de "pista" custam $15$ reais a mais que os de "arquibancada". Se comprarem um de cada tipo e o total da conta for de $85$ reais, qual é o preço de cada ingresso?

A soma de três números de peito de uma corrida, que são três números inteiros consecutivos, é igual a $63$. Que números esses três corredores usam na camiseta?

Um entregador de um aplicativo de delivery leva em sua mochila o dobro de pizzas em relação ao número de hambúrgueres. Se no total transporta $12$ pedidos entre pizzas e hambúrgueres, quantos há de cada tipo?

Kenia começou a economizar para comprar um tablet que custa $240$ reais. Já tem guardados $60$ reais e, a partir de agora, vai guardar $12$ reais de sua mesada a cada semana. Quantas semanas levará para ter o dinheiro suficiente para a compra?

Calcule o lado de um painel publicitário de forma quadrada sabendo que, se o seu lado aumentasse em $2$ metros, a sua área aumentaria em $16$ metros quadrados.

Para resolver o problema: «Lúcia tem $38$ anos e o seu filho Hugo tem $10$. Daqui a quantos anos a idade de Lúcia será exatamente o dobro da do seu filho?», o Mateo escreveu na sua prova:

$38 + x = 2 \cdot 10 + x$

1. a) Explique com suas palavras os dois erros conceituais que o Mateo cometeu ao traduzir o enunciado para linguagem algébrica.
2. b) Defina com precisão o que representa a incógnita $x$ e apresente a equação correta.
3. c) Resolva a equação passo a passo e verifique que a solução responde com sentido à pergunta do enunciado.

A prefeitura de uma localidade quer cercar um terreno retangular destinado a um parque canino. Pelas características do terreno, o comprimento deve medir exatamente o triplo da largura, e há um orçamento fechado para comprar um rolo completo de $160\text{ m}$ de tela metálica.

1. a) Antes de calcular qualquer coisa, faça uma estimativa fundamentada: a largura poderia medir $30\text{ m}$? Justifique se, com essa medida, seria necessária mais tela do que a disponível, menos ou a quantidade exata.
2. b) Defina a incógnita $x$, formule uma equação do primeiro grau que represente o perímetro total e resolva-a para determinar as dimensões exatas do parque (comprimento e largura).
3. c) Verifique se o resultado obtido confirma a sua estimativa inicial e calcule a área total que os cães terão para correr.

Encontre três números inteiros consecutivos tais que a soma dos dois primeiros seja igual ao triplo do terceiro menos 14 unidades.

Está sendo projetada uma nova área de jogos retangular em um parque municipal. Sabe-se que o comprimento da área deve ser $5$ metros maior que a largura. Se a área total destinada aos jogos é de $150$ $m^2$, calcule as dimensões (comprimento e largura) dessa área.

Atualmente, a idade de um pai é o triplo da idade de sua filha. Daqui a $12$ anos, a idade do pai será somente o dobro da idade de sua filha. Qual idade cada um tem atualmente?

Dois ciclistas, Ana e Marcos, encontram-se a uma distância de $60$ $km$ e decidem se encontrar em um ponto intermediário. Ana parte de $A$ em direção a Marcos a uma velocidade constante de $20$ $km/h$. Ao mesmo tempo, Marcos parte de $B$ em direção a Ana a uma velocidade de $10$ $km/h$. Quanto tempo eles levarão para se cruzar e a que distância do ponto $A$ ocorrerá o encontro?

Em uma loja gourmet, deseja-se misturar dois tipos de café. O café "Arábica" tem um preço de $12$ reais/kg e o café "Robusta" custa $8$ reais/kg. Se quisermos obter uma mistura de $20$ $kg$ que custe $10,50$ reais/kg, quantos quilos de cada tipo de café devemos utilizar?

Determine um número natural tal que a diferença entre o seu quadrado e o seu triplo seja igual a $40$. A solução para este problema é única no conjunto dos números naturais? Justifique sua resposta montando a equação correspondente.

Um grupo de amigos quer comprar um presente de aniversário que custa $120$ reais. No início, havia um número determinado de pessoas, mas no último momento entraram mais $2$ amigos, o que fez com que cada um tivesse de pagar $5$ reais a menos. Quantos amigos havia inicialmente no grupo?

Calcule as dimensões de um triângulo isósceles sabendo que o lado desigual mede $4$ $cm$ a menos que cada um dos lados iguais e que o perímetro total é de $26$ $cm$. Depois de encontrar os lados, calcule a área do triângulo.

Uma empresa de entregas ecológica que opera em Salvador oferece duas tarifas mensais para o comércio de proximidade:

• Tarifa Base: uma mensalidade fixa de $15\text{ \text{R\$}\ }$ por mês mais $4,50\text{ \text{R\$}\ }$ por cada envio realizado.

• Tarifa Eco-Plus: sem mensalidade fixa; cobra $7\text{ \text{R\$}\ }$ por envio para os primeiros $10$ envios do mês, e reduz o preço para $3,50\text{ \text{R\$}\ }$ por cada envio adicional a partir do décimo primeiro.

Uma livraria do bairro enviou no mês passado mais de $10$ encomendas e verificou que a fatura final teria sido exatamente a mesma com qualquer uma das duas tarifas.

1. a) Defina a incógnita $x$ como o número total de envios mensais e escreva a expressão algébrica do custo total com cada tarifa para o caso em que $x > 10$.
2. b) Formule e resolva a equação correspondente para descobrir quantos envios a livraria realizou no mês passado.
3. c) A partir da solução, explique aos proprietários da livraria qual tarifa seria mais vantajosa contratar se eles preveem que os envios vão aumentar no próximo mês.

Imagina que és professor de Matemática e deves criar uma questão para um exame de 3.º de ESO que cumpra exatamente estas três condições:

1. Deve ser sobre uma horta escolar retangular cuja área total seja de $140\text{ m}^2$.

2. O seu comprimento deve ser $4\text{ metros}$ maior do que a sua largura.

3. Deve resolver-se mediante uma equação do segundo grau que tenha uma solução positiva e uma solução negativa.

1. a) Redige o enunciado completo do problema de forma clara e precisa, sem o resolver no próprio enunciado.
2. b) Define a incógnita $x$, escreve a equação do segundo grau que se deduz do teu enunciado e resolve-a passo a passo.
3. c) Argumenta que critério geométrico os alunos devem aplicar para descartar uma das duas soluções matemáticas e determina as dimensões finais da horta escolar.

Um designer gráfico está trabalhando no logotipo de uma nova empresa. O design consiste em um retângulo central para o nome, cercado por uma borda decorativa de espessura uniforme $x$. O retângulo interior tem dimensões de $12\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$. Se a área total do logotipo (incluindo a borda) deve ser exatamente o dobro da área do retângulo interior, qual deve ser a espessura $x$ dessa borda?

A idade atual de uma mãe é o quadrado da idade de sua filha. Daqui a $9$ anos, a idade da mãe será somente o triplo da idade que sua filha tiver nesse momento. Encontre as idades atuais de ambas.

Duas cidades, $A$ e $B$, estão separadas por uma distância de $155\text{ km}$. Às 10:00 h, um ciclista sai de $A$ em direção a $B$ a uma velocidade constante de $20\text{ km/h}$. Uma hora e meia mais tarde, uma moto sai de $B$ em direção a $A$ a uma velocidade de $80\text{ km/h}$. A que horas elas se cruzarão e a que distância da cidade $A$ ocorrerá o encontro?

Em um laboratório químico, são necessários $20\text{ litros}$ de uma solução ácida a $25\%$. O técnico dispõe de dois galões: um com uma mistura a $10\%$ de ácido e outro com uma mistura concentrada a $50\%$. Quantos litros de cada galão ele deve misturar para obter a concentração desejada?

Mario ganhou $\text{R\$}\ 1200$ em um concurso de programação e dividiu essa quantia em duas partes para depositá-las em dois produtos financeiros diferentes. O primeiro oferece um rendimento de $4\%$ ao ano, enquanto o segundo, mais arriscado, oferece $7\%$ ao ano. Se ao final do ano os lucros totais obtidos foram de $\text{R\$}\ 63$, qual quantia ele destinou a cada produto?

A área de um triângulo retângulo é de $30\text{ cm}^2$ e sua hipotenusa mede $13\text{ cm}$. Calcule a medida dos dois catetos do triângulo.

Duas tubulações conectadas a um reservatório podem enchê-lo juntas em $4\text{ horas}$. Se forem utilizadas separadamente, a tubulação de menor diâmetro leva $6\text{ horas}$ a mais que a tubulação de maior diâmetro para encher o reservatório completo. Quanto tempo cada tubulação levaria sozinha?

Um criador de gado em Minas Gerais dispõe de $60\text{ metros}$ de cerca para delimitar um cercado retangular destinado ao pasto dos seus bezerros. Para economizar material, ele aproveitará um muro de pedra já existente, de modo que só precisa cercar três lados: duas larguras iguais e um comprimento oposto ao muro. O objetivo dele é que o cercado tenha uma superfície de $400\text{ m}^2$.

Dois estudantes propõem formas diferentes de estruturar o problema:

• Método A: Chamar $x$ o comprimento do lado paralelo ao muro, de modo que cada uma das duas larguras medirá $\frac{60 - x}{2}\text{ metros}$.

• Método B: Chamar $y$ o comprimento de cada uma das duas larguras perpendiculares ao muro, de modo que o comprimento medirá $60 - 2y\text{ metros}$.

1. a) Escreva a equação do segundo grau obtida com cada método para calcular a área ($400\text{ m}^2$).
2. b) Analise ambos os métodos: qual dos dois se revela algebricamente mais simples para operar à mão e por quê? Justifique a sua resposta considerando a presença ou ausência de denominadores.
3. c) Resolva a equação utilizando o método que você considerou mais vantajoso e determine as possíveis dimensões do cercado.
4. d) Interprete o resultado: faz sentido físico existirem duas soluções válidas para as dimensões do cercado? Explique a forma que o recinto adotaria em cada caso.

Uma comunidade de irrigantes de uma região do Cerrado armazena água em um reservatório retangular que mede $30\text{ m}$ de comprimento por $20\text{ m}$ de largura. Para enfrentar um período de seca, decidem ampliar o reservatório somando a mesma quantidade de metros, $x$, tanto ao comprimento quanto à largura. A nova superfície deve ser exatamente de $936\text{ m}^2$ e, por motivos de segurança ambiental, a regulamentação da bacia hidrográfica proíbe reservatórios que ultrapassem os $1000\text{ m}^2$.

1. a) Antes de resolver algebricamente, faça uma estimativa fundamentada do valor de $x$: calcule a área se $x = 5\text{ m}$ e se $x = 10\text{ m}$, e justifique entre quais dois valores inteiros deve se situar a ampliação $x$.
2. b) Defina a equação do segundo grau na sua forma geral $ax^2 + bx + c = 0$ que modela a situação e resolva-a passo a passo.
3. c) Analise as duas soluções da equação: por que uma delas não tem sentido prático? As dimensões finais do reservatório ampliado cumprem a regulamentação ambiental?
4. d) Se o custo de escavação e impermeabilização for de $35\text{ \text{R\$}\ }$ por cada metro quadrado de superfície adicionada em relação ao reservatório original, calcule o orçamento total de que a comunidade de irrigantes precisará.

Desafio do tema. É viável organizar uma minifeira juvenil sustentável no seu município? Transforme-se em gestor do projeto e apresente um breve relatório de viabilidade estruturado em três fases:

1. Consumo e 1º grau: Consulte no site da Aneel ou da companhia de energia da sua região o preço médio do kWh de hoje. Com um custo fixo da barraca de $12,50$ reais e um gasto elétrico estimado de $1,20$ reais/hora, formule e resolva uma equação do primeiro grau para calcular quantas horas você pode manter a barraca aberta com um orçamento de $24,50$ reais.

2. Espaço e sistemas: Desenhe no GeoGebra ou em papel uma tenda retangular de $54\text{ m}^2$ em que o comprimento meça $3\text{ m}$ a mais do que a largura ($x(x+3)=54$); determine as dimensões dela resolvendo a equação do segundo grau. Depois, formule um sistema linear sabendo que há $15$ barracas entre alimentação e oficinas ecológicas, e que elas pagam no total $330$ reais ($30$ reais e $15$ reais cada uma, respectivamente), para calcular quantas há de cada tipo.

3. Pesquisa e probabilidade: Pergunte a $10$ vizinhos se preferem ir na sexta-feira ou no sábado. Registre os dados em uma planilha, calcule a probabilidade experimental de um vizinho preferir cada dia e redija a sua proposta final fundamentada.

Será valorizado:

• Precisão matemática na formulação e resolução algébrica de equações e sistemas.

• Obtenção rigorosa de dados reais e tratamento probabilístico com planilha ou GeoGebra.

• Coerência, clareza e senso crítico nas conclusões do relatório final.